函數(shù)的求導法則

1、目錄 上頁 下頁 返回 結束 函數(shù)的求導法則第一頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 一、四則運算求導法則一、四則運算求導法則 定理定理1.的和、差、積、商 (除分母為 0的點外) 都在點 x 可導,且下面分三部分加以證明,并同時給出相應的推論和例題 .可導都在點及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()() 3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv第二頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 此法則可推廣到任意有限項的情形.證證: 設 則vuvu )

2、() 1 (故結論成立.例如, )()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxuwvuwvu)(第三頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2)vuvuvu )(證證: 設, )()()(xvxuxf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: )() 1uC )()2wvuuC w

3、vuwvuwvu )log() 3xaaxlnlnaxln1( C為常數(shù) )第四頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx第五頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 (3)2vvuvuvu推論推論:2vvCvC( C為常數(shù) )第六頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例

4、例2. 求證,sec)(tan2xx證證: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc類似可證:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx第七頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 )( xf二、反函數(shù)的求導法則二、反函數(shù)的求導法則 定理定理2. y 的某鄰域內單調可導, 證證: 在 x 處給增量由反函數(shù)的單調性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知 因此,)()(1的反函數(shù)為設yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或,0 x)()(xfxxfy,

5、0 xyyx,00yx時必有xyxfx0lim)( lim0yyxyxdd 1 )(1yf11 )(1yf11第八頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 1例例3. 求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導數(shù).解解: 1) 設,arcsinxy 則,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x類似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211x0cosy, 則第九頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 2) 設, )1,0(aaayx則),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaaxl

6、nxxe)e( )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特別當ea時,小結小結:第十頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 在點 x 可導, lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、復合函數(shù)求導法則三、復合函數(shù)求導法則定理定理3.)(xgu )(ufy 在點)(xgu 可導復合函數(shù) fy )(xg且)()(ddxgufxy在點 x 可導,證證:)(ufy 在點 u 可導,故)(lim0ufuyuuuufy)(（當 時 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxu

7、ufxy第十一頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd關鍵: 搞清復合函數(shù)結構, 由外向內逐層求導.推廣推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.第十二頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例4. 求下列導數(shù):. )(sh) 3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)(e)(lnxxxlne)ln(xxx1x)(e)(lnxxxxxx lne)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2ee)(shxxx2 xexexch說明說明: 類似可得;sh)(chxx axxalne)

8、(thx)(xaxxxchshth2eeshxxx;ch12x.lnaax第十三頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例5. 設, )cos(elnxy 求.ddxy解解:xydd)cos(e1x)sin(e(xxe)tan(eexx思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(e(lnxf的導數(shù)?xfdd)(f ) )cos(e(lnx)cos(eln)(xuuf這兩個記號含義不同)cos(elnx第十四頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例6. 設, )1(ln2xxy.y求解解:112xxy11212xx2112x記, )1(lnarsh2xxx則 )(arshx1

9、12x(反雙曲正弦)其他反雙曲函數(shù)的導數(shù)看參考書自推. 2eeshxxx的反函數(shù)雙曲正弦第十五頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 四、初等函數(shù)的求導問題四、初等函數(shù)的求導問題 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù) (P95) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tanxx2sec )(cotxx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(exxe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsinx211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x第十六頁

10、，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 有限次四則運算的求導法則 )(vuvu )( uCuC )( vuvuvuvu2vvuvu( C為常數(shù) )0( v3. 復合函數(shù)求導法則)(, )(xuufyxydd)()(xuf4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內可導初等函數(shù)在定義區(qū)間內可導, )(C0 )(sin xxcos )(lnxx1由定義證 ,說明說明: 最基本的公式uyddxudd其他公式用求導法則推出.且導數(shù)仍為初等函數(shù)且導數(shù)仍為初等函數(shù)第十七頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx例

11、例8.設),0( aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln先化簡后求導第十八頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例9. 求解解:,1arctane2sin2xyx.y1arctan)(2xy ) (e2sin x2sinex2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sinex2cosx2sinex112xx關鍵關鍵: 搞清復合函數(shù)結構 由外向內逐層求導第十九頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例10. 設求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln

12、() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx第二十頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 內容小結內容小結求導公式及求導法則 (見P95 P96)注意注意: 1),)(vuuvvuvu2) 搞清復合函數(shù)結構 , 由外向內逐層求導 .41143x1.xx1431x思考與練習思考與練習對嗎?2114341xx第二十一頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 設, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(li

13、mxax)(a正確解法:)(af 時, 下列做法是否正確?在求處連續(xù),由于 f (a) = 0，故第二十二頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 求下列函數(shù)的導數(shù)解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x(1);(2).bxaayyxbxbabalnxabbaln或xabyababxln第二十三頁，共25頁。目錄 上頁 下頁 返回 結束 4. 設),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解: 方法方法1 利用導數(shù)定義.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求導公式.)(xf)(xx )99()2)(1(xxx)99(