交通數(shù)據(jù)處理與分析-一元非線性回歸分析剖析

1、案例：頭圍是反映嬰幼兒大腦和顱骨發(fā)育程度的重要指標(biāo)之一，在醫(yī)學(xué)上，對(duì)頭圍的研究具有重要的意義。數(shù)據(jù)格式如下。根據(jù)數(shù)據(jù)建立頭圍與年齡間的回歸方程令x表示年齡，y表示頭圍。x和y均為一維變量，同樣可以從x和y的散點(diǎn)圖上直觀地觀察它們之間的關(guān)系，然后再作進(jìn)一步的分析從圖中可以看出，年齡和頭圍服從非線性關(guān)系，可以考慮做非線性回歸分析。根據(jù)散點(diǎn)圖的走勢(shì)，可以選取以下函數(shù)作為理論回歸方程負(fù)指數(shù)函數(shù)雙曲線函數(shù)冪函數(shù)Logistic曲線函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)231xyebbb+=123xyxbbb+=+()312yxbbb=+()3121xyebbb-+=+()123lnyxbbb=+以上函數(shù)中都包含多個(gè)未知參數(shù)，需要

2、由觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，根據(jù)需要還可減少或增加未知參數(shù)的個(gè)數(shù)。以上函數(shù)都可以呈現(xiàn)出先急速增加，而后區(qū)域平緩的趨勢(shì)，比較適合頭圍和年齡的觀測(cè)數(shù)據(jù)，均可以作為備選的理論回歸方程nlinfit函數(shù)Matlab統(tǒng)計(jì)工具箱中的nlinfit函數(shù)用來(lái)作一元或多重非線性回歸。記Y為因變量觀測(cè)值向量，矩陣X為自變量觀測(cè)值矩陣，X的每一列對(duì)應(yīng)一個(gè)變量，每一行對(duì)應(yīng)一組觀測(cè)。為模型的未知參數(shù)向量。12nyyYy輊犏犏犏=犏犏犏犏臌( ) ( )( )( ) ()()( ) ()( )111212122212ppnnnpxxxxxxXxxx輊犏犏犏犏=犏犏犏犏臌12nbbbb輊犏犏犏=犏犏犏犏臌beta = nlinfi

3、t(X, y, fun, beta0)返回非線性回歸方程式中的未知參數(shù)的估計(jì)值beta，若回歸方程中有k個(gè)未知參數(shù)，beta為包含k個(gè)元素的向量，X為自變量的觀測(cè)值矩陣，是n*p的矩陣，輸入?yún)?shù)y為因變量的觀測(cè)值向量，是n*1的列向量。輸入?yún)?shù)fun是回歸方程式所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的句柄或函數(shù)名。應(yīng)根據(jù)回歸方程編寫(xiě)如下形式的函數(shù)：modelfun為函數(shù)名，b為未知參數(shù)向量。nlinfit函數(shù)的輸入?yún)?shù)beta0為用戶設(shè)定的未知參數(shù)的初值，不同的初值可能會(huì)有不同的估計(jì)結(jié)果，故設(shè)定初值時(shí)最好能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題有個(gè)提前的預(yù)判(),yhatmodelfun b X=beta, r, J, COVB, mse =

4、 nlinfit(X, y, fun, beta0)還返回殘差值向量r，雅克比矩陣J，未知參數(shù)的協(xié)方差矩陣COVB，誤差方差2的估計(jì)mse(均方誤差平方和)。這里的輸出可作為其他后續(xù)函數(shù)的輸入，用來(lái)計(jì)算參數(shù)估計(jì)值的置信區(qū)間，也可用來(lái)計(jì)算給定x處的預(yù)測(cè)值及預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間。 = nlinfit(X, y, fun, beta0, options)nlinfit函數(shù)利用麥夸特(Levenberg-Marquardt)算法求解非線性回歸方程中的未知參數(shù)，它是一種迭代算法，這里的options用來(lái)設(shè)定該算法的控制參數(shù)。在調(diào)用nlinfit函數(shù)作一元非線性回歸分析之前，應(yīng)根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)選擇合適的理論

5、回歸方程，理論回歸方程往往不是唯一的，可以有多種選擇。有了理論回歸方程之后，首先編寫(xiě)理論回歸方程對(duì)應(yīng)的M函數(shù)。函數(shù)應(yīng)有兩個(gè)輸入?yún)?shù)，一個(gè)輸出參數(shù)。第一個(gè)輸入為未知參數(shù)向量，對(duì)于一元回歸，第二個(gè)輸入為自變量觀測(cè)值向量，而對(duì)于多重回歸，第二個(gè)輸入為自變量觀測(cè)值矩陣。函數(shù)的輸出為因變量觀測(cè)值向量，針對(duì)所選擇的負(fù)指數(shù)函數(shù)，編寫(xiě)M函數(shù)如下在種定義方式下，可以將HeadCirl或HeadCirl傳遞給nlinfitz函數(shù)，作為fun參數(shù)在種定義方式下，可以將HeadCirl或HeadCirl傳遞給nlinfitz函數(shù)，作為fun參數(shù)對(duì)于比較簡(jiǎn)單的理論回歸方程，還可以使用符號(hào)定義匿名函數(shù)，例如可以如下定義負(fù)指數(shù)函數(shù)HeadCir2 = (beta, x)beta(1)*exp(beta(2)./(x+beta(3); 未知參數(shù)的選取時(shí)一個(gè)難點(diǎn)，從散點(diǎn)圖上看，隨著年齡的增長(zhǎng)，人的頭圍也在增長(zhǎng)，但不會(huì)一直增長(zhǎng)，到了一定的年齡之后，頭圍就穩(wěn)定在5055之間。注意到 ，可以選取1的初值為5055之間的一個(gè)數(shù)，不妨選取為53.2311limxxebbbb+ + =再注意到，初生嬰兒的頭圍在35