培訓(xùn)之?dāng)?shù)論第13章微分方程建模

1、第十三章微分方程建模微分方程建模是數(shù)學(xué)建模的重要方法，因?yàn)樵S多實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述將導(dǎo)致求解微分方程的下幾步：?jiǎn)栴}。把形形的實(shí)際問(wèn)題化成微分方程的問(wèn)題，大體上可以按以1.2.3.根據(jù)實(shí)際要求確定要研究的量(自變量、未知函數(shù)、必要的參數(shù)等)并確定坐標(biāo)系。找出這些量所滿足的基本規(guī)律(物理的、幾何的、化學(xué)的或生物學(xué)的等等)。運(yùn)用這些規(guī)律列出方程和條件。列方程常見(jiàn)的方法有：（i）按規(guī)律直接列方程在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中許多自然現(xiàn)象所滿足的規(guī)律已為人們所熟悉，并直接由微分方程所描述。如第二定律、放射性物質(zhì)的放射性規(guī)律等。我們常利用這些規(guī)律對(duì)某些實(shí)際問(wèn)題列出微分方程。（ii）分析法與任意區(qū)域上取的方

2、法自然界中也有許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律是通過(guò)變量的之間的關(guān)系式來(lái)表達(dá)的。對(duì)于這類問(wèn)題，我們不能直接列出自變量和未知函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系式，而是通過(guò)分析法，利用已知的規(guī)律建立一些變量（自變量與未知函數(shù)）的然后再通過(guò)取極限的方法得到微分方程，或等價(jià)地通過(guò)任意區(qū)域上取微分方程。（iii）模擬近似法之間的關(guān)系式， 的方法來(lái)建立在生物、等學(xué)科中，許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律并不很清楚而且相當(dāng)復(fù)雜，因而需要根據(jù)實(shí)際資料或大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，提出各種假設(shè)。在一定的假設(shè)下，給出實(shí)際現(xiàn)象所滿足的規(guī)律，然后利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法列出微分方程。在實(shí)際的微分方程建模過(guò)程中，也往往是上述方法的綜合應(yīng)用。不論應(yīng)用哪種方法， 通常要根據(jù)實(shí)

3、際情況，作出一定的假設(shè)與簡(jiǎn)化，并要把模型的理論或計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情對(duì)照驗(yàn)證，以修改模型使之更準(zhǔn)確地描述實(shí)際問(wèn)題并進(jìn)而達(dá)到本章將利用上述方法討論具體的微分方程的建模問(wèn)題。預(yù)報(bào)的目的。§1發(fā)射為什么用三級(jí)火箭采用運(yùn)載火箭把人造多級(jí)火箭系統(tǒng)？發(fā)射到高空軌道上運(yùn)行，為什么不能用一級(jí)火箭而必須用下面通過(guò)建立運(yùn)載火箭有關(guān)的數(shù)學(xué)模型來(lái)回答上述問(wèn)題。火箭是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了，我們只從動(dòng)力系統(tǒng)和整體結(jié)構(gòu)上分析，并且假設(shè)引擎是足夠強(qiáng)大的。1.1為什么不能用一級(jí)火箭發(fā)射人造下面用三個(gè)數(shù)學(xué)模型回答這個(gè)問(wèn)題1.1.1進(jìn)入 600km 高空軌道時(shí)，火箭必須的最低速度首先將問(wèn)題理想化，假設(shè)：（i）軌

4、道是以地球中心為圓心的某個(gè)平面上的圓周，在此軌道上以地球引力作為向心力繞地球作平面勻速圓周運(yùn)動(dòng)；（ii）地球是固定于空間中的一個(gè)均勻球體，其質(zhì)量集中于球心；（iii）其它星球?qū)Φ囊雎圆挥?jì)。建模與求解：設(shè)地球半徑為 R ，質(zhì)量為 M ；軌道半徑為 r ，質(zhì)量為m 。根據(jù)假設(shè)（ii）和（iii），只受到地球的引力，由萬(wàn)有引力定律可知其引力-265-大小為F = GMm（1）r 2其中G 為引力常數(shù)。 為消去常數(shù)G ，把放在地球表面，則由（1）式得mg = GMm或 GM = R2 gR2再代入（1）式，得æ R ö2F = mgç÷（2）è r

5、 ø其中 g = 9.81(m/s2 ) 為重力度。地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v ，則其向心力為mv 2 / r ，根據(jù)假設(shè)（i），若因?yàn)樗艿牡厍蛞褪撬鲃蛩龠\(yùn)動(dòng)的向心力，故有æ R ö2mv 2=mgç÷è r ør由此便推得距地面為(r - R)km ，必須的最低速度的數(shù)學(xué)模型為v = R（3）取 R = 6400km ， r - R = 600km ，代入上式，得v » 7.6km/s即要把送入離地面 600km 高的軌道，火箭的末速度最低應(yīng)為 7.6km/s。1.1.2火箭推進(jìn)力及升空速度火箭的簡(jiǎn)單模

6、型是由一臺(tái)發(fā)和一個(gè)倉(cāng)組成燃燒產(chǎn)生大量氣體從火箭末端噴出，給火箭一個(gè)向前的推力?；鸺w行要受地球引力、空氣阻力、地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)等的影響，使火箭升空后作曲線運(yùn)動(dòng)。為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，假設(shè)：（i）火箭在噴氣推動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)，火箭所受的重力和空氣阻力忽略不計(jì)。（ii） 在t 時(shí)刻火箭質(zhì)量為m(t) ，速度為v(t) ，且均為時(shí)間t 的連續(xù)可微函數(shù)；（iii） 從火箭末端噴出氣體的速度（相對(duì)火箭本身）為常數(shù)u 。建模與分析：由于火箭在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不斷噴出氣體，使其質(zhì)量不斷減少，在(t, t + Dt) 內(nèi)的減少量可由臺(tái)式表示為m(t + Dt) - m(t) = dm Dt + o(Dt)（4）dt因?yàn)閲?出 的氣

7、體 相 對(duì)于地 球 的速度 為 v(t) - u ， 則 由動(dòng)量 守 恒定律 有m(t)v(t) = m(t + Dt)v(t + Dt) - é dm Dt + o(Dt)ù(v(t) - u)（5）êë dt從（4）式和（5）式可得火箭推進(jìn)力的數(shù)學(xué)模型為m dv = -u dmúû（6）dtdt令t = 0 時(shí)， v(0) = v0 ， m(0) = m0 ，求解上式，得火箭升空速度模型-266-grm0v(t) = v + u ln（7）0m(t)（6）式表明火箭所受推力等于消耗速度與噴氣速度（相對(duì)火箭）的乘積。（7）式表明，在

8、v0 , m0 一定的條件下，升空速度 v(t) 由噴氣速度（相對(duì)火箭） u 及質(zhì)量比m0 / m(t) 決定。這為提高火箭速度找到了正確途徑：從上設(shè)法減少m(t) 。1.1.3一級(jí)火箭末速度上限上設(shè)法提高u 值；從結(jié)構(gòu)火箭系統(tǒng)的質(zhì)量可分為三部分：mp（有效負(fù)載，如），mF（質(zhì)量），ms （結(jié)構(gòu)質(zhì)量，如外殼、條件的限制，假設(shè)：（i）目前技術(shù)條件為：相對(duì)火箭的噴氣速度u = 3 km/s 及容器及推進(jìn)器）。一級(jí)火箭末速度上限主要是受目前技術(shù)ms³ 1mF + ms9（ii）初速度v0 忽略不計(jì)，即v0 = 0 。建模與求解：因?yàn)樯栈鸺淖罱K（設(shè)（ii）得到末速度為耗盡）質(zhì)量為mp +

9、 ms ，由（7）式及假m0v = u ln（8）mp + ms令ms = l(mF + ms ) = l(m0 - mp ) ，代入上式，得m0lm0 + (1 - l)mpv = u ln（9）于是，當(dāng)脫離火箭，即mp = 0 時(shí)，便得火箭末速度上限的數(shù)學(xué)模型為= u ln 1v0l1由假設(shè)（i），取u = 3 km， l =，便得火箭速度上限9= 3ln 9 » 6.6 km/s，在目前技術(shù)條件下無(wú)法達(dá)到相應(yīng)高度所需的速度。v0因此，用一級(jí)火箭發(fā)射1.2理想火箭模型從前面對(duì)問(wèn)題的假設(shè)和分析可以看出：火箭推進(jìn)力自始至終在著整個(gè)火箭，然而隨著的不斷消耗，所出現(xiàn)的無(wú)用結(jié)構(gòu)質(zhì)量也在隨之

10、不斷，作了無(wú)用功，故效益低，浪費(fèi)大。所謂理想火箭，就是能夠隨著數(shù)學(xué)模型。的燃燒不斷拋棄火箭的無(wú)用結(jié)構(gòu)。下面建立它的假設(shè)：在(t, t + Dt) 時(shí)段丟棄的結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燒掉的質(zhì)量以 與1 - a 的比例同時(shí)進(jìn)行。建模與分析：由動(dòng)量守恒定律，有-267-m(t)v(t) = m(t + Dt)v(t + Dt) - a dm Dt × v(t)dt- (1 - a ) dm Dt × (v(t) - u) + o(Dt)dt由上式可得理想火箭的數(shù)學(xué)模型為- m(t) dv(t) = (1 - a ) dm × u（10）dtdt及v(0) = 0 ， m(0) = m

11、0解之得m0v(t) = (1- a )u ln（11）m(t)質(zhì)量 mp ，從而最終速由上式可知，當(dāng)耗盡，結(jié)構(gòu)質(zhì)量拋棄度的數(shù)學(xué)模型為v(t) = (1 - a )u ln m0mp（12）式表明，當(dāng)m0 足夠大時(shí)，便可使，便只剩（12）達(dá)到我們所希望它具有的任意速度。例如，考慮到空氣阻力和重力等因素，估計(jì)要使v = 10.5 km/s 才行，如果取u = 3 km/s，a = 0.1 ，則可推出m0 / mp = 50 ，即發(fā)射 1 噸重的大約需 50 噸重的理想火箭。1.3多級(jí)火箭系統(tǒng)理想火箭是設(shè)想把無(wú)用結(jié)構(gòu)質(zhì)量連續(xù)拋棄以達(dá)到最佳的升空速度，雖然這在目前的技術(shù)條件下辦不到，但它確為發(fā)展火箭

12、技術(shù)指明了奮斗目標(biāo)。目前已商業(yè)化的多級(jí)火箭系統(tǒng)便是朝著這種目標(biāo)邁進(jìn)的第一步。多級(jí)火箭是從末級(jí)開(kāi)始，逐級(jí)燃燒，當(dāng)?shù)趇級(jí)燒盡時(shí)，第i + 1 級(jí)火箭立即自動(dòng)點(diǎn)火，并拋棄已經(jīng)無(wú)用的第i 級(jí)。我們用mi 表示第i 級(jí)火箭質(zhì)量， mp 表示有效負(fù)載。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，先作如下假設(shè)：（i） 設(shè)各級(jí)火箭具有相同的 l ， lmi 表示第i 級(jí)結(jié)構(gòu)質(zhì)量， (1 - l)mi 表示第i 級(jí)的質(zhì)量。（ii） 噴氣相對(duì)火箭的速度u 相同，燃燒級(jí)的初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變，記該比值為k 。先考慮火箭。由（7）式，當(dāng)?shù)谝患?jí)火箭燃燒，其速度為m1 + m2 + mpk + 1lk + 1v = u ln= u ln1

13、lm + m + m12p在第火箭燃燒，其速度為m2 + mpk + 1lk + 1v = v + u ln= 2u ln（13）21lm + m2p仍取u = 3 km/s， l = 0.1，考慮到阻力等因素，為了達(dá)到第一宇宙速度，對(duì)于二級(jí)火箭，欲使v2 = 10.5 km/s，由（13）式得-268-k + 1= 10.56 ln0.1k + 1解之得k = 11.2 ，這時(shí)= m1 + m2 + mpm0 mp= (k + 1)2 » 149mp同理，可推出三級(jí)火箭k + 1v = 3u ln3lk + 1欲使v3 = 10.5 km/s，應(yīng)該k » 3.25 ，從而

14、m0 / mp » 77 。與火箭相比，在達(dá)到相同效果的情況下，三級(jí)火箭的質(zhì)量幾乎節(jié)省了一半?，F(xiàn)記n 級(jí)火箭的總質(zhì)量（包括有效負(fù)載mp ）為m0 ，在相同假設(shè)下（ u = 3 km/s，v末 = 10.5 km/s， l = 0.1），可以算出相應(yīng)的m0 / mp 值，現(xiàn)將計(jì)算結(jié)果列于表 1。表 1實(shí)際上，由于受技術(shù)條件的限制，采用四級(jí)或四級(jí)以上的火箭， 的，因此采用三級(jí)火箭是最好的方案。1.4最佳結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)效益是不合算考慮當(dāng)用n 級(jí)火箭發(fā)射時(shí)的最佳結(jié)構(gòu)，即使m0 / mp 最小的結(jié)構(gòu)。下面記w1 = m0 = m1 + m2 +L+ mn + mpw2 = m2 +L+ mn + m

15、pwn +1 = mp記w1wnk =， k =1nwwn +12æöw1wn= u lnç lm÷v末+ w L lm + wè12nn +1 ø由于m1 = w1 - w2 ， m2 = w2 - w3 ， mn = wn - wn +1 ，可以推出æök1knv末 = u lnç l(k-1) + 1L l(k -1) + 1 ÷è1øn-269-n（級(jí)數(shù)）12345m0 / mpࡦ= k k Lk1 2nmp則最佳結(jié)構(gòu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為mi

16、nk1k2 Lknk1k2 Lkn= cs.t.l(k1 -1) + 1Ll(kn -1) + 1= L = k 時(shí)， m0 最小?？梢酝瞥霎?dāng)k = k12nmp§2 人口模型2.1 問(wèn)題提出據(jù)考古學(xué)家論證，地球上出現(xiàn)生命距今已有 20 億年，而人類的出現(xiàn)距今卻不足 200 萬(wàn)年?？v觀人類人口總數(shù)的增長(zhǎng)情況，我們發(fā)現(xiàn)：1000 年前人口總數(shù)為 2.75 億。經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的過(guò)程到 1830 年，人口總數(shù)達(dá) 10 億，又經(jīng)過(guò) 100 年，在 1930 年，人口總數(shù)達(dá) 20億；30 年之后，在 1960 年，人口總數(shù)為 30 億；又經(jīng)過(guò) 15 年，1975 年的人口總數(shù)是40 億，12 年之后

17、即 1987 年，人口已達(dá) 50 億。我們自然會(huì)產(chǎn)生這樣一個(gè)問(wèn)題：人類人口增長(zhǎng)的規(guī)律是什么？如何在數(shù)學(xué)上描述這一規(guī)律。2.2 Malthus 模型1789 年，英國(guó)神父 Malthus 在分析了一百多年人口統(tǒng)計(jì)資料之后，提出了 Malthus模型。模型假設(shè)（i）設(shè) x(t) 表示t 時(shí)刻的人口數(shù)，且 x(t) 連續(xù)可微。（ii）人口的增長(zhǎng)率 r 是常數(shù)（增長(zhǎng)率=出生率率）。（iii）人口數(shù)量的變化是封閉的，即人口數(shù)量的增加與減少只取決于人口中的和，且每一都具有同樣的能力與率。建模與求解由假設(shè)， t 時(shí)刻到t + Dt 時(shí)刻人口的增量為x(t + Dt) - x(t) = rx(t)Dt于是得&

18、#236; dx = rxïí dtïîx(0) = x0（14）其解為x(t) = x0ert(15)模型評(píng)價(jià)考慮二百多年來(lái)人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況，1961 年世界人口總數(shù)為 3.06 ´109 ，在19611970 年這段時(shí)間內(nèi)，每年平均的人口自然增長(zhǎng)率為 2%，則（15）式可寫(xiě)為x(t) = 3.06 ´109 × e0 02(t-1961)(16)根據(jù) 17001961世界人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)與（16）式的計(jì)算結(jié)果相當(dāng)符合。因?yàn)樵谶@期間地球上人口大約每 35 年增加 1 倍，而（16）式算出每 34.6-270

19、-年增加 1 倍。但是，當(dāng)人們用（15）式對(duì) 1790 年以來(lái)的美國(guó)人口進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有很大差異。利用（16）式對(duì)世界人口進(jìn)行，也會(huì)得出驚異的結(jié)論：當(dāng) t = 2670 年時(shí)，x(t) = 4.4 ´1015 ，即 4400 萬(wàn)億，這相當(dāng)于地球上每平方米要容納至少 20 人。的結(jié)果遠(yuǎn)高于實(shí)際人口增長(zhǎng)，誤差的是對(duì)增長(zhǎng)率 r顯然，用這一模型進(jìn)行的估計(jì)過(guò)高。由此，可以對(duì) r 是常數(shù)的假設(shè)提出疑問(wèn)。2.3阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic 模型）如何對(duì)增長(zhǎng)率 r 進(jìn)行修正呢？我們知道，地球上的是有限的，它只能提供一定數(shù)量的生命生存所需的條件。隨著人口數(shù)量的增加，自然、環(huán)境條件等對(duì)人口再增長(zhǎng)的限制

20、作用將越來(lái)越顯著。如果在人口較少時(shí)，我們可以把增長(zhǎng)率 r 看成常數(shù)，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量之后，就應(yīng)當(dāng)視 r 為一個(gè)隨著人口的增加而減小的量，即將增長(zhǎng)率 r 表示為人口 x(t) 的函數(shù) r( x) ，且 r( x) 為 x 的減函數(shù)。模型假設(shè)（i） 設(shè)r( x) 為 x 的線性函數(shù)， r( x) = r - sx 。（工程師原則，首先用線性）（ii） 自然與環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)為 xm ，即當(dāng) x = xm 時(shí)，增長(zhǎng)率r( xm ) = 0 。建模與求解由假設(shè)（i），（ii），可得 r( x) = r(1 -) ，則有xmxì dxx= r(1 -)x,ï dt

21、xí（17）mïîx(t0 ) = x0（17）式是一個(gè)可分離變量的方程，其解為xmx(t) =(18)1 + ( xm-1)e-r (t -t0 )x0模型檢驗(yàn) 由（17）式，計(jì)算可得d 2 x =x2xr (1 -)(1 -)x2(19)dt 2xxmm人口總數(shù) x(t) 有如下規(guī)律：（i） lim x(t) = xm ，即無(wú)論人口初值 xm 如何，人口總數(shù)以 xm 為極限。t ®+¥dxx（ii）當(dāng)0 < x0 < xm 時(shí)， dt = r(1- x )x > 0 ，這說(shuō)明 x(t) 是單調(diào)增加的，又由md 2 xd 2

22、 xxx（19）式知：當(dāng) x < m 時(shí)，> 0 ，x = x(t) 為凹，當(dāng) x > m 時(shí)，< 0 ，x = x(t)2dt 22dt 2為凸。dx（iii）人口變化率在 x =時(shí)取到最大值，即人口總數(shù)達(dá)到極限值一半以前xmdt2-271-是生長(zhǎng)時(shí)期，經(jīng)過(guò)這一點(diǎn)之后，生長(zhǎng)速率會(huì)逐漸變小，最終達(dá)到零。與 Malthus 模型一樣，代入一些實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)算，若取 1830 年為t = t0 = 0 ，x0 = 10 ´10 ， xm = 25 ´10 ， r = 0.02 可以看出，直到 1930 年，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)88據(jù)都能較好地吻合，在 193

23、0 年之后，計(jì)算與實(shí)際偏差較大。之一是 60 年代的實(shí)際人口已經(jīng)了假設(shè)的極限人口 xm ，由此可知，本模型的缺點(diǎn)之一就是不易確定 xm 。2.4模型推廣可以從另一個(gè)角度導(dǎo)出阻滯增長(zhǎng)模型，在 Malthus 模型上增加一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)- bx 2 (b > 0) ，它的作用是使純?cè)鲩L(zhǎng)率減少。如果一個(gè)工業(yè)化程度較高，食品供應(yīng)較充足，能夠提供的人生存，此時(shí)b 較?。环粗産 較大，故建立方程ì dx= x(a - bx)(a, b > 0),ïí dt（20）ïîx(t0 ) = x0 ,其解為ax0x(t) =(21)bx + (a - bx)

24、e-a (t -t0 )00由（21）式，得d 2 x =(a - 2bx)(a - bx)x(22)dt 2對(duì)(20)(22)式進(jìn)行分析，有ab（i）對(duì)任意t > t0 ，有 x(t) > 0 ，且 lim x(t) =t ®+¥aaab（ii）當(dāng)0 < x <時(shí)，x'(t) > 0 ，x(t) 遞增；當(dāng) x =時(shí)，x'(t) = 0 ；當(dāng) x(t) >b時(shí)， x' (t) < 0 ， x(t) 遞減。baaa（iii）當(dāng)0 < x <時(shí)， x' ' (t) > 0 ， x

25、(t) 為凹，當(dāng)< x <時(shí)， x' ' (t) < 0 ，2b2bbx(t) 為凸。a令（20）式第一個(gè)方程的右邊為 0，得 x1 = 0 ， x2 = b ，稱它們是微分方程（20）aalim x(t) =，故又稱 是（20）式的穩(wěn)定平衡解。可的平衡解。：不論人bbt ®+¥a口開(kāi)始的數(shù)量 x0 為多少，經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間后，人口總數(shù)將穩(wěn)定在 b 。參數(shù)a 和b 可以通過(guò)已知數(shù)據(jù)利用中的非線性回歸命令 nlinfit 求得。§3模型早在第一次期間，F(xiàn). W. Lanchester 就提出了幾個(gè)結(jié)局的數(shù)學(xué)模型，其中包括雙方均為正規(guī)

26、；雙方均為游擊隊(duì)；的一方為正規(guī)，另一方為游擊隊(duì)。后來(lái)人們對(duì)這些模型作了改進(jìn)和進(jìn)一步的解釋，用以分析歷史上一些-272-著名的，如二次中的美日硫和 1975 年的越南。勝負(fù)的因素有很多，的多少和戰(zhàn)斗力的強(qiáng)弱是兩個(gè)主要的因素。士兵的數(shù)量會(huì)隨著的進(jìn)行而減少，這種減少可能是因?yàn)殛囃?、?fù)傷與被俘，也可能是因?yàn)榧膊∨c開(kāi)小差。分別稱之為戰(zhàn)斗減員與非戰(zhàn)斗減員。士兵的數(shù)量也可隨著增援的到來(lái)而增加。從某種意義上來(lái)說(shuō)，當(dāng)結(jié)束時(shí)，如果一方的士兵人數(shù)為零，那么另一方就取得了勝利。如何定量地描述中相關(guān)因兵數(shù)量與提高士兵素質(zhì)之間的關(guān)系。3.1模型一 正規(guī)戰(zhàn)模型模型假設(shè)間的關(guān)系呢？比如如何描述增加士（i）雙方士兵公開(kāi)活動(dòng)。

27、x 方士兵的戰(zhàn)斗減員僅與 y 方士兵人數(shù)有關(guān)。記雙方士兵人數(shù)分別為 x(t), y(t) ，則 x 方士兵戰(zhàn)斗減員率為ay(t) ，a 表示 y 方每個(gè)士兵的率。可知a = ry py ， ry 為 y 方士兵的射擊率（每個(gè)士兵次射擊中率。同理，用b 表示 x 方士兵對(duì) y 方士兵的時(shí)間的射擊次數(shù)）， py 每率，即b = rx px 。（ii） 雙方的非戰(zhàn)斗減員率僅與本方成正比。減員率系數(shù)分別為a, b 。（iii） 設(shè)雙方的增援率為u(t), v(t) 。模型與求解由假設(shè)可知ì dx = -ay - ax + u(t)ï dtí dy（23）ï

28、38; dt= -bx - by + v(t)我們對(duì)（23）式中的一種理想的情則（23）式化為求解，即雙方均沒(méi)有增援與非戰(zhàn)斗減員。ì dx = -ayï dtï dyï= -bxí dt（24）ïïx(0) = x0 ,ïî。y(0) = y0其中 x0 , y0 為雙方戰(zhàn)前的由（24）式的前兩式相除，得dy = bx dxay分離變量并得a( y 2 - y 2 ) = b( x 2 - x 2 ) ,00整理得ay 2 - bx 2 = ay 2 - by 200若令k = ay 2 - bx 2 ，

29、則有00ay 2 - bx 2 = k（25）-273-當(dāng)k = 0 ，雙方打成平局。當(dāng)k > 0 時(shí)， y 方獲勝。當(dāng)k < 0 時(shí)， x 方獲勝。這樣，y 方要想取得戰(zhàn)斗勝利，就要使k > 0 ，即ay 2 - bx 2 > 000考慮到假設(shè)（i），上式可寫(xiě)為ö2æ r öæ p öæ yç 0 ÷ > ç x ÷ç x ÷（26）ç r ÷ç p ÷xè 0 øè y &

30、#248;èy ø（26）式是 y 方占優(yōu)勢(shì)的條件。若交戰(zhàn)雙方都訓(xùn)練有素，且都處于良好的狀態(tài)。則 rx 與 ry ， pz 與 py 相差不大，（26）式右邊近似為 1。（26）式左邊表明，初始比y0例被平方地放大了。即雙方初始之比，以平方的關(guān)系影響著的結(jié)局。比如x0說(shuō)，如果 y 方的增加到原來(lái)的 2 倍，x 方不變，則影響著的結(jié)局的能力將增加 4 倍。此時(shí)， x 方要想與 y 方抗衡，須把其士兵的射擊率 rx 增加到原來(lái)的 4 倍（ px , ry , py 均不變）。以上是研究雙方之間系。的變化關(guān)系。下面將討論每一方的隨時(shí)間的變化關(guān)對(duì)（24）式兩邊對(duì)t 求導(dǎo)，得d 2

31、x = - dy= abx ，dt 2a dt即d 2 x -abx = 0（27）dt 2初始條件為= -ay0t=0解之，得ax(t) = x ch( ab t) -y sh( ab t)00b同理可求得 y(t) 的表為bay(t) = y ch( ab t) -x sh( ab t) 。003.2模型二 游擊戰(zhàn)模型模型假設(shè)（i） x 方與 y 方都是游擊隊(duì)，雙方士兵都不公開(kāi)活動(dòng)。 y 方士兵看不見(jiàn) x 方士兵，x 方士兵在某個(gè)面積為 Sx 的區(qū)域內(nèi)活動(dòng)。 y 方士兵不是向 x 方士兵射擊，而是向該區(qū)域射擊。此時(shí)， x 方士兵的戰(zhàn)斗減員不僅與 y 方加。因?yàn)樵谝粋€(gè)有限區(qū)域內(nèi)，士兵人數(shù)越多

32、，被有關(guān)，而且隨著 x 方增加而增的可能性越大?？稍O(shè)， x 方的戰(zhàn)斗-274-Sry減員率為cxy ，其中c 為 y 方戰(zhàn)斗效果系數(shù)， c = ry py = ry，其中 ry 仍為射擊率，Sxpy 為 y 方一次射擊的有效面積（ Sry ）與 x 方活動(dòng)面積（ Sx ）之比。類似地， 可以計(jì)算 x 方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)。假設(shè)（ii），（iii）同模型一的假設(shè)（ii），（iii）。模型與求解由假設(shè)，可得方程ì dx = -cxy - ax + u(t)ï dtí dy（28）ïî dt= -dxy - by + v(t)SrxSy其中d = r是

33、x 方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)。為了使（28）式容易求解，可以做一些簡(jiǎn)化：設(shè)交戰(zhàn)雙方在和增援。此時(shí)，有中均無(wú)非戰(zhàn)斗減員ì dx = -cxyï dtí dy（29）ï= -dxyïî dt兩式相除，得dy = d dxc，其軌線為c( y - y0 ) = d ( x - x0 )令l = cy0 - dx0 ，上式可化為cy - dx = l當(dāng)l = 0 ，雙方打成平局。當(dāng)l > 0 時(shí)， y 方獲勝。當(dāng)l < 0 時(shí)， x 方獲勝。y 方獲勝的條件可以表示為(30)y0 > d x0crx Srx Sx=ry Sry Sy

34、y0之比以線性關(guān)系影響戰(zhàn)斗的結(jié)局。當(dāng)雙方的射擊率 r , r 與有效射擊面積即初始xyx0Srx , Sry 一定時(shí)，增加活動(dòng)面積 Sy 與增加初始3.3模型三 混合戰(zhàn)模型模型假設(shè)y0 起著同樣的作用。（i） x 方為游擊隊(duì)， y 方為正規(guī)。（ii）交戰(zhàn)雙方均無(wú)戰(zhàn)斗減員與增援。模型與求解-275-借鑒模型一與二的思想，可得ì dx = -cxyï dtï dyï= -bxí dt（31）ïïx(0) = x0 ,ïîy(0) = y0其軌線為cy 2 - 2bx = m（32）其中m = cy 2 - 2

35、bx 。00y0 遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 1 時(shí)，正規(guī)x0y 才能戰(zhàn)勝游擊隊(duì)。當(dāng)m > 0 時(shí)，經(jīng)驗(yàn)表明，只有當(dāng)y 方勝，此時(shí)ö2æ y2b2rç 0 ÷è x0 ø> =cx0（33）ry Sry x0一般來(lái)說(shuō)，正規(guī)以火力強(qiáng)而見(jiàn)長(zhǎng)，游擊隊(duì)以活動(dòng)靈活，活動(dòng)范圍大而見(jiàn)長(zhǎng)。這可以通過(guò)一些具體數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。p = 0.1， rx = 1 ，活動(dòng)區(qū)域的面積 S = 106 m2， y 方不妨設(shè) x = 100 ，0xxr2y有效射擊面積 Sry = 1 m ，則由（33）， y 方取勝的條件為2ö2æ y2 ´ 0

36、.1´ 0.1´106ç 0 ÷è x0 ø>= 1002 ´1´100y0 > 10x0 ， y 方的是 x 方的 10 倍。美國(guó)人曾用這個(gè)模型分析越南。根據(jù)類似于上面的計(jì)算以及四五十年代發(fā)生在、菲律賓、老撾等地的混合的實(shí)際情況估計(jì)出，正規(guī)一方要想取勝必須至少投入8 倍于游擊一方的，而美國(guó)至多只能派出6 倍于越南的。越南的結(jié)局是美國(guó)不得不接受和談并撤軍，越南取得最后的勝利。3.4模型四 一個(gè)實(shí)例J. H. Engel 用二次大戰(zhàn)末期美日硫黃島戰(zhàn)役中的行了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得很好。硫黃島位

37、于東京以南 660 英里的海面上，是日軍的重要，對(duì)正規(guī)模型進(jìn)基地。在 1945 年2 月開(kāi)始進(jìn)攻，激烈的戰(zhàn)斗持續(xù)了一，雙方傷亡慘重，日方守軍 21500 人全部陣亡或被俘，美方投入73000 人，傷亡 20265 人，進(jìn)行到 28 天時(shí)宣布占領(lǐng)該島，實(shí)際戰(zhàn)斗到 36 天才停止。的有按天統(tǒng)計(jì)的戰(zhàn)斗減員和增援情況。日軍沒(méi)有后援，則全部遺失。用 A(t) 和 J (t) 表示和日軍第t 天的人數(shù)，忽略雙方的非戰(zhàn)斗減員，則-276-ì dA = -aJ + u(t)ï dtï dJï= -bAí dt（34）ïï A(0) = 0,

38、ïîJ (0) = 21500給出增援u(t) 為ì54000,ï6000,0 £ t < 12 £ t < 35 £ t < 6其它u(t) = ïíï13000,ïî0,并可由每天傷亡人數(shù)算出 A(t) ， t = 1,2,L,36 。下面要利用這些實(shí)際數(shù)據(jù)代入（34） 式，算出 A(t) 的理論值，并與實(shí)際值比較。利用給出的數(shù)據(jù)，對(duì)參數(shù)a, b 進(jìn)行估計(jì)。對(duì)（34）式兩邊，有，并用近似代替ttA(t) - A(0) = -aå J (t )

39、+ åu(t )（35）t =1J (t) - J (0) = -bå A(t )t =1t(36)t =1為估計(jì) b 在（ 36 ）式中取 t = 36 ，因?yàn)?J (36) = 0 ，且由 A(t) 的實(shí)際數(shù)據(jù)可得å A(t) = 2037000 ，于是從（36）式估計(jì)出b = 0.0106 。再把這個(gè)值代入(36)式即可t =1算出 J (t) ， t = 1,2,L,36 。然后從(35)式估計(jì)a 。令t = 36 ，得åu(t ) - A(36)3636a =t =1å J (t )（37）36t =1是的總傷亡人數(shù)，為 20265

40、人，分母可由已經(jīng)算出的 J (t) 得到，為 372500其中人，于是從（37）式有a = 0.0544 。把這個(gè)值代入（35）式得A(t) = -0.0544å J (t ) + åu(t )tt（38）t =1t =1由（38）式就能夠算出人數(shù) A(t) 的理論值，與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合得很好。§4放射性廢料的處理4.1問(wèn)題的提出美國(guó)原子能委員會(huì)以往處理濃縮的放射性廢料的方法，一直是把它們裝入密封的圓桶里，然后扔到水深為 90 多米的海底。學(xué)家和科學(xué)家們表示擔(dān)心，怕圓桶下沉到-277-海底時(shí)與海底碰撞而發(fā)生破裂，從而造成核污染。原子能委員會(huì)分辯說(shuō)這是不可能的。為此工程

41、師們進(jìn)行了碰撞實(shí)驗(yàn)。發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓桶下沉速度超過(guò) 12.2 m/s 與海底相撞時(shí)，圓桶就可能發(fā)生碰裂。這樣為避免圓桶碰裂，需要計(jì)算一下圓桶沉到海底時(shí)速度是多少? 已知圓桶質(zhì)量為 239.46 kg，體積為 0.2058m3，海水密度為 1035.71kg/m3，如果圓桶速度小于 12.2 m/s 就說(shuō)明這種方法是安全可靠的，否則就要使用這種方法來(lái)處理放射性廢料。假設(shè)水的阻力與速度大小成正比例，其正比例常數(shù) k = 0.6 ?，F(xiàn)要求建立合理的數(shù)學(xué)模型，解決如下實(shí)際問(wèn)題：（1）這種處理廢料的方法是否合理?（2）一般情況下，v 大，k 也大；v 小，k 也小。當(dāng)v 很大時(shí)，常用 kv 來(lái)代替k ， 那么這

42、時(shí)速度與時(shí)間關(guān)系如何? 并求出當(dāng)速度不超過(guò) 12.2 m/s，圓桶的運(yùn)動(dòng)時(shí)間和位移應(yīng)不超過(guò)多少? ( k 的值仍設(shè)為 0.6)4.2模型的建立與求解（1）問(wèn)題一的模型首先要找出圓桶的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，由于圓桶在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到本身的重力以及水的浮力 H 和水的阻力 f 的作用，所以根據(jù)F = G - H - f運(yùn)動(dòng)定律得到圓筒受到的合力 F 滿足（39）dvd 2sds又因?yàn)?F = ma = m= m， G = mg ， H = rgV 以及 f = kv = k，可得到dt 2dtdt圓桶的位移和速度分別滿足下面的微分方程：d 2sdsdtm= mg - rgV - k（40）dt 2dvm= mg

43、 - rgV - kv（41）dtds= s t=0= 0 ，以及題設(shè)的初始數(shù)據(jù)，求得位根據(jù)方程（40），加上初始條件dt移函數(shù)為t=0.9924e-0 0025056 ts(t) = -171510.9924 + 429.7444t（42）由方程（41），加上初始條件v= 0 ，求得速度函數(shù)為t=0v(t) = 429.7444 - 429.7444e-0 0025056t（43）由 s(t) = 90m ，求得圓筒到達(dá)水深90m的海底需要時(shí)間t = 12.9994 s，再把它帶入方程（43），求出圓桶到達(dá)海底的速度為v = 13.7720m/s 。顯然此圓桶的速度已超過(guò)12.2m / s

44、，可以得出這種處理廢料的方法不合理。因此，美國(guó)原子能委員會(huì)已經(jīng)用這種方法來(lái)處理放射性廢料。計(jì)算的clc,clear程序如下：syms m V rho g ks=dsolve('m*D2s-m*g+rho*g*V+k*Ds','s(0)=0,Ds(0)=0'); s=subs(s,m,V,rho,g,k,239.46,0.2058,1035.71,9.8,0.6);s=vpa(s,10)%求位移函數(shù)v=dsolve('m*Dv-m*g+rho*g*V+k*v','v(0)=0'); v=subs(v,m,V,rho,g,k,239.46,0.2058,1035.71,9.8,0.6);v=vpa(v,7)%求速度函數(shù)-278-y=s-90;tt