微積分高等數(shù)學通用課件完整版

1、一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合: :具有某種特定性質(zhì)的事物的具有某種特定性質(zhì)的事物的總體總體.組成這個集合的事物稱為該集合的組成這個集合的事物稱為該集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集無限集無限集,Ma ,Ma .,的的子子集集是是就就說說則則必必若若BABxAx .BA 記作記作數(shù)集分類數(shù)集分類:N-自然數(shù)集自然數(shù)集Z-整數(shù)集整數(shù)集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集R-實數(shù)集實數(shù)集數(shù)集間的關系數(shù)集間的關系:.,RQQZZN .,相相等等與與就就稱稱集集合合且且若若BAABBA )(BA ,2 , 1 A例如例如,0232 xxxC.CA 則則不含任何元素

2、的集合稱為不含任何元素的集合稱為空集空集.)(記作記作例如例如,01,2 xRxx規(guī)定規(guī)定 空集為任何集合的子集空集為任何集合的子集.2.2.區(qū)間區(qū)間: :是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù)是指介于某兩個實數(shù)之間的全體實數(shù).這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點這兩個實數(shù)叫做區(qū)間的端點.,baRba 且且bxax 稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間,),(ba記作記作bxax 稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間,ba記作記作oxaboxabbxax bxax 稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間稱為半開區(qū)間,),ba記作記作,(ba記作記作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限區(qū)間有限區(qū)間無限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義區(qū)間長度

3、的定義: :兩端點間的距離兩端點間的距離(線段的長度線段的長度)稱為區(qū)間的長度稱為區(qū)間的長度.3.3.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個實數(shù)是兩個實數(shù)與與設設a).(0aU 記記作作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點點a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . )( axaxaUxa a a ,鄰鄰域域的的去去心心的的點點 a. 0)( axxaU,鄰域鄰域的的稱為點稱為點數(shù)集數(shù)集 aaxx 4.4.常量與變量常量與變量: : 在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量常量,注意注意常量與變量是相對常量與變量是相對“過程過程”而言的而言的.通常用字母通常用字母a, b,

4、c等表示常量等表示常量,而數(shù)值變化的量稱為而數(shù)值變化的量稱為變量變量.常量與變量的表示方法：常量與變量的表示方法：用字母用字母x, y, t等表示等表示變變量量.5.5.絕對值絕對值: : 00aaaaa)0( a運算性質(zhì)運算性質(zhì):;baab ;baba .bababa )0( aax;axa )0( aax;axax 或或絕對值不等式絕對值不等式:因變量因變量自變量自變量.)(,000處的函數(shù)值處的函數(shù)值為函數(shù)在點為函數(shù)在點稱稱時時當當xxfDx .),(稱為函數(shù)的值域稱為函數(shù)的值域函數(shù)值全體組成的數(shù)集函數(shù)值全體組成的數(shù)集DxxfyyW 定定義義 設設x和和y是是兩兩個個變變量量, ,D是是

5、一一個個給給定定的的數(shù)數(shù)集集，數(shù)集數(shù)集D叫做這個函數(shù)的叫做這個函數(shù)的定義域定義域)(xfy 如如果果對對于于每每個個數(shù)數(shù)Dx ,二、函數(shù)概念二、函數(shù)概念()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對應法則對應法則f函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: : 定義域定義域與與對應法則對應法則.xyDW約定約定: 定義域是自變量所能取的使算式有意義定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值的一切實數(shù)值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D定義定義: :.)(),(),(的圖形的圖形函數(shù)函數(shù)稱為稱為點集點集xfyDxxfyyxC oxy),(yxxyWD

6、如果自變量在定如果自變量在定義域內(nèi)任取一個數(shù)值義域內(nèi)任取一個數(shù)值時，對應的函數(shù)值總時，對應的函數(shù)值總是只有一個，這種函是只有一個，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)則叫與多值函數(shù)例如，例如，222ayx (1) 符號函數(shù)符號函數(shù) 010001sgnxxxxy當當當當當當幾個特殊的函數(shù)舉例幾個特殊的函數(shù)舉例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過表示不超過 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x 是無理數(shù)時是無理數(shù)時當當是有理數(shù)時是有理數(shù)時當當xxxDy01)(

7、有理數(shù)點有理數(shù)點無理數(shù)點無理數(shù)點1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)(4) 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg 0, 10, 12)(,2xxxxxf例如例如12 xy12 xy在自變量的不同變化范圍中在自變量的不同變化范圍中, 對應法則用不同的對應法則用不同的式子來表示的函數(shù)式子來表示的函數(shù),稱為稱為分段函數(shù)分段函數(shù).例例1 1脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個單三角脈沖,其波形如圖其波形如圖所示所示,寫出電壓寫出電壓U與時間與時間 的函數(shù)關系式的函數(shù)關系式.)0( tt解解UtoE),2(

8、E )0 ,( 2 ,2, 0時時當當 ttEU2 ;2tE 單三角脈沖信號的電壓單三角脈沖信號的電壓,2(時時當當 t),(200 tEU)(2 tEU即即,),(時時當當 t. 0 U其表達式為其表達式為是一個分段函數(shù)是一個分段函數(shù),)(tUU ),(, 0,2(),(22, 0,2)(tttEttEtUUtoE),2(E )0 ,( 2 例例2 2.)3(,212101)(的定義域的定義域求函數(shù)求函數(shù)設設 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故三、函數(shù)的特性三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界有界無界無界

9、M-MyxoX0 x,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX 1函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性:.)(否否則則稱稱無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Xxf2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:,)(DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域為的定義域為設函數(shù)設函數(shù),2121時時當當及及上任意兩點上任意兩點如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間xxxxI ;)(上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上是單調(diào)減少的上是單調(diào)減少的在區(qū)間在區(qū)間則稱函數(shù)則稱函數(shù)Ixf,)(DIDxf 區(qū)間

10、區(qū)間的定義域為的定義域為設函數(shù)設函數(shù),2121時時當當及及上任意兩點上任意兩點如果對于區(qū)間如果對于區(qū)間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒有恒有3函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)偶函數(shù)有有對于對于關于原點對稱關于原點對稱設設,DxD )()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱稱xf有有對于對于關于原點對稱關于原點對稱設設,DxD )()(xfxf ;)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 4函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性:（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期周期）.,)

11、(Dxf的定義域為的定義域為設函數(shù)設函數(shù)如果存在一個不為零的如果存在一個不為零的.)()(恒成立恒成立且且xflxf 為周為周則稱則稱)(xf.)( ,DlxDxl 使得對于任一使得對于任一數(shù)數(shù).)(,的周期的周期稱為稱為期函數(shù)期函數(shù)xfl2l 2l23l 23l)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反函數(shù)反函數(shù) 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關于直線直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關于直線 對稱對稱.xy 四、反函數(shù)四、反函數(shù)五、小結五、小結基本概念基本概念集合集合, 區(qū)間區(qū)間, 鄰域鄰域, 常量與變量常量與變量, 絕對值絕對值.函數(shù)的概念函數(shù)的概念函數(shù)的特性函數(shù)的特性有界性有界

12、性, ,單調(diào)性單調(diào)性, ,奇偶性奇偶性, ,周期性周期性. .反函數(shù)反函數(shù)思考題思考題設設0 x，函函數(shù)數(shù)值值21)1(xxxf ，求求函函數(shù)數(shù))0()( xxfy的的解解析析表表達達式式.思考題解答思考題解答設設ux 1則則 2111uuuf ,112uu 故故)0(.11)(2 xxxxf一、一、 填空題填空題: :1 1、 若若2251tttf , ,則則_)( tf, , _)1(2 tf. .2 2、 若若 3,sin3, 1)(xxxt, , 則則)6( =_=_，)3( =_.=_. 3 3、不等式、不等式15 x的區(qū)間表示法是的區(qū)間表示法是_._. 4 4、設、設2xy , ,

13、要使要使 ), 0( Ux 時，時，)2 , 0(Uy , , 須須 _._.練練 習習 題題二、證明二、證明xylg 在在), 0( 上的單調(diào)性上的單調(diào)性. .三、證明任一定義在區(qū)間三、證明任一定義在區(qū)間)0(),( aaa上的函數(shù)可表上的函數(shù)可表 示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和. .四、設四、設)(xf是以是以 2 2 為周期的函數(shù)，為周期的函數(shù)，且且 10, 001,)(2xxxxf, ,試在試在),( 上繪出上繪出)(xf的圖形的圖形. .五、證明：兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的五、證明：兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的 乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)

14、與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù). .六、證明函數(shù)六、證明函數(shù)acxbaxy 的反函數(shù)是其本身的反函數(shù)是其本身. .七七、求求xxxxeeeexf )(的的反反函函數(shù)數(shù)，并并指指出出其其定定義義域域. .一、一、1 1、225tt , ,222)1(2)1(5 tt； 2 2、1,11,1； 3 3、(4,6)(4,6)； 4. 4.2, 0( . .七、七、)1 , 1( ,11ln xxy. .練習題答案練習題答案一、基本初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 2.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))

15、1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey 3.對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 4.三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc 5.反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsin xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)xyarc

16、tan xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù) 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).xycot 反余切函數(shù)反余切函數(shù)arcxycot arc二、復合函數(shù)二、復合函數(shù) 初等函數(shù)初等函數(shù)1.復合函數(shù)復合函數(shù),uy 設設,12xu 21xy 定義定義: 設函數(shù)設函數(shù))(ufy 的定義域的定義域fD, 而函數(shù)而函數(shù))(xu 的值域為的值域為 Z, 若若 ZDf, 則稱則稱函數(shù)函數(shù))(xfy 為為x的的復合函數(shù)復合函數(shù).,自自變變量量x,中中間間變變量量u,因變量因變量y注意注意: :1.不是任何兩個函數(shù)都可以復

17、合成一個復不是任何兩個函數(shù)都可以復合成一個復合函數(shù)的合函數(shù)的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復復合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復合構成合構成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 2.初等函數(shù)初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可用四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示一個式子表示的函數(shù)的函數(shù),稱為稱為初等函數(shù)初等函數(shù).例例1 1).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求設設解解 1

18、)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時時當當 x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x,1)(20時時當當 x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2sinhxxeex 雙曲正弦雙曲正弦xycosh xysinh ),(:D奇函數(shù)奇函數(shù).2coshxxeex 雙曲余弦雙曲余弦),(:D偶函數(shù)偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)xey21 xey 21xxxxee

19、eexxx coshsinhtanh雙曲正切雙曲正切奇函數(shù)奇函數(shù),),(: D有界函數(shù)有界函數(shù),雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh22 xx;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh22xxx 2.反雙曲函數(shù)反雙曲函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù),),(: D.),(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在;sinh xy 反反雙雙曲曲正正弦弦ar).1ln(sinh2 xxxyarsinhar xy.), 1內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在), 1 : D y反反雙雙曲曲

20、余余弦弦coshar).1ln(cosh2 xxxyarxcosharx y.11ln21xx )1 , 1(: D奇函數(shù)奇函數(shù),.)1 , 1(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在 y反反雙雙曲曲正正切切tanharxytanh arxtanharx y四、小結四、小結函數(shù)的分類函數(shù)的分類:函數(shù)函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)非初等函數(shù)( (分段函數(shù)分段函數(shù), ,有無窮多項等函數(shù)有無窮多項等函數(shù)) )代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)有理整函數(shù)( (多項式函數(shù)多項式函數(shù)) )有理分函數(shù)有理分函數(shù)( (分式函數(shù)分式函數(shù)) )思考題思考題下下列列函函數(shù)數(shù)能能否否復復合合

21、為為函函數(shù)數(shù))(xgfy ，若若能能，寫寫出出其其解解析析式式、定定義義域域、值值域域,)()1(uufy 2)(xxxgu ,ln)()2(uufy 1sin)( xxgu思考題解答思考題解答2)()1(xxxgfy ,10| xxDx21, 0)( Df)2(不能不能01sin)( xxg)(xg的值域與的值域與)(uf的定義域之交集是空集的定義域之交集是空集._1反反三三角角函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)，三三角角函函數(shù)數(shù)和和、冪冪函函數(shù)數(shù)，指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)，._)(ln31)(2的定義域為的定義域為，則函數(shù)，則函數(shù)，的定義域為的定義域為、函數(shù)、函數(shù)xfxf一、填空題一、填空題:._3

22、2復復合合而而成成的的函函數(shù)數(shù)為為，、由由函函數(shù)數(shù)xueyu ._2lnsin4復合而成復合而成由由、函數(shù)、函數(shù)xy ._)0()()(_)0)(_)(sin_10)(52的定義域為的定義域為，的定義域為的定義域為，的定義域為的定義域為，為為）的定義域）的定義域（，則，則，的定義域為的定義域為、若、若 aaxfaxfaaxfxfxfxf練練 習習 題題.sin的圖形的圖形”作函數(shù)”作函數(shù)二、應用圖形的“疊加二、應用圖形的“疊加xxy .)()()(111011)(，并作出它們的圖形，并作出它們的圖形，求求，三、設三、設xfgxgfexgxxxxfx .)()()(30. 05020. 0500

23、220形形出圖出圖之間的函數(shù)關系，并作之間的函數(shù)關系，并作千克千克于行李重量于行李重量元元元，試建立行李收費元，試建立行李收費出部分每千克出部分每千克千克超千克超元，超出元，超出千克每千克收費千克每千克收費千克以下不計費，千克以下不計費，定如下：定如下：四、火車站行李收費規(guī)四、火車站行李收費規(guī)xxf一、一、1 1、基本初等函數(shù)；、基本初等函數(shù)； 2 2、,3ee； 3 3、2xey ； 4 4、xvvuuy2,ln,sin ； 5 5、-1,1,-1,1, kk2,2,1 ,aa , , 212101 ,aaaa . .三、三、 1, 10, 00, 1)(xxxxgf； 1,11, 11,)

24、(xexxexfg. .練習題答案練習題答案四、四、 50),50(3 . 0105020,2 . 0200 xxxxxy“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：播放播放劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAAS2 2、截丈問題：、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211 X第一天截下的杖長為第一天截下的杖長為;212

25、122 X為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖長總和;2121212nnXn 天截下的杖長總和為天截下的杖長總和為第第nnX211 1二、數(shù)列的定義二、數(shù)列的定義定義定義:按自然數(shù)按自然數(shù), 3 , 2 , 1編號依次排列的一列數(shù)編號依次排列的一列數(shù) ,21nxxx (1)稱為稱為無窮數(shù)列無窮數(shù)列,簡稱簡稱數(shù)列數(shù)列.其中的每個數(shù)稱為數(shù)其中的每個數(shù)稱為數(shù)列的列的項項,nx稱為稱為通項通項(一般項一般項).數(shù)列數(shù)列(1)記為記為nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意： 1.數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列.可看作一可看作一動

26、點在數(shù)軸上依次取動點在數(shù)軸上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.數(shù)列是整標函數(shù)數(shù)列是整標函數(shù)).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 .)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn播放播放三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限問題問題: 當當 無限增大時無限增大時, 是否無限接近于某一是否無限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當當nxnnn 問題問題: “無限接近無限接近”意味著什么意

27、味著什么?如何用數(shù)學語言如何用數(shù)學語言刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時時只要只要 n,100011 nx有有, 0 給定給定,)1(時時只要只要 Nn.1成立成立有有 nx定義定義 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù)N, ,使得對于使得對于Nn 時的一切時的一切nx, ,不等式不等

28、式 axn都成立都成立, ,那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列nx的極限的極限, ,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列nx收斂于收斂于a, ,記為記為 ,limaxnn 或或).( naxn如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的無限接近的無限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有關有關與任意給定的正數(shù)與任意給定的正數(shù) Nx1x2x2 Nx1 Nx3x幾何解釋幾何解釋: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外個個至多只有至多只有只有有限個只有有限個內(nèi)內(nèi)都落在都落在所有的點所有的點時時當當NaaxNnn :定義定義N 其中其中;:每一

29、個或任給的每一個或任給的 .:至少有一個或存在至少有一個或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有時時使使數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn證明證明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,時時則當則當Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(CxCCxnnn 證明證明為常數(shù)為常數(shù)設設證證Cxn CC ,成成立立 ,0 任給任給所以所以,0 ,n對于一切自然數(shù)對于一切自然數(shù).limCx

30、nn 說明說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結小結: 用定義證數(shù)列極限存在時用定義證數(shù)列極限存在時,關鍵是任意給關鍵是任意給定定 尋找尋找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證, 0 任給任給,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,時時則當則當Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq則則, 10 q若若,lnlnqn 例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求證求證且且設設證證, 0 任給任給.limaxnn 故故,limaxnn ,

31、1 axNnNn時恒有時恒有使得當使得當axaxaxnnn 從而有從而有aaxn a1 四、四、數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性有界性定義定義: 對數(shù)列對數(shù)列nx, 若存在正數(shù)若存在正數(shù)M, 使得一切自使得一切自然數(shù)然數(shù)n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 則稱數(shù)列則稱數(shù)列nx有界有界,否則否則, 稱為無界稱為無界.例如例如,;1 nnxn數(shù)列數(shù)列.2nnx 數(shù)列數(shù)列數(shù)軸上對應于有界數(shù)列的點數(shù)軸上對應于有界數(shù)列的點nx都落在閉區(qū)間都落在閉區(qū)間,MM 上上.有界有界無界無界定理定理1 1 收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界. .證證,limaxnn 設設由定義由定義, 1 取取, 1, ax

32、NnNn時恒有時恒有使得當使得當則則. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN記記,Mxnn 皆有皆有則對一切自然數(shù)則對一切自然數(shù) .有界有界故故nx注意：注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論推論 無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .2.唯一性唯一性定理定理2 2 每個收斂的數(shù)列只有一個極限每個收斂的數(shù)列只有一個極限. .證證,lim,limbxaxnnnn 又又設設由定義由定義,使得使得., 021NN ;1 axNnn時恒有時恒有當當;2 bxNnn時恒有時恒有當當 ,max21NNN 取取時有時有則當則當Nn )()(axbxbann axb

33、xnn .2 .時才能成立時才能成立上式僅當上式僅當ba 故收斂數(shù)列極限唯一故收斂數(shù)列極限唯一.例例5.)1(1是發(fā)散的是發(fā)散的證明數(shù)列證明數(shù)列 nnx證證,limaxnn 設設由定義由定義,21 對于對于,21,成立成立有有時時使得當使得當則則 axNnNn),21,21(, aaxNnn時時即當即當區(qū)間長度為區(qū)間長度為1.,1, 1兩個數(shù)兩個數(shù)無休止地反復取無休止地反復取而而 nx不可能同時位于不可能同時位于長度為長度為1的的區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi)., ,但卻發(fā)散但卻發(fā)散是有界的是有界的事實上事實上nx3.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關系收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關系) 如果數(shù)列如果數(shù)列收斂于收斂于a，那么

34、它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是是anx五五.小結小結數(shù)列數(shù)列: :研究其變化規(guī)律研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限數(shù)列極限: :極限思想極限思想,精確定義精確定義,幾何意義幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì): :有界性唯一性有界性唯一性.思考題思考題指出下列證明指出下列證明1lim nnn中的錯誤。中的錯誤。證明證明要使要使,1 nn只要使只要使)1ln(ln1 nn從而由從而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N當當 時，必有時，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn思考題解答思考題解答 1nn)1ln(ln1 n

35、n（等價）（等價）證明中所采用的證明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn實際上就是不等式實際上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即證明中沒有采用即證明中沒有采用“適當放大適當放大” 的值的值nnln從而從而 時，時，2ln)1ln( Nn僅有僅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但不是 的充分條件的充分條件)1ln(ln nn反而縮小為反而縮小為n2ln一、一、 利用數(shù)列極限的定義證明利用數(shù)列極限的定義證明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二、二、 設數(shù)列設數(shù)列nx有界，又有界，又0lim nny， 證明：證明：0lim n

36、nnyx. .練練 習習 題題“割之彌細，所割之彌細，所失彌少，割之又失彌少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，則與圓周合割，則與圓周合體而無所失矣體而無所失矣”1 1、割圓術：、割圓術：劉徽劉徽一、概念的引入一、概念的引入.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)

37、1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察

38、數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.)1(11時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察數(shù)列觀察數(shù)列 nnn三、數(shù)列的極限三、數(shù)列的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx播放播放一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過過程程中中, 對對應應函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的過程的過程表示表示 xXx. 0sin)(,無限接近于無限接近于無限

39、增大時無限增大時當當xxxfx 通過上面演示實驗的觀察通過上面演示實驗的觀察:問題問題: 如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)“無限接近無限接近”.定義定義 1 1 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在著正數(shù)總存在著正數(shù)X, ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式Xx 的一切的一切x, ,所對應的函數(shù)值所對應的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當當 x時的極限時的極限, ,記作記作)()()(lim xAxfAxfx當當或或:. 1 定義定義定定義義X .)(, 0,

40、0 AxfXxX恒恒有有時時使使當當 Axfx)(lim:.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時時使當使當Axfx )(lim2.另兩種情形另兩種情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3.幾何解釋幾何解釋: X X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時時或或當當 AyxfyXxXxAxxysin 例例1. 0sinlim xxx證明證明證證xxxxsin0sin

41、x1 X1 , , 0 ,1 X取取時恒有時恒有則當則當Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的圖形的水平漸近線的圖形的水平漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfycycxfx 二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限問問題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過過程程中中,對對應應函函數(shù)數(shù)值值)(xf無無限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .000的過程的過程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰域鄰域的去心的去心點點 x.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 定義定

42、義 2 2 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多不論它多么小么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) , ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx的一切的一切x, ,對應的函數(shù)值對應的函數(shù)值)(xf都都滿足不等式滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當當0 xx 時的極限時的極限, ,記作記作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當當或或:. 1 定義定義定義定義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時時使當使當2.幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為

43、為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時域時鄰鄰的去心的去心在在當當 Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關關在在點點函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關關與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,越越小小越越好好后后找找到到一一個個顯顯然然 例例2).( ,lim0為常數(shù)為常數(shù)證明證明CCCxx 證證Axf )(CC ,成立成立 , 0 任給任給0 .lim0CCxx , 0 任取任取,00時時當當 xx例例3.lim00 xxxx 證明證明證證,)(0 xxAxf , 0 任給任給, 取取,00時時當當 xx0)(xxAxf ,成立成立 .

44、lim00 xxxx 例例4. 211lim21 xxx證明證明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時時當當 xx函數(shù)在點函數(shù)在點x=1處沒有定義處沒有定義.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx例例5.lim00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 任給任給,min00 xx取取,00時時當當 xx00 xxxx ,)( Axf要使要使,0 xx就有就有,00 xxx .00且且不不取取負負值值只只要要 xxx.lim,0:000 xxxxx 時時當當證明證明3.單側極限單側極限:例如例如,. 1)(lim0, 10

45、,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設設兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側無限趨近從左側無限趨近; 00 xx記作記作,0 xx從右側無限趨近從右側無限趨近; 00 xx記作記作yox1xy 112 xy左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時時使當使當右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時時使當使當000:000 xxxxxxxxx注意注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記作記作.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx

46、定理定理.lim0不存在不存在驗證驗證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.有界性有界性定理定理 若在某個過程下若在某個過程下, ,)(xf有極限有極限, ,則存在則存在過程的一個時刻過程的一個時刻, ,在此時刻以后在此時刻以后)(xf有界有界. .2.唯一性唯一性定理定理 若若)(limxf存在存在,則極限唯一則極限唯一.推論推論).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfx

47、UxBABxgAxfxxxx 有有則則且且設設3.不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有若若設設).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或時時當當則則或或且且若若定理定理( (保號性保號性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時時當當且且若若推論推論4.子列收斂性子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系) .)(),(,),(),(,)(.),

48、(),(21000時的子列時的子列當當為函數(shù)為函數(shù)即即則稱數(shù)列則稱數(shù)列時時使得使得有數(shù)列有數(shù)列中中或或可以是可以是設在過程設在過程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定義定義.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 則有則有時的一個子列時的一個子列當當是是數(shù)列數(shù)列若若定理定理證證.)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時時使當使當Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒有恒有時時使當使當對上述對上述,)( Axfn從而有從而有.)(limAxfnx 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又例如例如,xxysin 1sinl

49、im0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在限都存在, ,且相等且相等. .xy1sin 例例7.1sinlim0不存在不存在證明證明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinli

50、m0不存在不存在故故xx, 0 四、小結四、小結函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時刻以后從此時刻以后時刻時刻(見下表見下表)過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 n xxxNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過過 程程時時 刻刻從此時刻以后從此時刻以后 )(xf Axf)(思考題思考題試試問問函函數(shù)數(shù)

51、 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當當0 x時時，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有時，只要時，只要取取，問當，問當時，時，、當、當.001. 0420_4212 yxxyx，必有，必有只要只要時，時，取取，問當，問當時，時，

52、、當、當 證明：證明：二、用函數(shù)極限的定義二、用函數(shù)極限的定義一、填空題一、填空題:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、練練 習習 題題.)(:0極限各自存在并且相等極限各自存在并且相等必要條件是左極限、右必要條件是左極限、右時極限存在的充分時極限存在的充分當當函數(shù)函數(shù)三、試證三、試證xxxf?0)(存存在在時時的的極極限限是是否否在在四四、討討論論：函函數(shù)數(shù) xxxx 一一、1 1、0 0. .0 00 00 02 2； 2 2、397. .四四、不不存存在在. .練習題答案練習題答案.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的

53、極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變

54、量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限.sin時的變化趨勢時的變化趨勢當當觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、無窮小一、無窮小1.定義定義:定義定義 1 1 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么小不論它多么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ( (或正數(shù)或

55、正數(shù)X),),使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,對應的函數(shù)值對應的函數(shù)值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 )(xf, ,那末那末 稱函數(shù)稱函數(shù))(xf當當0 xx ( (或或 x) )時為無窮小時為無窮小, ,記作記作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮小無窮小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin時的無窮小時的無窮小是當是當函數(shù)函數(shù)xx, 01lim xx.1時的無窮小時的無窮小是當是當函數(shù)函數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時的無窮小時的無窮小是當是當數(shù)列數(shù)列

56、nnn注意注意1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).2.無窮小與函數(shù)極限的關系無窮小與函數(shù)極限的關系:證證 必要性必要性,)(lim0Axfxx 設設,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx則有則有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 設設,)(0時的無窮小時的無窮小是當是當其中其中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 則則)(lim0 xAxx .A 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是當是當0 xx 時的無窮小時的無窮

57、小.意義意義 1.將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮無窮小小);).(,)()(. 20 xAxfxxf 誤差為誤差為附近的近似表達式附近的近似表達式在在給出了函數(shù)給出了函數(shù)3.無窮小的運算性質(zhì)無窮小的運算性質(zhì):定理定理2 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小仍是無窮小.證證,時的兩個無窮小時的兩個無窮小是當是當及及設設 x使得使得, 0, 0, 021 NN;21 時恒有時恒有當當Nx;22 時恒有時恒有當當Nx,max21NNN 取取恒有恒有時時當當,Nx 22 , )(0 x注意注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無

58、窮小無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小. .是無窮小，是無窮小，時時例如例如nn1, .11不是無窮小不是無窮小之和為之和為個個但但nn定理定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證證內(nèi)有界，內(nèi)有界，在在設函數(shù)設函數(shù)),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒有恒有時時使得當使得當則則,0時的無窮小時的無窮小是當是當又設又設xx .0, 0, 0202Mxx 恒有恒有時時使得當使得當推論推論1 在同一過程中在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小積是無窮小.推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

59、.推論推論3 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.,min21 取取恒有恒有時時則當則當,00 xx uuMM , .,0為無窮小為無窮小時時當當 uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2時時當當例如例如都是無窮小都是無窮小二、無窮大二、無窮大定義定義 2 2 如果對于任意給定的正數(shù)如果對于任意給定的正數(shù)M( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ( (或正數(shù)或正數(shù)X),),使得對于適合不等式使得對于適合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,所對應的函數(shù)所對應的函數(shù)值值)(xf都滿足不等式都滿足不等式 Mxf )(, ,則稱

60、函數(shù)則稱函數(shù))(xf當當0 xx ( (或或 x) )時為無窮小時為無窮小, ,記作記作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或絕對值無限增大的變量稱為絕對值無限增大的變量稱為無窮大無窮大.特殊情形：正無窮大，負無窮大特殊情形：正無窮大，負無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;3. 無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim. 20認為極限存在認為極限存在切勿將切勿將 xfxxxxy1sin1 .,1sin1