不等式的經(jīng)典公式和經(jīng)典例題講解

1、1、2,2ab2、不等式的證明規(guī)律及重要公式總結(jié)ab2一一e2ab,ab()2(可直接用)22,2ab2cabbcca3、4、5、c2rb22ab,22ab11(a,bR)ab（要會證明）b3c33abc(abc0即可)bc3Vabc,abc(a-b-c)33;(a,b,cR|a|b|ab|a|b|,(a,b,cR)方法一：作差比較法:已知：abc1,求證：a2證：左右=-(3a23b23c23122231(ab)(bc)(ca)方法二：作上比較法，設(shè)a、b、c證明方法b21的代換1)證：右2a,2b2cabc當(dāng)a>b>0時當(dāng)0<a<b時abab1,a(0,1)不論a&

2、gt;b還是方法三：公式法：設(shè)a4b4證由公式:aaba<b,b1一O31-2-2-223a23b23c2(abc)23且abc,求證:bbcb2aab2b2cc(b)bcc(c)caa(a)abb0(a)ab1,同理可證,1,(-)caa1,a>0,b>0,且a+b=1,求證:1,(a812)(ba1225)b2A2B224.4ab22ab2121441)()ab2168證由AB222B)2A2B2(AB)2左:(a1)2aab2,ab()212(*)(14)22(bb)2ii4ab2522aab21(11)2ab2ab(*)方法四：放縮法：logn(n1)log(n1)(

3、n2)(n1)n>1,logn(n"0.只要證：10g鼠)log(：1)2)1即可1n(n2)21n(n2).2左<(10gn110gn1)-10g(nn1(n22n1).21(n1)22<2(10gn1-10g(n1)1方法五：分析法：設(shè)a,a2,b1,b2R,求證：J(a1b)(a2b2)aa1a2Jb1b2(自證)方法六：歸納猜想、數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)a 0,b 0,求證：Ca_br2（自證）高考數(shù)學(xué)百大經(jīng)典例題一一不等式性質(zhì)概念、方法、題型、易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié)不等式1 .不等式的性質(zhì)：1 .同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若ab,cd,則acbd（若ab

4、,cd,則acbd）,但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；2 .左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若ab0,cd0,則acbd（若ab0,0cd2bc ,則 a b ;11b 0,則1； a bb 0,則 a b ；11-b,則 a 0, b 0 o a b則ab）;cd3 .左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若ab0,則anbn或nfanJb；4 .若ab0,ab,貝U11；若ab0,ab,貝U11。如abab（1）對于實數(shù)a,b,c中，給出下列命題：若ab,貝1Jac2bc2;若ac2若ab0,則a2abb2;若aba若ab0

5、,則；若aab若cabQ則ab;若acacb其中正確的命題是（答：）；（2）已知1xy1,1xy3,則3xy的取值范圍是（答：13xy7）;2（3）已知abc,且abc0,則£的取值范圍是a2 .不等式大小比較的常用方法：1 .作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2 .作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的代數(shù)式）；3 .分析法；4 .平方法；5 .分子（或分母）有理化；6 .利用函數(shù)的單調(diào)性；7 .尋找中間量或放縮法；8 .圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）設(shè)a0且a1,t0,比較Logat和loga1的大小22一.1t1.一（答：當(dāng)a1時，logat

6、loga（t1時取等號）；當(dāng)0a1時，221 t12logatloga（t1時取等方）；（2）設(shè)a2,pa-,q2a24a2,試比較p,q的大小a2（答：pq）；（3）比較1+l0gx3與210gx2（x0且x1）的大小4.一4.（答：當(dāng)0x1或x-時，1+logx3>2logx2；當(dāng)1x-時，1+logx3<33、r,4-210gx2;當(dāng)X§時，1+logx3=2logx2).利用重要不等式求函數(shù)最值時，你是否注意到：“一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針。如（1）下列命題中正確的是1一一，一一A、yx1的最小值是2B、yx2=L的最小值是2x22-4C

7、 、y 2 3x - (x x4D 、y 2 3x (x x(2)若x 2y 1 ,貝2x0）的最大值是2 4/30）的最小值是2 4734y的最小值是（答：C）；（答：2屁）;（3）正數(shù)x,y滿足x 2y 1,則1。的最小值為x y（答:3 2夜）；4.常用不等式有：（1） Ja2 小22的運算結(jié)構(gòu)選用）；（2） a、b、c R, a2 b2時，取等號）；（3）若a b 0,m 0,則baVab 2（根據(jù)目標(biāo)不等式左右 1 1 a bc2 ab bc ca （當(dāng)且僅當(dāng)a b c（糖水的濃度問題）。如如果正數(shù)a、b滿足ab a b3 ,則ab的取值范圍是222ab bc ca abc(a b

8、c); _y_ . ?x a y b的正數(shù)，abc(a b c);（答：9,）五.證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法（比較法的步驟是:作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小,然后作出結(jié)論。）.111111nn1n(n1)2nn(n1)n1常用的放縮技巧有:1nG尿冷4泰冷五人G如(1)已知abc,求證：a2bb2cc2a(2)已知a,b,cR,求證：a2b2b2c2c2a211(3)已知a,b,x,yR,且1,xy,求證:ab(4)若a、b、c是不全相等abbccalg2-lglg-2-lgalgblgc；(5)已知a,b,cR,求證：a2b2b2c2

9、c2a2(6)若nN*,求證：(l(n""1)21(n1)Vn21n;已知|a|b|,求證：|a|b|a|b|;|ab|ab|111(8)求證：1)丁L不2。2232n2六.簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：(1)分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正；(2)將每一個一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；(3)根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如(1)解不等式(x1)(x2)200(答：xx1或x2)；(2)不等式(x2)Jx22x30的解集是(答：xx3或x1)；(3)設(shè)函數(shù)

10、f(x)、g(x)的定義域都是R,且f(x)0的解集為x|1x2,g(x)0的解集為，則不等式f(x)gg(x)0的解集為(答:(,1)U2,);(4)要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x29xa0(解集非空)的每一個x的值至少滿足不等式x24x30和x26x80中的一個，則實數(shù)a的取值范圍是81、7，t)般解題思路是先移項使右邊為個因式中最高次項的系數(shù)為正0,再通,最后用七.分式不等式的解法：分式不等式的分并將分子分母分解因式，并使每標(biāo)根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母包為正或恒為負(fù)時可去分母。如(1)解不等式25x1x2x3(答：(1,1)U(2,3);(2)關(guān)于x的不等式axb0的解

11、集為(1,),則關(guān)于x的不等式20的解集為(答：(，1)(2,)八.絕對值不等式的解法：311.分段討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集)：如解不等式|23x|2|x-|42(答：xR);(2)利用絕對值的定義；(3)數(shù)形結(jié)合；如解不等式|x|x1|3(答：(，1)U(2,)(4)兩邊平方：如若不等式|3x2|2xa|)(txR包成立，則實數(shù)a的取值范圍為。4（答：中九.含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵.”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如（1）若loga2

12、1,則a的取值范圍是3,、2（答：a1或0a）；32（2）解不等式-aJx（aR）ax11、-1（答：a0時，x|x0；a0時，x|x或x0；a0時，x|x0aa或x0）提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值。如關(guān)于x的不等式axb0的解集為（，1）,則不等式2/0的解集為axb（答：（一1,2）十一.含絕對值不等式的性質(zhì)：a、b同號或有0|ab|a|b|a|b|ab|;a、b異號或有0|ab|a|b|a|b|ab|.如設(shè)f（x）x2x13,實數(shù)a滿足|xa|1,求證：|f（x）f（a）|2（|

13、a|1）十二.不等式的包成立，能成立，恰成立等問題：不等式包成立問題的常規(guī)處理方式（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1）.包成立問題若不等式fxA在區(qū)間D上包成立，則等價于在區(qū)間D上fxminA若不等式fxB在區(qū)間D上包成立，則等價于在區(qū)間D上fxmaxB如（1）設(shè)實數(shù)x,y滿足x2（y1）21,當(dāng)xyc0時，c的取值范圍是（答：近1,）；（2）不等式x4|x3a對一切實數(shù)x包成立，求實數(shù)a的取值范圍（答：a1）；（3）若不等式2x1m（x21）對滿足|m2的所有m都成立，則x的取值范圍_（答：（J,工）；22（4）若不等式（1）na2（對于任意正整數(shù)n包成立，則實數(shù)a的取n值范圍是3(答：2,3);1的所有實數(shù)x都成立，求m的（答：m -）22).能成立問題若在區(qū)間D上存在實