(完整)高中不等式所有知識典型例題(超全)

1、不等式的性質(zhì)：二.不等式大小比較的常用方法：1 .作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2 .作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的代數(shù)式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6 .利用函數(shù)的單調(diào)性；7.尋找中間量或放縮法；8.圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。三.重要不等式221 .（1）若a,bR,則a2b22ab（2）若a,bR,則ab-一b-（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取="）22 .（1）若a,bR*,則a-bab（2）若a,bR*,則ab2Vab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取="）22（3）若a,bR*,則abab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取="）2

2、3.若x0,則x-2（當(dāng)且僅當(dāng)x1時取="）;x,一1若x0,則x2（當(dāng)且僅當(dāng)x1時取=）x0,則x2即x12或x1-2xxx（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取="）若ab0,則ab2ba（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取="）若ab0,則a-2即ab2或勺-2bababa（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取="）4.若a,bR,則(旦2.2ab-（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取="）2注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”.（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍

3、、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用.5.a3+b3+c3>3abc(a,b,cR+)a+b+c3：一一-一>abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號）；31_+.6.n(a+a2+an)a1a2Lan(aR,i=1,2，n),當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=匚an取等方;變式：a2+b2+c2>ab+bc+ca;ab<(a+b2a+b+c3)(a,bR)；abc<(-3-)(a,b,cR)2ab一a<一;</ab<a+b，a+br&a2+b22<b.(0<a<b)、,一bb-n7.濃度不等式：力<b<ab+m,a>

4、;b>n>0,m>0;a+m應(yīng)用一：求最值21例1：求下列函數(shù)的值域（1）y=3x+文(2),1y=x+xx解題技巧:5.、一一技巧一：湊項例1：已知x求函數(shù)y4x2，的最大值。4x5評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)Dce4|時，求yx（82x）的最大值。2技巧三：分離例3.求yx*1村1）的值域。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元，令t=x+1,化簡原式在分離求最值。(t1)27(t1)+10t25t4=t49（當(dāng)t=2即x=1時取當(dāng)X>-1,即t=K+11口時,技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值

5、時,若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)f(x)xax的單、x25調(diào)性。例：求函數(shù)yx5的值域。x24解：令,x2t(tx25x24*21x241t-(t2)因為yt1，一、-在區(qū)間t1解得tt1不在區(qū)間2,故等號不成立，考慮單調(diào)性。1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故y所以，所求函數(shù)的值域為2.已知0x1,求函數(shù)yJx(1x)的最大值.；3.0x-,求函數(shù)y"x(23x)的最大值.3條件求最值1 .若實數(shù)滿足ab2,則3a3b的最小值是.分析：“和”到“積”是一個縮小的過程，而處3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正數(shù)，3a3b>2v3a3b2

6、4尹6當(dāng)3a3b時等號成立，由ab2及3a3b得ab1即當(dāng)ab1時，3a3b的最小值是6.-、11,變式：右log4xlog4y2,求一一的取小值.并求x,y的值xy技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。一，一192:已知x0,y0,且一一1,求xy的取小值xy2技巧七、已知x,y為正實數(shù)，且x2+y"=1,求x1+y2的最大值.ab分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故米用公式ab<同時還應(yīng)化簡“1+y2中y2前面的系數(shù)為2,下面將x,、/2+券分別看成兩個因式：2/.1y2、22y21/TVx+(V2+2)x+5+2X<

7、j2+2&2=2,2技巧八：已知a,b為正實數(shù)，2b+ab+a=30,x41+y2=x、/21y=2x、/2+y2=4即x1+y：2=/x'g+y"<4，一，1，一，-求函數(shù)y=ob的最小值.分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。302ba=b+1ab=30-2bb+1-2b2+30bbT1由a>0得，0<

8、;b<15人.-2t2+34t-31-1616-p6一t=b+1,1<t<16,ab=1二-2(t+f)+34-t+_p2ltf=81.ab<18.y>當(dāng)且僅當(dāng)t=4,即b=3,a=6時，等號成立。法二：由已知得：30ab=a+2b.a+2b>2d2ab.30-ab>22-a?令u=Ob貝Uu2+2艱u-30<0,-5/2<u<3/2麻03/，ab&18,.y$點評：本題考查不等式2VrOb(a,bR)的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；如何由已知2不等式aba2b30(a,bR)出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到ab與ab之間的關(guān)

9、系，由此想到不等式干jOb(a,bR),這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進(jìn)而解得ab的范圍.變式：1.已知a>0,b>0,ab(a+b)=1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周長為1,求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x,y為正實數(shù)，3x+2y=10,求函數(shù)W=J3x+柩的最值.aba2b2解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，工<,本題很簡單V3X+低<V2aJ(a/3X)2+(V2y)2:V2V3x+2y=2乖解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W>0,W2=3x+

10、2y+23x=10+2而V2y<10+(V3x)2“2y)2=10+(3x+2y)=20W<V20=2乖應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式1.已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2b2c2abbcca1)正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1,求證：(1a)(1b)(1c)>8abc111例6:已知a、b、cR,且abc1。求證：一1一1一18abc分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個“2”連乘，又11.bc2bc,可由此變形入手。aaaa1/1abc2.bc1.2、ac1/2,ab用牛：Qa、b、cR,abc1。-1。同1)1。aaaabbc

11、c上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得111111Rblga1心畫8。當(dāng)且僅當(dāng)abc1時取等號。abcabc3應(yīng)用三：基本不等式與包成立問題一一19例：已知x0,y0且-1,求使不等式xym包成立的頭數(shù)m的取值沱圍。xy19(xy9x9y(10y9x(解：令xyk,x0,y0,-1,1.1xykxkykkxky1031-2-0k16,m,16kk應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：1 ab例：右ab1,Pgalgb,Q(Iga1gb),Rlg()，則P,Q,R的大小關(guān)系是:2 21分析：.ab1.lga0,lgb0Q-(lgalgb)qlgalgbpab一1Rlg()lgVab-lgabQR

12、>Q22四.不等式的解法.1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法3.簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：(1)分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；(2)將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如(1)解不等式(x1)(x2)200(答：x|x1或x2);(2)不等式(x2)Jx22x30的解集是(答：xx3或x1);(3)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R,且f(x)0的解集為x|1x2,g(x)0的解集為，則不等式f(x)gg

13、(x)0的解集為(答：(，1)U2,);(4)要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x29xa0(解集非空)的每一個x的值至少滿足不等式x24x30和x26x80中的一個，則實數(shù)a的取值范圍是.(答:展)4.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正不能去分母，但分母包為正或恒為負(fù)時可去分母。,最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時，一般如解不等式表41(2)關(guān)于x的不等式axb0的解集為(1,(答：(1,1)U(2,3);),則關(guān)于x的不等式.0的解集為(答：(，1)(2,)5 .指數(shù)和對數(shù)不等式。6 .絕對值不等式的解法(1)含

14、絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集(2) |ax+b|0c(c>0)和|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法|ax+b|<c-c<ax+b<c;|ax+b|>cax+b1c或ax+b0-c.(3) |x-a|+|x-b|>c(c>0)和|x-a|+|x-b|<c(c>0)型不等式的解法方法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;方法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。方法四：兩邊平方。例1:解下列不等式：(1)

15、.x：22x1(2).-3<<2x【解析】：(1)解法一(公式法)原不等式等價于x2-2x>x或x2-2x<-x解得x>3或x<0或0Vx<1.,原不等式的解集為x|x<0或0<x<1或x>3解法2（數(shù)形結(jié)合法）作出示意圖，易觀察原不等式的解集為x|x<0或0<x<1或x>3第（1）題圖【解析】：此題若直接求解分式不等式組一八一一八,1,1一一一圖象，則解集為x|x1或x<-1，結(jié)果一目231例2:解不等式：|x|1x【解析】作出函數(shù)f（x）=|x|和函數(shù)g（x）=易知解集為（，0）1,+）3解不醇

16、A_|x11Ix11一第（2）題圖略顯復(fù)雜，且容易解答錯誤；若能結(jié)合反比例函數(shù)了然。10/x的圖k"/象，X2例3:0【解法1】令g(x)|x1|x1|2(x2x(12(x1)1)x1)h(x)令2,分別作出函數(shù)g(x)和h(x)的圖象，知原不等式的解集為4,)分別作出函數(shù)g(x)和h(x)的圖象，易求出g(x)和h(x)的圖象的交點坐標(biāo)為94)【解法2】原不等式等價于3g(x)|x1|,h(x)|x1|-23r3、|x1|x1|-，)所以不等式2的解集為43|x1|x1|【解法3】由2的幾何意義可設(shè)F1(-1,0),F2(1,0),M(x,y),3MF1MF2若2,可知M的軌跡是以

17、F1、F2為焦點的雙曲線的右支，其中右頂點為(4,0),固由雙曲線的圖象和|x+1|x-1|>2知x>.7 .含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵.”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如,22(1)若loga1,則a的取值范圍是a1或0a-);332(2)解不等式-aJx(aR)ax111.、(答：a0時，x|x0;a0時，x|x-或x0;a0時，x|-x0或x0)aa提醒：(1)解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；(2)不等式解

18、集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值。如關(guān)于x的不等式axb0的解集為(，1),則不等式三20的解集為李：(1,2)axb五.絕對值三角不等式定理1：如果a,b是實數(shù)，則|a+b|&|a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時，等號成立。注：(1)絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義：當(dāng)a,b不共線時，|a+b|<|a|+|b|,它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊。(2)不等式|a|-|b|&|a坨|&|a|+|b|中=”成立的條件分別是：不等式|a|-|b|0|a+b|&|a|+|b|,在側(cè)=”成立的條件是ab>0,左側(cè)=”成立

19、的條件是ab&0且|a|引b|;不等式|a|-|b|w|a-b|w|a|+|b|,右側(cè)=”成立的條件是ab&0,左側(cè)=”成立的條件是ab>0且|a蘆|b|。定理2：如果a,b,c是實數(shù),那么|a-c|<|a-b|+|b-c|,當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)時，等號成立。例1.已知0,xa,yb,求證2x3y2a3b5.例2.(1)求函數(shù)yx3x1的最大和最小值；(2)設(shè)aR,函數(shù)fxax2xa(1x1).若a1,求|fx|的最大值例3.兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩個地點分別位于公路路牌的第10km和第20km處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨

20、時生活區(qū)，每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次.要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？六.柯西不等式22222,2,2,22a1bla2b2anbna1a2anhb2bnaibiR,i1,2n等號當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an0或bikai時成立(k為常數(shù)，i1,2n)類型一：利用柯西不等式求最值1,求函數(shù)y三,五五+仇。-2戈的最大值一：.無-1之。且10-2m0,函數(shù)的定義域為五HL5,且>v。，y-5x十戲父J5-<*壽>x/J工一1)+J53=&電127即27時函數(shù)取最大值，最大值為£寸3二：才一1之。且1。一21之0,.函數(shù)的定義

21、域為xfL5r_J1_5>0由)2斤1曬F2五工尿-2-,127得5J10-2k2右-1>0即5J102久>261>0,解得27I12727時函數(shù)取最大值，最大值為6名.當(dāng)函數(shù)解析式中含有根號時常利用柯西不等式求解類型二：利用柯西不等式證明不等式2.設(shè)巾、小、仁為正數(shù)且各不相等，求證：n+bSmca已十引十七；2g+b+）（一LT+TL+-L）=g+b）+0+G+g+®（±+J+-L）2.a+Z-8十e。十14十86-c白十白+1+又Q、上、白各不相等，故等號不能成立2229+>十3上十二匕十厘廿十3十二一類型三：柯西不等式在幾何上的應(yīng)用6.A

22、BC的三邊長為a、b、c,其外接圓半徑為R,求證：（標(biāo)+/?+?）（4+sinaAsin5sin3（7.*1sin/二I二證明：由三角形中的正弦定理得2衣，所以srn達(dá)a1_AR11_d交同理領(lǐng)空/，加？二1于是左邊=+83+c3X4sin2Asin'5sin3C七.證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法（比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。）.常用的放縮技巧有:11111112nn1n(n1)nn(n1)n1n,k1、k如（1）已知a（2）已知a,b,c112A，k1kbc,求證：a2bb2cc2a2,2,2222R,求證：abbcca.2,22abbcca;abc(abc);(3)已知a,b,x,yR,且。1,xy,求證：一xyabxayb若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：lgablgbclgca222lgalgblgc；22(5)已知a,b,cR,求證：ab,2222,、bccaabc(abc);(6)若nN*,求證：J(n1)21(n1)4n1n；已知|a|b|,求證:|a|b|a|b|ab|ab|一一111(8)求證：1-$-lL-22o223,例：若不等變-2x-2ax+62恰有一解，求實數(shù)a的值n2八