第2講高考中的向量問(wèn)題

1、第2講高考中的向量問(wèn)題r.r,1.（2008浙江局考真題）已知a,b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向重，右向重A.12.（2016四川高考真題）在平面內(nèi)，定點(diǎn)A,B,C,D滿足|瓦 11 銅|函虱；最大值是rr,rracbc0,則Cl的最大值是（DC-瓦=2動(dòng)點(diǎn)p,M滿足|晶|=1，曲WE,則兩的最大值是（）A.-_3B.4C.rr3.（2018浙江局考真題）已知a、br-rr,r,e是平面向重，e是單位向重.右非苓向重a與e的夾角為 g，向量 b 滿足b4eb3rr0，貝 Uab 的最小值是（A.431B.后 1C.2D.2、34.（2017浙江高考真題）已知向量a,b 滿足a1,b2,貝 Ua

2、ab的最小值是B.25.（2019浙江高考真題）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,當(dāng)每個(gè) i（i1,2,3,4,5,6)取遍i【解析】試題分析:由于切偵垂直，不妨設(shè)3=（LO）,1=（。）二=心）,則白一=任一 L，）3u=一 1） ， !式_占）5_X-r=0,匚|二+廠表示：工y）到原點(diǎn)。；。I,尤+工一 p=o 表示圓心：亍 s：,為半徑的圓，因此 H 的最大值，故答案為C.2.【解析】由已知易得Jinc=JLADB=JL3DC-120|M|=K5|=|DC|=2-比為原點(diǎn)，直線幅為冗軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A（2.0B（TL逐 W1 書）設(shè)P3已知 I 麗=1，得+私虬蜂日斌節(jié)尊

3、）,已|虱?衛(wèi)|=心 T 件就，它表示圓（X-鄉(xiāng)+儼=上的點(diǎn)#,y）與點(diǎn)（T,一 3 佝的距離的平方的 m 二（而二H】+（3向+1）曳=?,故選B.uuuuuir時(shí)，|1AB2BCuuur3CDuuu4DAuuir5ACuur6BD|的最小值是rr3.【解析】設(shè) ax,y,er1,0,brr一m,n，則由（a,ejg 得aeae*-x1按aeaecos,xx32yJ3x，由冒4eb30得uuv2BCuuv3CDuuv4DAuuv5ACuuv6BD135uuv6AB245uuv6ADuuuvuuvuuvuuvuuivuuvAB2BC3CD4DA5AC6BD的最小，口手審八而要使1uuv1AB2

4、562562356222565612122222256565625226222l5612022442526564%I56等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)1,3,56均非負(fù)或者均非正，并且2,4,56均非負(fù)或者均2_22n4m30,m2n1,因此,rb的最小值為圓心2,0到直線右 x 的距離3 二 J3 減去半徑 i,為很21.選A.rr4.【解析】設(shè)向量 a,b 的夾角為，由余弦定理有:212cosJ54cos，1222212cos4cos則:4cos,54cosV54cos,225216cos16,20,據(jù)此可得:vvv,vababmaxv/vvababmin164,r，b的取小值是最大值是5.【解析】正方

5、形ABCD的邊長(zhǎng)為1,可得uurABuurADuurACuurBDuurADuuuuuruuirAB?AD0,此時(shí)uuv1ABuuv2BCuuuvuuv4DA此時(shí)只需要uuvuuv5AC6BDmin2BC3CD4DA5AC6BD1,21,31,46AB1,51,AD4,則102025,2y、考向分析:二、考向講解（一）平面向量的數(shù)量積問(wèn)題平面向量的數(shù)量積問(wèn)題，主要考向有:1.平面向量的計(jì)算；2.平面向量的夾角；3.平面向量的模；4.平面向量垂直的充要條件.例1.（2018天津高考真題（理）如圖，在平面四邊形ABCD中,若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）B.A.C.D.【解析】連接BD,取

6、AD中點(diǎn)為O,可知ABD為等腰三角形，而uuvuuiv以VBCD為等邊三角形，BDJ3.設(shè) DEtDC(0t1)uuuuuulluvuuvuuvuuvluvuuvuuvnuvuuvAEBE(ADDE)(BDDE)ADBDDE(ADBD)c.23,3,-八 121=3tt(0t1),所以當(dāng) t時(shí)，上式取最小值,22416ABBC,ADCD,所uuv23uuvuuvULU/2DEBDDEDE2選A.(二)平面向量的應(yīng)用平面向量的應(yīng)用考向主要是平面幾何問(wèn)題，往往涉及角和距離,的問(wèn)題，總的思路有：轉(zhuǎn)化成平面向量的夾角、模(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就

7、能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問(wèn)題得到解決.基向量法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程進(jìn)行求解.例2.（2018江蘇省連云港市錦屏高級(jí)中學(xué)）如圖所示，在平行四邊形是邊的中點(diǎn),若,則【解析】方法一：以 A 為原點(diǎn)，AB 所在直線為 x 軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,（為銳角），則A0,0,B4,0,D3cos,3sinC3cos4,3sin，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得E3cos2,3sin,設(shè) BADuuiv1uuvuuur 又DF-DA,AF2uurBF2cos4,2sin,則F2cos,2sinunrAE3cos2,3sinuuvuuuvcAEBF3

8、cos22cos43sinsin6cos26sin28cos828cos4,.15.-cos，貝 UsinUULV1UUV方法二：AB4,AD3,E是邊CD的中點(diǎn)，DF-DA,由平面向量加法的三3688cosBAD4,（三）平面向量與其它知識(shí)的交匯問(wèn)題平面向量與其它知識(shí)的交匯問(wèn)題，主要考向有:1.與平面解析幾何交匯；2.與三角函數(shù)、三角形交匯角形法則得uuvUUVAEBFULUrUULTUUULULTADDEgBAAFUULT1UUU2UULTUUUADABgADAB232uuur2AD32UUTAD31UUT2AB22UULT23AD2ULUT-AD3UUUABcosBAD1LUU2-AB2

9、BAD 為銳角,sinBAD例3.（2018上海高考真題）已知實(shí)數(shù)滿足:,則的最大值為urnuuu【解析】設(shè)A(X1,y1),B(X2,y2),OA=(X1,y1),OB=(X2,y2),22.22.122.,一UJU_U!UU.由X112+y12=1x22+y22=1x1X2+y1y2=,可得AB兩點(diǎn)在圓x2+y=1土 J=LOA?OB=1X1Xcos21ZAOB=，即有/AOB=60，即二角形OAB為等邊二角形，AB=1,2X2V21._I的幾何意義為點(diǎn)A,B兩點(diǎn)到直線x+y-1=0的距離d1與d2之和,、2顯然A,B在第三象限，AB所在直線與直線x+y=1平行，可設(shè)AB：x+y+t=0,

10、(t0),由圓心O到直線AB的距離d=&,可得2h!_=1，解得t=J6，即有兩平行線的距離222為136=23，即22X2y21的最大值為 72+73,故答案為：41+4i-例4.（2019安徽高三月考）若r3,r2,rabcA.3.2【解析】由得最大值1,rr 一，則 ab 的最大值為2、31rarbrcr/ab1 得rab1rarbrcrarbrcrarb2rr22,r2,r-rrr r2abab22ab132a bab122/3 時(shí),ma選：D題型一與平面向量的模有關(guān)的綜合問(wèn)題向量的三角形法則要保證各向量“首尾相接”；平行四邊形法則要保證兩向量“共起點(diǎn)”，結(jié)合

11、幾何法、代數(shù)法（坐標(biāo)）求解.（2）靈活應(yīng)用向量運(yùn)算的規(guī)律和平面基本定理.（3）向量的模的求法一是根據(jù)向量的定義，二是將向量的模轉(zhuǎn)化為三角形的某個(gè)邊求其長(zhǎng).（4）求向量模的常用方法:若向量 a 是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量 a 的模可直接利用公式.若向量 a,b 是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量 a 的?？蓱?yīng)用公式|a|2=a2=a-b|2=（a 土 b）2=a22ab+b2,先求向量模的平方，再通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算求解.（5）求向量模的最值（范圍）的方法代數(shù)法：把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，再用求最值的方法求解.幾何法（數(shù)形結(jié)合法）：弄清所求的模表示的幾何意義，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解.a, 或|a

12、1,r.rr、F 面向重 a,b,c7 兩足B-321C.2、31D.11ab*132ab當(dāng) abab2題型二與平面向量夾角有關(guān)的問(wèn)題向量的夾角要求向量“共起點(diǎn)”，其范圍為0,兀.一.一.ab(2)求非零向量a,b的夾角一般利用公式cosa,b=|a|b|先求出夾角的余弦值，然后求夾角.也可以構(gòu)造三角形，將所求夾角轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角求解，更為直觀形象.(3)平面向量中有關(guān)范圍最值問(wèn)題的求解通常有兩種思路：1“形化”，即利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷；2“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式

13、的解集、方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決.例5.(2019年一輪復(fù)習(xí)講練測(cè))在 2況中,而-擊=3豳的面積SarE傅占，則訪L-I-nJ與瓦?夾角的取值范圍是()【解析】由三角形面積公式及已知知號(hào)至方兀=營(yíng)且3|睨|婭2：所以V3|Aff|C|sin53，由仙-3.知，leaser-=3,所以1-BC|,代入得，、號(hào) MU&,所以LtmSV,所以坦 MB絲,所以赤鳥死的夾角為TT-B，其取值范圍為百日，故選B.題型三平面向量的垂直問(wèn)題(1)判斷兩向量垂直第一，計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；第二，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可.(2)已知兩向量垂直

14、求參數(shù)：根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解1*,cos=.右 n3(tm+n)，則實(shí)數(shù) t 的值為(所以t4,故選B.例6.(2016高考山東理)已知非零向量n 滿足4m|=3A.4B. -4C.D.ur【解析】由 4mrir3n，可設(shè) mr3k,nr4k(k0),又nrrITrrITrITrr2n)ntmnntmncosm,nnt3kITr(tmn),所以124k(4k)234tk216k2題型四平面向量與其它知識(shí)的交匯問(wèn)題1.向量在解析幾何中的作用(1)載體作用：向量在解析幾何問(wèn)題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問(wèn)題時(shí)關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問(wèn)題.(2)工具作用：利用ab?ab=0;a/b?a=?b(b豐0)可解決垂直、平行問(wèn)題，特別是向量是向量垂直、平行的坐標(biāo)表示在解決解析幾何中的垂直、平行問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到.2.向量與三角的綜合應(yīng)用解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是應(yīng)用向量知識(shí)將問(wèn)題準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，再利用三角知識(shí)進(jìn)行求解.例7.(2020天