電磁場理論習題集

1、電磁場理論習題集信息科學技術學院第1章1-1 在直角坐標系中，試將微分形式的麥克斯韋方程寫成8個標量方程。1-2 試證明：任意矢量E在進行旋度運算后再進行散度運算，其結(jié)果恒為零，即 Ñ × (Ñ ´ E) = 01-3 試由微分形式麥克斯韋方程組，導出電流連續(xù)性方程1-4 參看1-4題圖，分界面上方和下方兩種媒質(zhì)的介電常數(shù)分別為 e1和 e2，分界面兩側(cè)電場強度矢量E與單位法向矢量n21之間的夾角分別是 q1和 q2。假設兩種媒質(zhì)分界面上的電荷面密度 rS = 0，試證明：上式稱為電場E的折射定律。1-5 參看1-4題圖，分界面上方和下方兩種媒質(zhì)的磁導率

2、分別為 m1和 m2，假設兩種媒質(zhì)的分界面上的表面電流密度矢量JS = 0，把圖中的電場強度矢量E換成磁感應強度矢量B。試證明：上式稱為磁場B的折射定律。若 m1為鐵磁媒質(zhì)，m2為非鐵磁媒質(zhì)，即 m1>>m2 ，當 q1 ¹ 90° 時，試問 q2的近似值為何？請用文字敘述這一結(jié)果。1-6 已知電場強度矢量的表達式為E = isin(w t - b z)j2cos(w t - b z)通過微分形式的法拉第電磁感應定律，求磁感應強度矢量B(不必寫出與時間t無關的積分常數(shù))。1-7 一平板電容器由兩塊導電圓盤組成，圓盤的半徑為R，間距為d。其間填充介質(zhì)的介電常數(shù) e

3、 。如果電容器接有交流電源，已知流過導線的電流為I(t) = I0sin(wt)。忽略邊緣效應，求電容器中的電位移矢量D。1-8 在空氣中，交變電場E = jAsin(w t - b z)。試求：電位移矢量D，磁感應強度矢量B和磁場強度矢量H。1-9 設真空中的磁感應強度為試求空間位移電流密度的瞬時值。1-10試證真空中麥克斯韋方程對于下列變化具有不變性式中，為真空中的光速。第2章2-1 參看圖2-5-1，無限大導板上方點P(0, 0, h) 處有一點電荷q。試求：z > 0半無限大空間的電場強度矢量E和電位移矢量D，以及導板上的面電荷密度 rS和總電荷量q。2-2 參看圖2-6-3，如

4、果將4塊導板的電位分別改為：上板120 V，左板40 V，下板30 V，右板90 V。按下面步驟和要求用迭代法計算4個內(nèi)節(jié)點處的電位值：(1) 列出聯(lián)立方程；(2) 用塞德爾迭代法求解；(3) 計算最佳加速因子 a；(4) 用超松弛迭代法求解；(5) 比較兩種迭代法的結(jié)果和收斂速度。兩種迭代方法的迭代次數(shù)都取n = 4。2-3 參看圖2-7-1，如果平板電容其中電荷分布的線密度為 r = e0(1 + 4x2)，其余條件相同，用矩量法(伽遼金法)求兩導板之間的電位分布函數(shù) y。選擇基函數(shù)為fn (x) = x(1 - xn) n = 1, 2, 3,2-4 參看例2-7-1以及該題示意圖圖2-

5、7-1。如果在該問題中選擇權函數(shù)為上式中，R是余數(shù)，由式(2-7-8)表示。矩量法中，通過這種方式來選擇權函數(shù)，又稱為最小二乘法。在其他已知條件均不變的情況下，用最小二乘法來求解兩導板之間的電位分布函數(shù) y。2-5 若帶點球的內(nèi)外區(qū)域中的電場強度為試求球內(nèi)外各點的點位。2-6 已知空間電場強度E = 3ex + 4ey - 5ez，試求（0，0，0）與（1，1，2）兩點間的電位差。2-7半徑為的球內(nèi)充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，球外是介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。若已知球內(nèi)和球外的電位為式中為常數(shù)，求（1） 兩種介質(zhì)中的和；（2） 兩種介質(zhì)中的自由電荷密度。2-8一半徑為的薄導體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣

6、膜，如圖題2-6所示，球內(nèi)充滿了總電荷量為的體電荷，球殼上又另充有電量，已知內(nèi)部的電場為，設球內(nèi)介質(zhì)為真空。計算：圖題2-8（1）球內(nèi)的電荷分布；（2）球外表面的面電荷分布。2-9中心位于原點，邊長為的電介質(zhì)立方體極化強度矢量為。（1）計算面和體極化電荷密度；（2）證明總的極化電荷為零。 第3章3-1 通過直角坐標系試證明，對于任意的標量函數(shù) y 和矢量函數(shù)A都滿足下面關系：(1) Ñ ´ (Ñy) º 0 ；(2) Ñ × (Ñ ´ A) º 03-2 同軸線內(nèi)、外半徑分別為a和b，內(nèi)外導體之間介質(zhì)的介

7、電常數(shù)為 e，電導率為 s。設在同軸線內(nèi)外導體上施加的電壓為Uab ，求內(nèi)外導體之間的漏電流密度J。3-3 求圖3-3-2中1/4墊圈兩個彎曲面r = a和r = b之間的電阻。3-4 參見3-4題圖。某輸電系統(tǒng)的接地體為緊靠地面的半球。土壤的平均電導率為 s =10-2 S/m。設有I = 500 A的電流流入地內(nèi)。為了保證安全，需要劃出一半徑為a的禁區(qū)。如果人的正常步伐為b = 0.6 m，且人能經(jīng)受的跨步電壓為U = 200 V，問這一安全半徑a應為多大？3-5 參看圖2-5-6，半徑為a，間距為D的平行雙線傳輸線，周圍介質(zhì)的介電常數(shù)為 e，電導率為 s。利用例2-5-2的結(jié)果，計算平行

8、雙線每單位長度的分布漏電導G1。3-6 參看圖3-2-1(a)，半徑分別為a和b的兩個同心球殼(a < b)之間是電導率為 s = s0(1 + k/r)的導電媒質(zhì)，試求兩球殼之間的電阻Rab。再問此題中的電流位 y 是否滿足普拉斯方程。 3-7已知一根長直導線的長度為1km，半徑為0.5mm，當兩端外加電壓為6V時，線中產(chǎn)生的電流為1/6A，試求：導線的電導率；導線中的電場強度；導線中的損耗功率。3-8當恒定電流通過無限大的非均勻?qū)щ娒劫|(zhì)時，試證任意一點的電荷密度可以表示為第4章4-1 通過直角坐標系試證明，對于任意的矢量A都滿足下面關系：Ñ ´ (Ñ &

9、#180; A) º Ñ(Ñ × A)Ñ2Az-aaOIIxy習題圖4-3 4-2 已知無限長導體圓柱半徑為a，通過的電流為I，且電流均勻分布，試求柱內(nèi)外的磁感應強度。4-3 若在y = - a處放置一根無限長線電流ez I，在y = a處放置另一根無限長線電流ex I，如習題圖4-3所示。試求坐標原點處的磁感應強度。4-4 若無限長的半徑為a的圓柱體電流密度分布函數(shù)為，試求圓柱體內(nèi)外的磁感應強度。4-5 證明在邊界上矢量磁位A的切向分量是連續(xù)的。4-6一個半徑為的導體球帶電荷量為，以勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求此球心處的磁感應強度。圖 題4-6

10、4-7兩個相同的半徑為b，各有匝的同軸線圈N，相距d，如圖題4-7所示。電流I以相同方向流過兩個線圈。（1）求兩個線圈中點處的；（2）證明：在中點處等于零；（3）使中點處也等于零，則b和d之間應有何種關系？圖題4-74-8一圓形截面的無限長直銅線，半徑為1cm，如圖題4-8所示，通過電流為25A，在銅線外套上一個磁性材料制成的圓筒，與之同軸，圓筒的內(nèi)，外半徑為2cm及3cm，相對磁導率為2000。（1）求圓筒內(nèi)每米長的總磁通量；（2）求圓筒內(nèi)的磁化強度M；（3）求圓筒內(nèi)的磁環(huán)電流Jm和JmS。圖題4-8第5章5-1 通過直角坐標系驗證矢量恒等式：Ñ × (E×H)

11、 = H × (Ñ×E)E × (Ñ×H)5-2 根據(jù)下面復數(shù)形式的簡諧場表達式，利用麥克斯韋方程求出其相應的電場或磁場表達式，并把復數(shù)形式改寫成瞬時值形式。5-3 將下面瞬時形式的簡諧場表達式改寫成復數(shù)形式，并利用麥克斯韋方程求出其相應的電場或磁場表達式。5-4 電流元的遠區(qū)輻射場為 (1)試求：(1)寫出波印亭矢量的瞬時值S；(2)寫出復數(shù)波印亭矢量SC；(3)總的平均輻射功率PS。5-5 在微波環(huán)境中，如果平均功率密度 |Sav| < 10 mW/cm2對人體是安全的。分別計算以電場強度E和磁場強度H表示的相應標準。已知E

12、 = h0H，h0 = 120p W。5-6 設一天線輻射的電場強度矢量為E = iAsin(wt - kz) (1)上式中，是電磁波的相位常數(shù)，已知波阻抗。試求：(1)將電場強度矢量E改寫成復數(shù)形式；(2)通過麥克斯韋方程求磁場強度矢量H；(3)瞬時波印亭矢量S；(4)復數(shù)波印亭矢量SC。5-7 空中交變電磁場的電場強度矢量只有x分量Ex = acos(wt - kz) + bsin(wt + kz) (1)試求：(1)由麥克斯韋方程求出磁場強度矢量H；(2)瞬時波印亭矢量S；(3)復數(shù)波印亭矢量SC。5-8 將下列指數(shù)形式(復數(shù)形式)的場表達式變換成正、余弦形式(瞬時值形式)的場表達式，或

13、者做相反的變換。(注意，在取實部之前應加上時間因子ejw t)(1) E = iE0ejae-jkz ； (2) E = jE0； (3) E = iE0cos(wt - kz)j2E0cos(wt - kz + p)5-9 已知磁導率為 m，介電常數(shù)為 e 的均勻媒質(zhì)中，電場強度矢量的表達式為E = (i + jj)Aej(wt-bz) (1)上式中，是電磁波的相位常數(shù)，已知波阻抗。試求：(1)瞬時波印亭矢量S，復數(shù)波印亭矢量SC和平均波印亭矢量Sav；(2)電場能量密度we和磁場能量密度wm。第6章6-1 一頻率為f = 100 MHz的均勻平面電磁波在簡單媒質(zhì)(mr = 1，er = 4

14、，s = 0)中沿 +z方向傳播，電場強度矢量為E = iEx(z, t)，電場的振幅值為E0 = 10-4 V/m。當t = 0，z = 0.125 m時，電場的瞬時值達到振幅值E0 。試寫出電場強度矢量E和磁場強度矢量H的瞬時表達式。6-2 已知自由空間中電磁波的振幅為A，極化方向為j，圓頻率為 w，傳播方向為(z)，試寫出該電磁波的電場強度矢量E和磁場強度矢量H。6-3 試證明在色散媒質(zhì)中相速vp和群速vg之間滿足下面關系：上兩式中，b 和 l 分別是色散媒質(zhì)中電磁波的相位常數(shù)和波長。6-4 已知某色散媒質(zhì)的色散關系為，其中 l0是該波在真空中的波長，k，m是正實數(shù)，求群速vg 。6-5

15、 已知自由空間電磁波的電場強度矢量的表達式為 (1)試求其相伴的磁場強度矢量H，并指出電磁波的極化方式。6-6 試判斷Ex = 2cos(w t - bz)，Ey = 3cos(w t - bz + 90°) 是什么極化波，并寫出Ex和Ey分量所滿足的軌跡方程式。6-7 試判斷下列各波的極化狀態(tài)(線極化應指出極化方向，圓極化應指出旋轉(zhuǎn)方向)。(1) Ex = Bsin(w t - bz) ， Ey = Acos(w t - bz + 90°)(2) Ey = -Acos(w tbx) ， Ez = Acos(w t - bx + 90°)(3) Ez = Bcos

16、(w t + by - 270°) ， Ex = Acos(w t + by)(4) Ex = Aej(w t+b z) ， Ez = Aej(w t+b z+90°)(5) 6-8 試證明：(1) 一個橢圓極化波可以分解為一個左旋和右旋的圓極化波；(2) 一個圓極化波可以由兩個旋向相反的橢圓極化波疊加而成。6-9 已知無限大均勻理想介質(zhì)中，電場強度矢量的表達式為E = (i2 + j2 - kj)e-j(x-y) (1)試說明該波的極化狀態(tài)，并計算它的波長 l。6-10 z = 0平面是無限大分界面，z < 0一側(cè)為真空，z > 0一側(cè)為相對磁導率和相對介電常

17、數(shù)分別為mr = 1和 er = 2.25的理想介質(zhì)。圓頻率為 w 的線極化均勻平面電磁波從真空一側(cè)向分界面垂直投射。已知z = 0分界面上，入射波的電場強度矢量為Ei(x, y, 0, t) = iEix = i300pcos(w t) (mV/m)。試求：(1) 分界面兩側(cè)電磁波的相位常數(shù)k，波長 l，相速vp和波阻抗 h ；(2) 分界面兩側(cè)入射波、反射波和傳輸波的電場強度矢量、磁場強度矢量表達式；(3) 驗證分界面上滿足電磁場邊界條件和能量守恒定律。6-11 把6-10已知條件中的入射波改為垂直入射面極化，即Ei(x, y, 0, t) = jEiy = j300pcos(w t) (

18、mV/m)，按上面3個步驟重作一遍。6-12 分別把前兩題中得到的反射波和傳輸波在分界面上的表達式作為已知條件，重做3個步驟。6-13 在什么條件下，兩種無耗介質(zhì)分界面上垂直入射的均勻平面電磁波反射系數(shù)R和傳輸系數(shù)T的大小相等？6-14 一右旋圓極化波從空氣垂直入射到位于z = 0的理想導體板上，其電場強度矢量為 (1)6-15題圖試求：(1) 確定入射波和反射波的極化狀態(tài)；(2) 理想導體板上的感應面電流密度矢量JS；(3) 寫出空氣中總的電場強度矢量E的表達式。6-15 參見題圖，光學儀器中經(jīng)常使用的等腰三角形玻璃棱鏡。玻璃的相對介電常數(shù)為 er = 4，相對磁導率為 mr = 1。試計算

19、反射光功率流密度與入射光功率流密度之比。6-16 左旋圓極化波 (4)從空氣垂直入射到無限大介質(zhì)塊上。介質(zhì)的磁導率為 m0 ，介電常數(shù)為9e0。試求：(1) 入射波的磁場強度矢量Hi表達式，反射波的電場強度矢量Er和磁場強度矢量Hr表達式，傳輸波的電場強度矢量Et和磁場強度矢量Ht表達式；(2) 分別計算入射波、反射波和傳輸波的功率流密度。(3) 如果介質(zhì)的磁導率為 m0，介電常數(shù)為4e0，入射波、反射波和傳輸波的平均功率流密度與例6-5-3是否不同？6-17 均勻平面電磁波由空氣入射到z = 0的理想導體平面上，電場強度矢量為Ei (x, z) = j10e-j(6x + 8z) (V/m)

20、 (8)試求：(1) 波的頻率f和波長 l，以及它的傳播方向；(2) 入射波電場強度矢量Ei和磁場強度矢量Hi的瞬時值形式表達式；(3) 確定斜入射波的入射角(傳播方向的單位矢量或方向余弦)；(4) 反射波的電場強度矢量Er和磁場強度矢量Hr表達式；(5) 總的電場強度矢量E和磁場強度矢量H的表達式。第7章7-1 已知矩形波導橫截面的尺寸為a×b = 2.850 ´ 1.262 cm2，內(nèi)部填充空氣(m0, e0)。波導所傳輸信號的工作頻率為f = 8×109 Hz，求主模的截止頻率fc (10) ，截止波長 l c (10)，波導波長 lg(10) 和波阻抗。已

21、知光速為c = 2.998×108 m/s。7-2 已知矩形波導橫截面的尺寸為a ´ b = 2.286 ´ 1.016 cm2，內(nèi)部填充空氣(m0, e0)。波導所傳輸信號的工作頻率為f = 2 ´ 1010 Hz。試求矩形波導中能傳輸?shù)牟ㄐ湍Ｊ?。已知光速為c = 2.998×108 m/s。7-3 已知矩形波導橫截面的尺寸為a ´ b，填充空氣(m0, e0)。試寫出：(1) TM11模(E11模)的場量表達式；(2) x = 0壁內(nèi)表面上的電流密度矢量JS。 7-4 已知矩形波導橫截面的尺寸為a ´ b，填充空氣(m0

22、, e0)。試寫出：(1) TE11模(H11模)的場量表達式；(2) x = a壁內(nèi)表面上的電荷密度 rS 。7-5 有一空氣填充的矩形波導，橫截面的尺寸為a = 2.25 cm，b = 1.00 cm，工作于TE10模(H10模)狀態(tài)，工作頻率為f = 10 GHz。在不發(fā)生擊穿現(xiàn)象的情況下，矩形波導內(nèi)所能通過的最大傳輸功率為何？7-6 矩形波導橫截面的尺寸為a ´ b = 2.3 ´ 1.0 cm2。如果該波導分別以 l0 = 5 cm，l0 = 4.7 cm，l0 = 4 cm，l0 = 3 cm和 l0 = 2 cm 5種工作波長來工作。試問：(1) 若波導填充空

23、氣，哪些工作波長的信號不能在波導中傳輸？哪些工作波長信號能以TE10模(H10模)單模傳輸？哪些工作波長的信號會出現(xiàn)多模傳輸？(2) 若該波導填充 mr = 1，er = 4的介質(zhì)，哪些工作波長的信號能以TE10模(H10模)單模傳輸？哪些工作波長的信號多模傳輸？7-7 欲使工作頻率為f = 1.5 GHz的信號在橫截面為a ´ b = 5.0 ´ 2.0 cm2的矩形波導中以TE10模(H10模)單模傳輸，試問該波導中所需要填充介質(zhì)的相對磁導率 mr和相對介電常數(shù) er分別應為多少？7-8 矩形波導橫截面的尺寸為a ´ b = 7.0 ´ 3.0 cm

24、2，傳輸工作頻率為f = 1.0 GHz的信號。試求：(1)當波導內(nèi)部填充空氣時，信號能否以TE10模(H10模)單模傳輸？(2) 當波導中填充 mr = 1，er = 4的媒質(zhì)時，信號能否在波導中以TE10模(H10模)單模傳輸？(3) 當波導中填充 mr = 1，er = 9的媒質(zhì)時，波導中會出現(xiàn)哪幾種工作模式？(4) 當波導中填充 mr = 1，er = 25的媒質(zhì)時，波導中會出現(xiàn)哪幾種工作模式？7-9 假設矩形波導中單模傳輸頻率為f = 50 Hz的市電。試問：(1) 當波導內(nèi)部填充空氣時，矩形波導橫截面寬邊的尺寸a應該選多大？(2) 當波導內(nèi)填充 mr = 10，er = 10的介質(zhì)

25、時，a值又如何選擇？7-10 已知圓形波導的半徑為a = 1.389 cm，內(nèi)部填充空氣。假設波導中傳輸信號的頻率為f = 8.6 GHz，f = 8.6 GHz，試計算圓形波導主模的截止波長和波導波長 ，并問此時波導中還存在著那些模式？7-11 試寫出空氣填充的尺寸為a ´ b ´ d = 8 ´ 6 ´ 5 cm3矩形諧振腔的前三個最低模式及其諧振頻率。7-12 試寫出空氣填充的尺寸為a ´ b ´ d = 4 ´ 3 ´ 5 cm3矩形諧振腔的前三個最低模式及其諧振頻率。第8章8-1 已知磁化等離子體的張量介電常數(shù)為 (1)試求：(1) 電場強度矢量E = iEx + jEy + kEz對應的電位移矢量D的表達式；(2) 如果電位移矢量D = iDx，試求它所對應的電場強度矢量E。8-2 頻率為f = 10 MHz的均勻平面電磁波在B0 = 0的非磁化等離子體中傳播。已知等離子體頻率