高中數(shù)學求解函數(shù)的定義域和值域的基本方法(附例題)

1、求解函數(shù)定義域和值域的基本方法(附例題)一、求解函數(shù)的定義域函數(shù)定義域，即函數(shù)自變量的取值范圍。在具體題目中，有求解具體函數(shù)和抽象函數(shù)的定義域兩類。針對不同類型的題目，解題方法也不相同。1、求解具體函數(shù)的定義域在給定函數(shù)的定義域求解過程中，要善丁挖掘題目中的隱含條件，并以此求解得出正確答案。一般隱含條件有以下幾點：(1) 整式函數(shù)的定義域為:R(全體實數(shù))(2) 分式函數(shù)中，分母不等丁0(3) 含偶次根式的函數(shù)中，被開方數(shù)大丁或等丁零(4) 指數(shù)函數(shù)的定義域：R(5) 對數(shù)函數(shù)的定義域：(0,+8)(6) 籍函數(shù)中，當指數(shù)為-1、0時，底數(shù)不得為零示例一：求函數(shù)f(x)Jlog2x1的定義域解

2、：要使f(x)有意義，log2x10H蒙；*M域為2,解題步驟： 列出使函數(shù)有意義的不等式(組) 解不等式(組) 若為不等式組，在取交集時借助數(shù)軸，表明是否取端點值 匯總，寫成集合形式(注意區(qū)間的開閉)練習一：,一11求函數(shù)f(x)的定乂域logi(2x)2x32、抽象函數(shù)的定義域一直以來，抽象函數(shù)是高考熱點。抽象函數(shù)中，內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域，在計算抽象函數(shù)的定義域時，一定要多留意。示例二：若函數(shù)f(x)的定義域為2,9,求f(2x3)的定義域解：由題意可知：22x39解得：1x32綜上所述,f(x)的定義域為,3解題步驟：1、若已知y=f(x)的定義域a,b,則復合函數(shù)y=fg(

3、x)的定義域由a<g(x)<b解得2、若已知復合函數(shù)y=fg(x)的定義域為a,b，則y=f(x)的定義域為函數(shù)g(x)在a,b上的值域練習二：已知函數(shù)f(x)的定義域為0,2，求g(x)M次的定義域x13、求自變量取值范圍在一定條件下，求自變量取值范圍，是基丁定義域上的一類考題。在此,單獨拿出來討論。11x2'則使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范圍示例三：設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x)解:由題意可知：f(x)的定義域為Rf(x),得f(x)為偶函數(shù)時,ln(1x)單調(diào)遞增，一單調(diào)遞減1x2時，f(x)單調(diào)遞增；乂f(x)當x0,故x0,故要使f(x)f(2x1)成立，則

4、f(x)f(2x1),也即可化為：x2解得：1x132x12x1綜上所述，x的取值范圍為3,1解題步驟: 率先求解函數(shù)的定義域 在定義域范圍內(nèi)，根據(jù)題目要求，求出使得題目成立的條件。在此過程中，在不改變自變量取值范圍的前提下，靈活運用解題技巧練習三：1x01已知f(x)，求使f(f(x)1成*x3,x0,1的x的取值范圍二、求函數(shù)的值域在函數(shù)中，因變量的取值范圍，即為值域。在求解函數(shù)值域時，常用的方法有：分離常數(shù)法、配方法、換元法、反函數(shù)法、單調(diào)性法、數(shù)形結(jié)合法、基本不等式法等。此外，借助導數(shù)來求出函數(shù)單調(diào)性，進而求解值域的導數(shù)法，將在導數(shù)的應(yīng)用部分詳細說明。數(shù)形結(jié)合的思想在高中數(shù)學解題中尤為

5、重要，結(jié)合函數(shù)圖像，在此對幾個基本初等函數(shù)的值域作簡單匯總，如下： 一次函數(shù)的值域：R 形如f(x)ax2bxc(a0)，的二次函數(shù)，當a>0時,函數(shù)的4acb24ac子值戈為4a；當a<0時，函數(shù)的值域為4a 反比例函數(shù)的值域：,00,指數(shù)函數(shù)的值域:0, 對數(shù)函數(shù)的值域：R示例四：求解函數(shù)f(x)2x，,的值域2x1f(x)的定義域為R12x111,解：由題意可知，j、2x11f(x)x2x12x0,土0,12110,12x1綜上所述，f(x)的值域為0,12x練習四：求函數(shù)f(x)當?shù)闹涤?、配方法配方法適用丁一元二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為一元二次形式的函數(shù)，將其配方成頂點式，求解函

6、數(shù)的值域。示例五：求函數(shù)f(x)x4x21的值域解：由題意可知：f(x)的定義域為R令tx2,則t0,，函數(shù)可化為:g(t)t2t1,t0,2x13123g(t)t2tt4424t0,g(t)1,綜上所述，函數(shù)f(x)的值域為1,練習五：求函數(shù)f(x)2x26x9的值域3、反函數(shù)法反函數(shù)法只能用來求解反函數(shù)存在的函數(shù)的值域，反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域。示例六：求函數(shù)y-的值域1x解：由題意可知，定義域為0,1xy1、xy(1"x)1、x氣xJ01y可知1y0(1y)(1y)0解得，1y1綜上所述，函數(shù)的值域為1,1練習六：求函數(shù)yN的值域x24、數(shù)形結(jié)合法必要時，需先等數(shù)形結(jié)合法

7、建立在對基本初等函數(shù)圖像掌握熟練的基礎(chǔ)上,效轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，根據(jù)圖像，得出函數(shù)值域。示例七：求函數(shù)f(x)log0.2x24x5的值域解:由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，要使函數(shù)成立，需x24x50g(x)x24x5(x2)211滿足條件，且g(x)圖像關(guān)于x2軸對稱故，方程定義域為：R00.21f(x)圖像在2,單調(diào)遞減f(x)圖像在，2單調(diào)遞增f(x)在x2時取得最大值，f(2)0綜上所述，f(x)的值域為,05、基本不等式法利用不等式法求函數(shù)最值對函數(shù)本身有要求，在運用過程中，有“一正二定三相等”的應(yīng)變策略，以下是詳細解釋：、針對求解形如yax的函數(shù)值域時常用此法x2、此方法基本原理：ab20a2b22ab當a0、b。時，可演化為：ab'ab3、此方法基本要求要求：一正二定三相等以ab2屆為例一正：a、b必須都為正數(shù)二定:當ab為定值時，可推知VOb(或ab)的最大值當ab為定值時，可推知a2b2(或ab)的最小值三相等：當且僅當ab時，等式成立，即當ab時，ab2寸ab當ab時，ab2/ab示例八：求函數(shù)yx22x3n2x3,(x1)的值域(x1)24(x1)61-411,6由題意知:xx故x10,0,x1故原式2,x1642、64>x1當且僅當x1一堂時，x1即x1、6時，等式成立綜上所