對(duì)微分流形的初步認(rèn)識(shí)(成品)

1、對(duì)微分流形的初步認(rèn)識(shí)摘要：微分流形是描述無(wú)數(shù)自然現(xiàn)象的一種空間形式，是20世紀(jì)數(shù)學(xué)的有代表性的基本概念.本文分成四大部分，共11小節(jié),初步介紹關(guān)于微分流形的基本知識(shí)，對(duì)微分流形做一些初步的認(rèn)識(shí).其中包括關(guān)于微分流形、切向量場(chǎng)和張量場(chǎng)、外微分式、Stokes定理等的介紹.關(guān)鍵詞：微分流形；Stokes定理；張量場(chǎng)；切向量場(chǎng)；外微分式引言 在數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中，綜合與分析的方法始終是一對(duì)矛盾的兩個(gè)方面.當(dāng)前，在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支學(xué)科已經(jīng)分得很詳細(xì)的情況下，數(shù)學(xué)發(fā)展的勢(shì)頭看來(lái)是朝著在更高層次的綜合方向發(fā)展，而在這里幾何學(xué)發(fā)揮著重要的基礎(chǔ)作用.幾何學(xué)不僅廣泛的應(yīng)用于復(fù)分析、非線性分析、偏微分方程、拓?fù)鋵W(xué)、隨

2、機(jī)過(guò)程、數(shù)學(xué)物理和力學(xué)等分支學(xué)科，反過(guò)來(lái)這些學(xué)科也大大促進(jìn)了幾何學(xué)的發(fā)展.黎曼幾乎自1854年問(wèn)世以來(lái)，已經(jīng)歷了近150年，它在廣義相對(duì)論中有成功的應(yīng)用.特別是20世紀(jì)30年代后，大范圍微分幾何登上了舞臺(tái)，其里程碑就是陳省身關(guān)于黎曼流形上Gauss-Bonnet定理的內(nèi)在證明.自此以后，微分流形，纖維叢理論成為數(shù)學(xué)工作者應(yīng)該具備的知識(shí).一微分流形1. n維歐式空間 粗略的說(shuō)，幾何學(xué)的發(fā)展史就似乎空間概念的發(fā)展史.“空間”的重要性在于它是數(shù)學(xué)延伸發(fā)展的平臺(tái)：隨著一種新空間觀念的出現(xiàn)與成熟，就近的數(shù)學(xué)就會(huì)在這個(gè)空間中展開(kāi)和發(fā)展.微分流形的概念首先是由黎曼提出的，他把個(gè)變量看作維空間中動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).此

3、時(shí)，坐標(biāo)本身不再具有特殊的幾何意義，人們關(guān)心的是那些能夠用坐標(biāo)表達(dá)、然而與坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)的量.因此我們可以考慮這樣的空間，它沒(méi)有適用于整個(gè)空間的坐標(biāo)系，而在沒(méi)一點(diǎn)的鄰域內(nèi)存在局部使用的坐標(biāo)系，但是我們?nèi)匀荒軌蜓芯吭诳臻g中大范圍定義的量，即與局部坐標(biāo)系選擇無(wú)關(guān)的量.微分流形概念的產(chǎn)生和精確化是當(dāng)代數(shù)學(xué)的一大成就，微分流形是大范圍分析和整體微分幾何演出的舞臺(tái)，同時(shí)微分流形的拓?fù)涫侵匾难芯空n題. 維歐式空間是維微分流形最簡(jiǎn)單的例子和模型.微分流形的概念和構(gòu)造是從歐式空間的概念和有關(guān)構(gòu)造脫胎而出的.因此，了解維歐式空間是十分必要的.定義1.1 設(shè)V是維向量空間.若在上給定一個(gè)對(duì)稱的，正定的雙線性函數(shù)

4、：,既滿足下列條件： ; ; ; 且等號(hào)只在時(shí)成立.其中，,則稱為n維歐氏向量空間.滿足上述條件的雙線性函數(shù)稱為歐氏內(nèi)積，通常記為.定義1.2 設(shè)是維向量空間.是一個(gè)非空集合，中元素稱為點(diǎn).若存在一個(gè)映射，它把中的任意一對(duì)有序點(diǎn)、映成中的一個(gè)向量，且滿足下列條件：.，存在惟一的點(diǎn)，使得.，成立恒等式.則稱是維仿射空間，且稱是與仿射空間伴隨的向量空間.定義1.3 設(shè)是維歐氏向量空間，則以為伴隨向量空間的仿射空間稱為維歐氏空間,記為.中任意兩點(diǎn)、間的距離定義為.；設(shè)為維歐氏空間.若在中取定一個(gè)單位正交標(biāo)架之后，也就是在中建立一個(gè)直角坐標(biāo)系侯，便等同于Rn.今后為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，常把維歐氏空間記為Rn.2

5、.微分流形的定義微分流形是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要分支，它溶分析、拓?fù)?、幾何、代?shù)等多種知識(shí)于一體，形成了近代物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)、近代社會(huì)科學(xué)的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ).近代科技的發(fā)展，越來(lái)越顯示出微分流形的重要性.接下來(lái)就介紹一下流形的定義.定義2.1 設(shè)是一個(gè)Hausdorff拓?fù)淇臻g.若的每一點(diǎn)P都有一個(gè)開(kāi)鄰域，使得和維歐氏空間中的一個(gè)開(kāi)子集是同胚的，則稱是一個(gè)維（拓?fù)洌┝餍?定義2.2 設(shè)同胚，其中是中的開(kāi)集，則稱為流形的一個(gè)坐標(biāo)卡.,稱為流形的一個(gè)局部坐標(biāo)系.維拓?fù)淞餍尉褪窃谒拿恳稽c(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)可以建立維局部坐標(biāo)系的Hausdorff空間.定義2.3 設(shè)是一個(gè)維拓?fù)淞餍危c是它的兩個(gè)坐標(biāo)卡，若，都是

6、的，則稱與相關(guān)；時(shí)，對(duì)任意相關(guān). 流形是一種局部相似于歐氏空間的拓?fù)淇臻g，如中的球面、環(huán)面等，即二維流形的典型例子.流形的特點(diǎn)是它一般只能局部地同胚于歐氏空間的開(kāi)子集，一般不一定能整體地同胚于歐氏空間.因此流形一般無(wú)全局坐標(biāo)而只有局部坐標(biāo)，這是它的一個(gè)重要特征.定義2.4 設(shè)是 維拓?fù)淞餍?假定是坐標(biāo)卡的一個(gè)集合，且滿足構(gòu)成流形的一個(gè)開(kāi)覆蓋.屬于的任意兩個(gè)坐標(biāo)卡都是相關(guān)的.是極大的：即若是的一個(gè)坐標(biāo)卡，且與中每個(gè)成員都是相關(guān)的，則必屬于.此時(shí)稱坐標(biāo)卡集為流形上的一個(gè)微分結(jié)構(gòu).時(shí)，稱為上的一個(gè)光滑結(jié)構(gòu)；時(shí)，稱為上的一個(gè)解析結(jié)構(gòu).定義2.5 設(shè)是個(gè) 維拓?fù)淞餍危粼谏现付ㄒ粋€(gè)微分結(jié)構(gòu)，則稱為一個(gè)維

7、微分流形.屬于的坐標(biāo)卡為該微分流形的容許坐標(biāo)卡.時(shí)，稱為光滑流形；時(shí)，稱為解析流形. 微分流形的基本思想是要在流形上引入一種局部結(jié)構(gòu)以保能在流形上進(jìn)行微分運(yùn)算，從而在流形上建立的分析學(xué). B.Riemann大概是第一個(gè)使用“流形”一詞的人.他在1854年提交的著名論文“論幾何學(xué)的基本假設(shè)”中，有“流形”（Mannigfaltigkeit）的提法.無(wú)疑地，在他腦海中流形的概念是清楚的.他把一組變量看作某個(gè)廣義空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)，他們?cè)试S作變換.因此坐標(biāo)本身不再具有特殊的幾何含義.下面舉例子作解釋例.開(kāi)子流形 設(shè)是維光滑流形，光滑結(jié)構(gòu).設(shè)是的一個(gè)開(kāi)子集，令則構(gòu)成拓?fù)淇臻g的開(kāi)覆蓋，令,則是從到的同胚，

8、當(dāng)時(shí)，坐標(biāo)變換為,故它們是映射.所以決定了的一個(gè)光滑結(jié)構(gòu)，是成為維光滑流形，稱為的一個(gè)開(kāi)子流形.3光滑映射定義3.1 設(shè)是定義在光滑流形上的連續(xù)函數(shù).若在點(diǎn),的一個(gè)容許坐標(biāo)卡，使得,且是在點(diǎn)處光滑的函數(shù)，則稱函數(shù)在點(diǎn)處是光滑的.若在每一點(diǎn)都是光滑的，則稱為流形上的光滑函數(shù). 我們把定義在點(diǎn)的鄰域內(nèi)且在點(diǎn)處光滑的函數(shù)的集合記作.定義3.2 設(shè)，分別是,維光滑流形，是連續(xù)映射.設(shè)，如果存在在點(diǎn)處的容許坐標(biāo)卡及在點(diǎn)處的容許坐標(biāo)卡，使得是在點(diǎn)處的光滑映射，則稱映射在點(diǎn)處是光滑的.若映射在上是處處光滑的，則稱是從到的光滑映射.定義3.3 設(shè)，是兩個(gè)維光滑流形，是同胚，若和它的逆映射都是光滑映射，則稱為光

9、滑同胚.定義3.4 設(shè)是流形上的連續(xù)函數(shù)，所謂的支撐集是指取非零值的點(diǎn)的集合的閉包，記作Supp,即Supp=.定義3.5 設(shè)為的子集的一個(gè)集合，中每一點(diǎn)都有一個(gè)鄰域，它僅與中有限多個(gè)成員相交，則稱子集族是局部有限的.定義3.6 設(shè)是的兩個(gè)開(kāi)覆蓋.若對(duì)于中任意一個(gè)成員，必能在中找到一成員，使得，則稱是開(kāi)覆蓋的加細(xì).4.單位分解定理單位分解定理是積分理論中的一個(gè)極其重要的工具.直觀地說(shuō)，單位分解定理往往起著粘合或拼接的作用，可以通過(guò)它把局部性拼接起來(lái)而得到整體性.下面引入一系列引理為單位分解定理做鋪墊. 引理4.1 設(shè)滿足第二可數(shù)公理，故的任意一個(gè)開(kāi)覆蓋必定含有一個(gè)可數(shù)的子覆蓋.引理4.2 設(shè)是

10、局部緊致的、滿足第二可數(shù)公理的拓?fù)淇臻g，則存在可數(shù)多個(gè)緊致子集，使得，且它們構(gòu)成的覆蓋，即引理4.3 設(shè)是局部緊致的、滿足第二可數(shù)公理的拓?fù)淇臻g，則M的任何一個(gè)開(kāi)覆蓋必定是一個(gè)可數(shù)的、局部有限的加細(xì)開(kāi)覆蓋. 流形的實(shí)質(zhì)就是在局部上可坐標(biāo)化的拓?fù)淇臻g，我們的研究對(duì)象是整個(gè)空間，而是著眼點(diǎn)卻是局部坐標(biāo)域.因此，在局部上所定義的對(duì)象擴(kuò)展成全局定義的對(duì)象是十分重要的步驟.引理4.4 設(shè)，是中以原點(diǎn)為中心的兩個(gè)同心球，且，則有函數(shù)，使得，.引理4.5 設(shè)是光滑流形的兩個(gè)開(kāi)子集.是緊致的，且，則存在光滑函數(shù)，使得，.引理4.6 設(shè)是光滑流形的一個(gè)開(kāi)子集，則在任意一點(diǎn)，必有點(diǎn)的一個(gè)鄰域以及光滑函數(shù)，使得定理

11、4.1（單位分解定理）：設(shè)是滿足第二可數(shù)公理的維光滑流形，是的任意一個(gè)開(kāi)覆蓋，則必有一個(gè)可數(shù)的局部有限的加細(xì)開(kāi)覆蓋，以及定義在上的一族光滑函數(shù)，使得，Supp是包含在內(nèi)的緊致子集，并且.光滑函數(shù)族稱為從屬覆蓋的單位分解.二切向量與張量1.切向量和切空間在歐氏空間中，切向量就是指經(jīng)過(guò)一點(diǎn)的光滑曲線在該點(diǎn)的切向量.實(shí)際上它可以是從一點(diǎn)引出的任意一個(gè)向量，或是從一點(diǎn)出發(fā)的任意一條有向線段.這種在直觀上容易理解的概念依賴于歐氏空間本身所固有的線性結(jié)構(gòu)沒(méi)不能夠直接搬到微分流形上來(lái)，所以我們需要給出切向量的另一種等價(jià)定義一一就是把歐氏空間中的切向量進(jìn)一步描述成作用在光滑函數(shù)上的方向?qū)?shù)，它遵循對(duì)函數(shù)求導(dǎo)的

12、法則，且切向量與沿該切向量的方向?qū)?shù)是一一對(duì)應(yīng)的.這樣，我們就能將切向量的概念代到微分流形上來(lái).設(shè)是歐氏空間中一條光滑曲線.，則是定義在點(diǎn)的鄰域內(nèi)的光滑函數(shù).根據(jù)復(fù)合求導(dǎo)法則，我們有其中是在給定的直角坐標(biāo)系下對(duì)應(yīng)的元實(shí)函數(shù).令，則是在點(diǎn)處的一個(gè)切向量，與單位正交標(biāo)架的選取無(wú)關(guān).稱為光滑函數(shù)在點(diǎn)處的梯度向量.其中是在處的切向量.稱為在點(diǎn)處沿向量的方向?qū)?shù)，記作.定義1.1 設(shè)是一個(gè)維光滑流形，.所謂光滑流形在點(diǎn)的切向量是指滿足下列條件的一個(gè)映射：線性性：，有，；Leibniz法則：，有；切空間是微分流形上十分重要的構(gòu)造.它是微分結(jié)構(gòu)的產(chǎn)物，在拓?fù)淞餍紊喜荒芏x切向量和切空間的概念.由于在微分流形

13、的每一點(diǎn)都有切空間這樣的線性結(jié)構(gòu)，線性代數(shù)就成為研究微分流形的重要代數(shù)工具.定義1.2 設(shè)是維光滑流形，.用表示在點(diǎn)的全體切向量的集合，則在中有自然的線性結(jié)構(gòu)，使得成為維向量空間.向量空間稱為光滑流形在點(diǎn)處的切空間.同時(shí)任意一個(gè)切向量能用個(gè)切向量，線性表示，即是的一個(gè)基底，.我們還稱為切空間在局部坐標(biāo)系下的自然基底.在線性結(jié)構(gòu)中我們知道若是一線性空間，則上所有的線性函數(shù)也構(gòu)成一線性空間，通常記為，稱為的對(duì)偶空間.如果是線性空間到的線性映射，則對(duì)于，映射是上的線性函數(shù)，因此.這樣我們得到了一個(gè)線性映射，稱為線性映射的對(duì)偶映射.而在光滑流形間的光滑映射，自然地誘導(dǎo)出在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切空間之間的線性映射.

14、定義1.3 切空間的對(duì)偶空間稱為光滑流形在點(diǎn)的余切空間，記作.余切空間的元素稱為光滑流形在點(diǎn)處的余切向量.定義1.4 設(shè)，是光滑流形，是光滑映射.對(duì)于，誘導(dǎo)出從到的映射，定義為，.對(duì)于任意切向量，可定義映射，使得對(duì)于，有很明顯，是在處的一個(gè)切向量.故我們將線性映射，稱為光滑映射在點(diǎn)所誘導(dǎo)的切映射.定義1.5 切映射所誘導(dǎo)的余切空間之間的線性映射稱為余切映射.2.張量張量的概念是G.Ricci在19世紀(jì)末提出的.G.Ricci研究張量的目的是為幾何性質(zhì)和物理規(guī)律的表達(dá)尋求一種在坐標(biāo)變換下不變的形式.他所考慮的張量是如同向量的分量那樣的數(shù)組，要求它們?cè)谧鴺?biāo)變換下服從某種線性變換的規(guī)律.近代的理論已

15、經(jīng)把張量敘述成向量空間及其對(duì)偶空間上的多重線性函數(shù)，但是用分量表示張量仍有它的重要性，尤其是涉及張量的計(jì)算時(shí)更是如此.定義2.1 設(shè)是個(gè)向量空間.若元函數(shù)對(duì)于每個(gè)自變量都是線性的，即對(duì)于任意的指標(biāo)，及向量，有，其中，則稱是上的重線性函數(shù).上的重線性函數(shù)的集合，記為.特別的，.定義2.2 設(shè)是向量空間，是它的對(duì)偶向量空間，是一對(duì)非負(fù)整數(shù).上的一個(gè)重線性函數(shù)稱為上的一個(gè)型張量.其中是反變階數(shù)，是協(xié)變階數(shù).全體上的型張量集合記作，或.特別地，型張量就是向量空間中元素；型張量就是對(duì)偶空間中的元素，即上的線性函數(shù)；型張量就是實(shí)數(shù).定義2.3 設(shè)，是兩個(gè)向量空間，則和的張量積是積空間上的2重線性函數(shù)，定義

16、為， ，.一般地，設(shè)，是個(gè)向量空間，則張量積是上的重線性函數(shù)，定義為其中，.下面簡(jiǎn)單介紹一下張量積的運(yùn)算定律.定理2.1 張量積運(yùn)算服從分配律和結(jié)合律：若，則若，則定義2.4 設(shè)，是兩個(gè)向量空間，如形如張量積的元素所生成的向量空間稱為和的張量積，記作張量積運(yùn)算的結(jié)果是從低階張量出發(fā)得到高階張量.還有一種運(yùn)算叫縮并，它把高階張量變成低階張量.定義2.5 設(shè)，分別是，維向量空間，則它們的張量積是維向量空間.任取兩個(gè)指標(biāo)、，使得，則從任意一個(gè)型張量出發(fā)可構(gòu)造型張量如下：其中為的一個(gè)基底，是的對(duì)偶基底.映射稱為縮并.定義2.6 歐氏內(nèi)積：是對(duì)稱、正定的雙線性函數(shù)，因而是上的對(duì)稱、正定的2階協(xié)變張量，也

17、稱為歐氏向量空間的度量張量或基本張量，記作.3.切向量場(chǎng)和張量場(chǎng)1. 光滑切向量場(chǎng)設(shè)是一個(gè)維光滑流形，用表示流形在各點(diǎn)的切空間的并集，即是光滑流形上全體切向量的集合.定義3.1 光滑流形上的一個(gè)切向量場(chǎng)是指在流形的每一點(diǎn)，都指定了一個(gè)向量.換言之，切向量是一個(gè)映射，使得.簡(jiǎn)單地說(shuō)，光滑流形的一個(gè)切向量場(chǎng)是分布在上的一“場(chǎng)”切向量.定義3.2 設(shè)是光滑流形上的一個(gè)切向量場(chǎng).若在點(diǎn)，有局部坐標(biāo)系，使得當(dāng)切向量場(chǎng)在上的限制用自由基底線性表示成時(shí)，分量是在點(diǎn)的函數(shù)，則稱切向量場(chǎng)在點(diǎn)是的.如果切向量場(chǎng)在光滑流形上處處是的，則稱是上的切向量場(chǎng).光滑流形上全體光滑切向量場(chǎng)的集合記作.進(jìn)一步還能定義光滑切向量

18、場(chǎng)和和光滑函數(shù)的乘積.設(shè)，則在任意一點(diǎn)，令易見(jiàn).2. 光滑張量場(chǎng)定義4.1 光滑流形上的一個(gè)型張量場(chǎng)是指在每一點(diǎn)都指定了一個(gè)型張量.若在每一點(diǎn)都有一個(gè)局部坐標(biāo)系，使得型張量場(chǎng)有局部坐標(biāo)表達(dá)式其中分量，則稱是流形上的一個(gè)光滑的型張量場(chǎng).光滑切向量場(chǎng)就是光滑的型張量場(chǎng)；光滑的型張量場(chǎng)稱為一次微分式.上全體一次微分式的集合記作.定義4.2 光滑流形上任意一個(gè)對(duì)稱、正定的光滑2階協(xié)變張量場(chǎng)稱為上的黎曼結(jié)構(gòu).若在上指定一個(gè)黎曼結(jié)構(gòu)，則稱是一個(gè)黎曼流形.此時(shí)稱為黎曼流形上的基本張量場(chǎng)或度量張量場(chǎng)三外微分式和Stokes定理1.外代數(shù)定義1.1 設(shè)是上的階協(xié)變張量，即是上的重線性函數(shù).若任意交換兩個(gè)自變量的

19、位置，的值不變，則稱為對(duì)稱階協(xié)變張量；若任意交換兩個(gè)自變量的位置的值只改變符號(hào)，則稱是反對(duì)稱階協(xié)變張量.用表示個(gè)不同元素的置換群.設(shè)，則是對(duì)稱張量的充要條件是的分量關(guān)于各個(gè)指標(biāo)是對(duì)稱的，即，；是反對(duì)稱張量的充要條件是的分量關(guān)于各個(gè)指標(biāo)是反對(duì)稱的，即，；其中=1， 若是偶置換-1，若是奇置換 定義1.2 設(shè)，令則為對(duì)稱的階協(xié)變張量；為反對(duì)稱的階協(xié)變張量.稱為對(duì)稱化算子，稱為反對(duì)稱化算子.定義1.3 向量空間上的反對(duì)稱階協(xié)變張量，即上的反對(duì)稱重線性函數(shù)，稱為上的次外形式，簡(jiǎn)稱-外形式. 上全體次外形式集合記作.定義1.4 設(shè),.令,則是次外形式，稱為外形式和的外積.外積運(yùn)算服從以下運(yùn)算律：設(shè)，則有

20、分配律 ，；反交換律 ；結(jié)合律 .定義1.5 設(shè)是從向量空間到向量空間的一個(gè)線性映射，則誘導(dǎo)出外形式空間之間的線性映射，其定義為對(duì)于任意及，有稱為的誘導(dǎo)映射.2.外微分式 在上一節(jié)，我們已經(jīng)把向量空間上的反對(duì)稱重線性函數(shù)，即反對(duì)稱階協(xié)變張量稱為上的次外形式.作為外微分式就是指光滑的外形式場(chǎng).定義2.1 設(shè)是維光滑流形.上一個(gè)光滑的反對(duì)稱階協(xié)變張量場(chǎng)稱為上的一個(gè)次外微分式.上全體次外微分式的集合記作.定理2.1設(shè)是維光滑流形，設(shè).則在中有加法、數(shù)乘法和外積等運(yùn)算，它們具有分配律、結(jié)合律和反交換律，因而使稱為一個(gè)外代數(shù).一般來(lái)說(shuō)，是一個(gè)無(wú)限維的外代數(shù).外微分式的空間中的代數(shù)運(yùn)算：加法、數(shù)乘法和外積

21、，使它成為一個(gè)結(jié)合代數(shù).下面要介紹在外微分式上的最主要的運(yùn)算外微分.定理2.2設(shè)是維光滑流形，則存在唯一的一個(gè)映射，使得，并且滿足以下條件：對(duì)任意的有；設(shè)是次外微分式，則；對(duì)于任意的（即），是的微分對(duì)任意的，.映射稱為外微分.定理2.2表明：在光滑流形上，通過(guò)外微分能夠從一個(gè)光滑的反對(duì)稱協(xié)變張量場(chǎng)得到一個(gè)光滑的高一階反對(duì)稱協(xié)變張量場(chǎng).定理2.3 設(shè)分別是維光滑流形，且是光滑映射，是誘導(dǎo)映射，則對(duì)于任意的有.3.可定向微分流形和帶邊流形1. 流形的定向向量空間有定向的概念.例如，在3維歐氏空間中笛卡爾直角坐標(biāo)系分為右手系和左手系兩種.一般地，設(shè)是維向量空間，和是的兩個(gè)基底，它們可以互相線性表示.

22、設(shè)則我們?cè)诘幕字g引入如下關(guān)系：如果，則稱.自然，是的全體基底之間的等價(jià)關(guān)系.的基底在關(guān)系下的等價(jià)類稱為的一個(gè)定向.向量空間有兩個(gè)定向.屬于同一等價(jià)類的兩個(gè)基底稱為定向是相同的.屬于不同等價(jià)類的兩個(gè)基底稱為定向相反的.定義3.1設(shè)是維光滑流形.如果存在的一個(gè)容許的坐標(biāo)卡集，使得構(gòu)成的開(kāi)覆蓋，并且當(dāng)時(shí)，坐標(biāo)變換的Jacobi行列式則稱是可定向的維光滑流形.滿足以上條件的兩個(gè)坐標(biāo)卡和稱為定向相符的.所以，可定向光滑流形就是有一個(gè)由定向相符的容許坐標(biāo)卡構(gòu)成的坐標(biāo)覆蓋的光滑流形.定義3.2 對(duì)于可定向光滑流形，由定向相符的容許坐標(biāo)卡組成的極大坐標(biāo)卡集稱為的一個(gè)定向.2.帶邊流形用表示中的半空間，在上

23、賦予從誘導(dǎo)的拓?fù)洌徊⑶矣?，稱為的邊界，其元素稱為的邊界點(diǎn)，令I(lǐng)nt，稱為的內(nèi)部，其元素稱為的內(nèi)點(diǎn).定義3.3 所謂帶邊流形是一個(gè)Hausdorff拓?fù)淇臻g，并且在上指定一個(gè)微分結(jié)構(gòu)，其中是的開(kāi)子集，是從到的開(kāi)子集的同胚，并且滿足下列條件：是的覆蓋.若，則當(dāng)時(shí)，和是的開(kāi)子集和之間的光滑同胚.是極大的，即：若是的一個(gè)坐標(biāo)卡，且與屬于的任意一個(gè)坐標(biāo)卡滿足上面的條件，則必有.定義3.4在坐標(biāo)映射下，映入的邊界的點(diǎn)的性質(zhì)與坐標(biāo)卡的選取法無(wú)關(guān)的點(diǎn)稱為的邊界點(diǎn).的邊界點(diǎn)的集合記作，即存在坐標(biāo)卡，使得，且稱為的邊界.Int稱為的內(nèi)部，它是通常意義下的流形.特別是當(dāng)時(shí)， Int.4.外微分式的積分和Stokes

24、定理積分是把流形的局部性質(zhì)和整體性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)的有力手段，同時(shí)Stokes定理起著關(guān)鍵的作用.假定是滿足第二可數(shù)公理的維有向光滑流形.設(shè)，的支撐集定義為Supp.上全體有緊致支撐集的次外微分式的集合記作.我們要定義的積分是指線性映射.設(shè).取的定向相符的坐標(biāo)卡集，使得構(gòu)成的局部有限開(kāi)覆蓋，在上由決定的局部坐標(biāo)系為，設(shè),其中.根據(jù)單位分解定理，在上由從屬于的單位分解，其中，因此，其中，并且 . 利用映射的線性性質(zhì)，令 （4.1）.我們可以證明出（4.1）式右端的值與光滑流形的定向相符的局部有限坐標(biāo)覆蓋的選取無(wú)關(guān)，與從屬于的單位分解的選取也無(wú)關(guān).定義4.1 設(shè)是滿足第二可數(shù)公理的維有向光滑流形，則對(duì)于

25、任意的有緊致支撐集的次外微分式，由（4.1）所定義的數(shù)值稱為在上的積分.映射是線性的.我們把映射稱為在上的積分.Stokes定理是積分理論的最基本的工具，它是微積分基本定理在高維情形的推廣.定理4.1（Stokes定理）設(shè)是滿足第二可數(shù)公理的維有向光滑流形，則其中是維光滑流形，具有從誘導(dǎo)的定向.定義4.2設(shè)是維光滑流形，是的閉子集，并且的內(nèi)部.如果對(duì)于任意一點(diǎn)，存在點(diǎn)的坐標(biāo)卡，使得，則稱是中的帶邊區(qū)域，稱為的邊界. 由Stokes定理得到推論4.1 設(shè)是維有向光滑流形中的一個(gè)帶邊區(qū)域，假定滿足第二可數(shù)公理，則對(duì)于任意的，有 . （4.2）自然，Stokes定理包括了微積分學(xué)中的Green公式、

26、Gauss公式和Stokes公式作為特例.下面就利用Stokes定理來(lái)推導(dǎo)出這些公式.例1.（Green公式）設(shè)是中的一個(gè)有界閉區(qū)域，其定向與一致.在的邊界上的誘導(dǎo)定向是在沿著的正向行進(jìn)時(shí)，區(qū)域的內(nèi)部落在行進(jìn)者的左邊，即的正向和指向的內(nèi)部的法向量構(gòu)成與的定向一致的標(biāo)架.設(shè)是上的光滑函數(shù).令，則.由（4.2）式得到.例2.（Gauss公式）設(shè)是中的有界閉區(qū)域，其定向與一致.在上的誘導(dǎo)定向以外法向量作為正向，設(shè)是上的光滑函數(shù)，令，則.由Stokes定理得到例3.（Stokes公式）設(shè)是中一塊有向曲面，其邊界是光滑簡(jiǎn)單曲線，具有從誘導(dǎo)的定向. 是包含在內(nèi)的一個(gè)區(qū)域上的光滑函數(shù)，令，則.由Stoke定理得到.參考文獻(xiàn)1楊萬(wàn)年.微分流形及其應(yīng)用.重慶大學(xué)出版社，1992 2陳維桓.微分流形初步.高等教育出版社，1998 3譚小江，彭立中.數(shù)學(xué)分析3.高等教育出版社，20064陳省身，陳維桓.微分幾何講義.北京大學(xué)出版社，1980年5伍洪熙.黎曼流形初步.北京大學(xué)出版社，1989年6Whitney. H.Differential Manifold. Ann. of Math.37 645-686(1963)7J米爾諾.莫爾斯理論.科學(xué)出版社，1988年8張筑生.微分拓?fù)渲v義.北京大學(xué)出版社，1996年