一元二次方程難題解析

1、一元二次方程難題解答（一）,-、-222，-一1.已知m是方程xx20的一個根，則代數(shù)式（mm）（m1）的值是m解：m是方程x2x20的一個根_2r2即m2m2m0方程兩邊除以m得：m10m(m2m)(m1)2(11)4m.一、一 2 一 _2.已知x a是方程x 2016x 122016a0的一個根，求代數(shù)式2a4031a12的值a1解:x a是方程x2 2016x 1 0的一個根2_4a 2016a 1 02_. 2_a 2016a1或a 1 2016a2a24031a 1_ 22016aa2 1= 2a24032a a 1_ 22016a2016a-2-2(a2016a) a 1 a3

2、.關(guān)于m的方程,7nm2n2m20的一個根為2,求n2n2的值。解：由題意得：m2把m2代入方程得：4j7n2n220整理得：n22j7n10方程兩邊除以n得：n2曰-0n-2v17nn1cc方程兩邊平方得：n22428n2n226n八,21、2”,14 .已知(m24)36,求m的值。mm解：(m2-r4)236m21246mm2121m10或m2(舍去)mm(m)2210即(m)28mm5 .用換元法解下列方程：解：設(shè)X2 1 y ,則原方程為y2 3y 0y(y 3) 0yi 0y23當 y 0時，x2 i 0當 y 3時，X2 1 3原方程的解為x11x21x32x46 .設(shè)x、y為實

3、數(shù)，求x22xy2y24y5的最小值，并求出此時x與y的值。解：x22xy2y24y5(x22xyy2)(y24y4)1當xy0即x2時，該式的最小值為1y20y27 .關(guān)于x的方程m(xh)2k0(m、h、k均為常數(shù)，m0)的解是x13x22,求方程m(xh3)2k0的解。22klk1k斛：m(xh)k0(xh)xh.xh.mmm8 .對于*，我們作如下規(guī)定：a*ba2b22,試求滿足(2x1)*x10的x的值。解:由題意得：(2x1)2x22104x24x1x2209 .解含絕對值的方程：解方程：x2x110解：當x10時，即x1,x1x1Ix1原方程化為x2(x1)10即x2x0解得：x

4、10x21X21是原方程的解原方程化為x2(1x)1即x2x20解得:x11x2x1,故x11(舍去)X22是原方程的解綜上所述，原方程的解為Xi1,X22110.解方程：x2(xx解：配方得:121(x-)22(x-)3時,當y2經(jīng)檢驗:,原方程可化為3、521,x221211.解萬程：xx22x解：x2x31設(shè)x22xy4時,當y23時,2x,則原方程可化為2x3x0,解得yi3y20,方程無實數(shù)解55、十是原方程的解。22._,yy120,解得：y14y2322x4,即x2x0,0,此方程無實數(shù)解解得：x13,x21經(jīng)檢驗：k3,X21是原方程的解。17.已知關(guān)于x的一元二次方程(ac)

5、x22bx(ac)0,其中a、b、c分別為ABC三邊的長。(1)如果x1是方程的根，試判斷ABC的形狀，并說明理由；(2)如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷ABC的形狀，并說明理由；(3)如果ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根。解：(1)把x1代入方程得：ac2bac02a2b0即abABC為等腰三角形又方程有兩個相等的實數(shù)根 ABC為直角三角形222_-2224b4a4c0即bca解得：xi0 x212當abc時，原萬程化為xx02(m 1)x18.已知關(guān)于x的方程的方程(mJ3)xm21(1) m為何值時，原方程是一元二次方程？(2) m為何值時，原方程是一元一次方程？m.30解

6、:(1)由題意得：m212解得m(2)當原方程是一元一次方程時，m的值應(yīng)分三種情況討論：m 3 02(m 1) 0解得m - 3m211m32(m1)0解得m1綜上所述：當m翼,1,$2或J2時，原方程是一元一次方程。19.用配方法求二次三項式的最大值與最小值(1)當x為何值時，代數(shù)式2x22x1有最小值？并求出最小值1 .2.一.一3當x1時，代數(shù)式2x22x1有最小值-2 2(2)當x為何值時，代數(shù)式3x26x4有最大值？并求出最大值解：3x26x43(x22x11)43(x1)27當x1時，代數(shù)式有最大值7.2a11120.若a滿足不等式組1a，則關(guān)于x的萬程(a2)x2(2a1)xa-

7、0的根的a022情況是解：解不等式組得a3a2則方程為一元二次方程21(2a1)24(a2)(a)2a5a32a51即02關(guān)于x的一元二次方程沒有實數(shù)根。21.關(guān)于x的一元二次方程 x2v kx 10有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍。k10解由題意得：(.k1)4022.關(guān)于x的方程mx2xm10有以下三個結(jié)論：當m0時，方程只有一個實數(shù)根;當m0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；無論m取何值時，方程都有一個負數(shù)解；其中正確的是解：當m 0時，原方程為x 1 0 x 1方程只有一個實數(shù)根當m0時，14m(m1)4m24m1(2m1)20方程有兩個實數(shù)根當m0時，x1當m0時，x1”(2m1(2

8、m2m2m1X1X21無論m取何值時，方程都有一個負數(shù)解m223.關(guān)于x的方程(a6)x28x60有實數(shù)根，則整數(shù)a的最大值是,一,一，一、一3斛：當a6時，原方程為8x60x4八八，八八3當a6時，6424(a6)24a2080a84整數(shù)a的最大值是824.已知關(guān)于x的一元二次方程(x 3)(x2) m ,求證：對于任意實數(shù) m ,方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程的一個根是1,求m的值及方程的另一個根。解：(1) (x 3)(x 2) mx2 5x 6 m 0(5)2 4(6 m) 4m 1 0對于任意實數(shù)m,方程總有兩個不相等的實數(shù)根(2)把x 1代入原方程得：(1 3)(1 2)

9、 m m 2原方程為(x 3)(x 2) 2 x2 5x 4 0x11x24m 2,方程的另一根為x 425.已知關(guān)于x的方程x2 (3k 1)x 2k2 2k0,(1)求證：無論k取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；(2)若等腰三角形ABC的一邊長a6,另兩邊b、c恰好是這個方程的兩個根，求此三角形的周長。解：1)(3k 1) 2 4(2k2 2k) 9k2 6k 1 8k2 8kk2 2k 1 (k 1)2 0無論k取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根k 1 b c 22 2 6當腰長為6時，2k 6C ABC 6 6 4 16或k 1 6 k 5 2k 10C ABC 6 6 10 22當bc時，方程有兩

10、個相等的實數(shù)根，即2kk1不能構(gòu)成三角形。綜上所述：Cabc16或2226 .若關(guān)于x的方程X2 (m 5)x 4m恰好有3個實數(shù)根，則實數(shù) m 入2_解：x (m 5) x 4 m 0方程恰好有3個實數(shù)根Xi 0 x2027 .若關(guān)于x的方程ax2 2(a 2)xa 0有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍解：當a 0時，原方程為4x 0方程有解x 0當a0時，2(a2)24a24a28a84a28a8方程有實數(shù)根8a80a1綜上所述：a128.如果關(guān)于x的一元二次方程 kx2V2k 1 x 1 0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍k011解：由題意得：2k10解得：一k且k0922(2k1)28k

11、0a的值和相應(yīng)的3個根。29.設(shè)方程x2ax4只有3個不相等的實數(shù)根，求解:x2ax4或x2ax4x2ax40或x2ax40即 a2 16 0 a 42 2 2x32k 01 8k 02a216原方程只有3個不相等的實數(shù)根，20當a4時，x24x40或x24x40x122上2x2x324時，x24x40或x24x40x1222x22222 2 2x32綜上所述：a4,當a4時，x122J2x2當a4時，x1222x2222x32230.已知函數(shù)y一和ykx1(k0),(1)若這兩個函數(shù)圖象都經(jīng)過點(1,a),求a和k的x值。(2)當k取何值時，這兩個函數(shù)總有公共點？2解：(1)函數(shù)y經(jīng)過點(1

12、,a)a2該點為(1,2)x2,、y一,2一八(2),xkxx20兩個函數(shù)總有公共點方程有實數(shù)解ykx1,1八解得：k-且k082一.2_一一31.已知關(guān)于x的一兀二次方程x(2k1)xk20的兩根為x1和x2,且(x12)(x1x2)0,求k的值。解：(x12)(x1x2)0x120x1x20當x12時，把x12代入原方程得：42(2k1)k220整理得：k24k40解得：k2當xx20時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即(2k1)24(k22)0一 9解得：k 9431.(1)已知:0,1,求兇的值。q解：由p20,q 0 又 pq0可化為(q)21 20與2 q0是同解方程1 1、p和一是方程xq0的兩個不相等的實數(shù)根(2)若工 m11 m12 n110且一一，求m n12的值。 n9綜上所述：k2或一410是同解方程，且1 1 、一一,一為方程m n0的兩個不相等的實數(shù)根2(3)右 2m 5m0且m n ,求（m n）2的值。解：n 00兩邊乘以n得：2n2 5n