概率論與數(shù)理統(tǒng)計第1.3節(jié)條件概率及獨立性完整

1、1課堂練習(xí)課堂練習(xí): 化簡事件()ABC AC解解 原式AB CAC ACCBCACBAACCBA()AB CACCBCCA)(CBA 23個編號的球放入兩個編號盒子中個編號的球放入兩個編號盒子中,每個盒子至少放每個盒子至少放一個球一個球,有多少種放法有多少種放法?解法解法1: 213212A解法解法2: 1212316C C C 哪種解法正確哪種解法正確? ?分析分析: 設(shè)三個球為設(shè)三個球為A,B,C,兩個盒子為兩個盒子為1，2，則在解法則在解法1中，兩種放法重復(fù)：中，兩種放法重復(fù)：(A1B1)C2;(B1A1)C231.3.1 1.3.1 條件概率條件概率1.3.3 1.3.3 獨立試驗及

2、伯努利試驗?zāi)Ｐ酮毩⒃囼灱安囼災(zāi)Ｐ?.3.2 1.3.2 事件的獨立性事件的獨立性1.3 條件概率與事件的獨立性條件概率與事件的獨立性4 條件概率是概率論中一個重要而實用的條件概率是概率論中一個重要而實用的概念概念.它所考慮的是事件它所考慮的是事件 B 已經(jīng)發(fā)生的條件下已經(jīng)發(fā)生的條件下事件事件 A 發(fā)生的概率，將此概率記作發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).1.3.1 條件概率（條件概率（P28）5例 盒中有4個外形相同的球，它們的標號分別 為1、2、3、4，每次從盒中取出一球，有放回地取兩次則該試驗的所有可能的結(jié)果為 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2

3、) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 其中(i,j)表示第一次取i號球，第二次取j號球6設(shè)B= 第一次標號為 2 ，A=兩球標號之和為 4 則事件B： (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 事件A：(1,3) (2,2) (3,1)(1,3) (2,2) (3,1)， 事件ABAB： (2,2) P A B若我們考慮在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率并記此概率為記此概率為: 131,41616P BP AP AB則所求的概率為14P A B 注：注：由上例可以看出，事件在“條件B已發(fā)生這附加條件

4、的概率與不附加這個條件的概率是不同的因此，有必要引入下面的定義： ()P ABP A BP B7定義定義1.3.11.3.1 對事件A、 B，若P(B)0，則稱為事件A在事件B(條件)發(fā)生下的條件概率。相對地，有時就把概率P(A)，P(B) 等稱作無條件概率。 P(AB)P(A|B)P(B)vvAAPA樣本點數(shù)樣本點數(shù))(BABvBvABBAP樣本點數(shù)樣本點數(shù))|(方法1： 用原樣本空間計算條件概率方法2：用新樣本空間B計算條件概率第第1.3節(jié)節(jié) 條件概率及隨機事件的獨立性條件概率及隨機事件的獨立性8 2)從加入條件后改變了的情況去算從加入條件后改變了的情況去算 1) 用定義計算用定義計算:3

5、16361)()()|( BPABPBAP 擲骰子擲骰子例：例：A=擲出擲出2 點點， B=擲出偶數(shù)點擲出偶數(shù)點P(A|B）=31B發(fā)生后的發(fā)生后的縮減樣本空間縮減樣本空間所含樣本點總數(shù)所含樣本點總數(shù)在縮減樣本空間在縮減樣本空間中中A所含樣本點所含樣本點個數(shù)個數(shù)9問題 :分別考慮( )P AP A B與哪個大？,AB BA AB 10首先，不難驗證條件概率P(A|B)具有概率的三個基本性質(zhì)，即三條公理：0)|() 1 (BAP非負性1)|()2( BP正規(guī)性則兩兩互斥，若完全可加性, 0)(,) 3(21BPAAAn11)|()|(nnnnBAPBAP11)|()|(nnnnBAPBAP條件概

6、率是概率(P30)P AB CP A CP B CP AB C由此得由此得1P A CP A C 11P(|B) = 1 ; P(B|) 1 ;P(A|) = P(A) ; P(A|A) = 1.注 意 點12乘法公式（本節(jié)講P30）;全概率公式（下節(jié)講）；貝葉斯公式（下節(jié)講）。條件概率的三大公式13一袋中裝有一袋中裝有 10 個球個球, ,先后兩次從袋中各取一球先后兩次從袋中各取一球 (不放回不放回). .其中其中 3 個黑球個黑球, ,7 個白個白(1)(2)已知第一次取出的是黑球已知第一次取出的是黑球, , 求第二次取出的仍求第二次取出的仍是黑球的概率是黑球的概率; ;已知第二次取出的是

7、黑球已知第二次取出的是黑球, , 求第一次取出的也求第一次取出的也是黑球的概率是黑球的概率. .解解例例1記記iA為為).2 , 1( i(1) 在已知在已知1A發(fā)生發(fā)生, , 第二次取球就在剩下的第二次取球就在剩下的 2 個個根據(jù)古典概率計算根據(jù)古典概率計算, ,球球, ,i次取到的是黑球次取到的是黑球”事件事件“第第黑球、黑球、7 個白球個白球, ,即有即有. 9/2)|(12 AAP14(2) 在已知在已知2A發(fā)生發(fā)生, , 即第二次取到的是黑球的條件即第二次取到的是黑球的條件下下, , 求第一次取到黑球的概率求第一次取到黑球的概率. .在第二次取球之前在第二次取球之前, ,第一次取球發(fā)

8、生第一次取球發(fā)生故問題的結(jié)構(gòu)不像故問題的結(jié)構(gòu)不像 (1) 那么直那么直觀觀. . 我們可按定義計算我們可按定義計算)|(21AAP更方便一些更方便一些.由由)(21AAP103)(2 AP)|(21AAP91023 )()(221APAAP .92 15由條件概率的定義：由條件概率的定義：即即 若若P(B)0,則則P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()()|(BPABPBAP而而 P(AB)=P(BA)乘法公式乘法公式若已知若已知P(B), P(A|B)時時, 可以反求可以反求P(AB).將將A、B的位置對調(diào)，有的位置對調(diào)，有故故 P(A)0,則則P(AB)=P(A)P(B|A) (3)

9、若若 P(A)0,則則P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和和(3)式都稱為乘法公式式都稱為乘法公式, 利用利用它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率它們可計算兩個事件同時發(fā)生的概率16設(shè)設(shè)A,B,C為事件為事件, , 且且P P( (ABAB)0,)0,則則)()()()(ABCPABPAPABCP 設(shè)設(shè)nAAA,21為為n n個事件個事件, , 且且, 0)(121 nAAAP則則)()()()(21312121AAAPAAPAPAAAPn ).(121 nnAAAAP乘法公式易推廣到多個事件的情形（乘法公式易推廣到多個事件的情形（P30P30）17 乘法公式主要用于求幾個事件同時發(fā)生的概率

10、. 一批零件共有100個，其中10個不合格品。從中一個一個不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率. 解：記 Ai=“第i 次取出的是不合格品” 用乘法公式 乘法公式的應(yīng)用12312131290 89 10100 99 98P A A AP AP AAP AA A18例例2 一場精彩的足球賽將要舉行，一場精彩的足球賽將要舉行，5個球迷個球迷好不容易才搞到一張入場券好不容易才搞到一張入場券.大家都想去，只好大家都想去，只好用抽簽的方法來解決用抽簽的方法來解決.入場入場券券5張同樣的卡片，只有一張上寫有張同樣的卡片，只有一張上寫有“入場入場券券”，其余的什么也沒寫，其余的什么也沒寫. 將它們放在一

11、起，洗將它們放在一起，洗勻，讓勻，讓5個人依次抽取個人依次抽取.19“大家不必爭先恐后，你們一個一個大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到按次序來，誰抽到入場券入場券的機會都的機會都一樣大一樣大.”“先抽的人當然要比后抽的人先抽的人當然要比后抽的人抽到的機會大抽到的機會大.” 到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計算一下來計算一下,每個人抽到每個人抽到“入場券入場券”的概率到底的概率到底有多大有多大?20設(shè)設(shè)Ai = “第第i個人抽到入場券個人抽到入場券”，i=1, 2, 3, 4, 5.iA則則 表示表示“第第i個人未抽到入場券個人未抽到入場券”

12、.顯然，顯然，P(A1)=1/5，P( )4/5.1A也就是說，第也就是說，第1個人抽到入場券的概率是個人抽到入場券的概率是1/5.由于由于.212AAA 因為若第因為若第2個人抽到了入場券，個人抽到了入場券，第第1個人肯定沒抽到個人肯定沒抽到.由乘法公式由乘法公式 ).|()()(1212AAPAPAP 計算得計算得 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5.21)()(3213AAAPAP 同理，第同理，第3個人要抽到個人要抽到“入場券入場券”，必須第，必須第1、第、第2個人都沒有抽到個人都沒有抽到. 因此因此= (4/5)(3/4)(1/3) = 1/5. 繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn)繼續(xù)做下

13、去就會發(fā)現(xiàn), 每個人抽到每個人抽到“入場券入場券” 的概率都是的概率都是1/5.)|()|()(213121AAAPAAPAP 22設(shè)袋中有設(shè)袋中有4只白球只白球, 2只紅球只紅球 , (1) 無放回隨機地抽無放回隨機地抽取兩次取兩次, 每次取一球每次取一球, 求在兩次抽取中至多抽到一求在兩次抽取中至多抽到一個紅球的概率個紅球的概率? (2) 若無放回的抽取若無放回的抽取 3次次, 每次抽每次抽取一球取一球, 求求 (a) 第一次是白球的情況下第一次是白球的情況下, 第二次與第二次與第三次均是白球的概率第三次均是白球的概率? (b) 第一次與第二次均第一次與第二次均是白球的情況下是白球的情況下

14、 , 第三次是白球的概率第三次是白球的概率?課堂練習(xí)223解解.)1(21二二次次抽抽取取到到紅紅球球第第為為第第一一次次抽抽取取到到紅紅球球為為事事件件紅紅球球個個兩兩次次抽抽取取中中至至多多抽抽到到一一為為事事件件設(shè)設(shè)AAA.1514546252645364 )()()()(212121AAPAAPAAPAP )()()()()()(121121121AAPAPAAPAPAAPAP 則有則有,212121AAAAAAA 24. 3 , 2 , 1,)2( iiAi次次取取出出的的是是白白球球第第為為設(shè)設(shè)事事件件)()(132AAAPa,)()(1321APAAAP .1033251)()(

15、)(1321132 APAAAPAAAP所所以以,513634)(,3264)(3211 AAAPAP因因為為25,522624)(21 AAP因因為為.215251)()()(21321213 AAPAAAPAAAP所所以以,)()()()(21321213AAPAAAPAAAPb ,513634)(321 AAAP26 我們說，在事件我們說，在事件B發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件A的條件概率一般地不等于的條件概率一般地不等于A的無條件概率的無條件概率. 但是，會不會出現(xiàn)但是，會不會出現(xiàn)P(A)=P(A |B)的情形呢？的情形呢？27顯然顯然 P(A|B)=P(A)這就是說這就是說,已知事

16、件已知事件B發(fā)生發(fā)生,并不影響事件并不影響事件A發(fā)發(fā)生的概率生的概率,這時稱事件這時稱事件A、B獨立獨立.兩事件的獨立性兩事件的獨立性A=第二次擲出第二次擲出6點點， B=第一次擲出第一次擲出6點點，先看一個例子：先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)設(shè)1.3.2 1.3.2 事件的獨立性（事件的獨立性（P32P32）28 由乘法公式知，由乘法公式知，當事件當事件A、B獨立時，有獨立時，有 P(AB)=P(A) P(B) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻劃獨立性刻劃獨立性,比用比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好更好,它不受它不

17、受P(B)0或或P(A)0的制約的制約.P(AB)=P(B)P(A|B)29若兩事件若兩事件A、B滿足滿足 P(AB)= P(A) P(B) 則稱則稱A、B獨立，或稱獨立，或稱A、B相互獨立相互獨立.1 兩個事件獨立的定義（兩個事件獨立的定義（P32）不難證明，當不難證明，當P(B)0時，有時，有).()()()()|(BPAPABPAPBAP 30 與 任 何 事 件 A 是 獨 立 的 。P(A)=P()P(A)=P(A) 與 任 何 事 件 A 是 獨 立 的 。P(A)=P()P(A)=P() 31例例3 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記記 A

18、=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可見可見, P(AB)=P(A)P(B) 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 說明事件說明事件A、B獨立獨立.問事件問事件A、B是否獨立？是否獨立？解解：P(AB)=2/52=1/26P(B)=26/52=1/232練習(xí) 一個家庭中有若干個小孩，假定生男生女是等可能的，令A(yù)=“一個家庭中有男孩又有女孩” B=“一個家庭最多有一個女孩” （1）家庭中有兩個小孩，（2）家庭中有三個小孩。對上述2種情況，討論事件 ,A B的獨立性。 (1)( ,),( ,),( ,),( ,)B BB GG BG G (2)( , ,),( , ,),( ,

19、),( , ,),( ,),( , ,),( ,),( ,)B B BB B GB G BG B BG G BG B GB G GG G G 33 在實際應(yīng)用中在實際應(yīng)用中, 往往往往根據(jù)問題的實際意根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立義去判斷兩事件是否獨立. 34 由于由于“甲命中甲命中”并不影響并不影響“乙命中乙命中”的的概率，故認為概率，故認為A、B獨立獨立 .甲、乙兩人向同一目標射擊，記甲、乙兩人向同一目標射擊，記 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A與與B是否獨立？是否獨立？例如例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生 的概率）的概率）

20、35一批產(chǎn)品共一批產(chǎn)品共n件，從中抽取件，從中抽取2件，設(shè)件，設(shè) Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 則則A1與與A2獨立獨立. 因為第二次抽取的結(jié)果受到第一次抽取因為第二次抽取的結(jié)果受到第一次抽取的影響的影響.又如：又如：因為第二次抽取的結(jié)果不受第一次抽取的因為第二次抽取的結(jié)果不受第一次抽取的影響影響.若抽取是無放回的，則若抽取是無放回的，則A1與與A2不獨立不獨立.36請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？請問：如圖的兩個事件是獨立的嗎？ AB即即: 若若A、B互斥，且互斥，且P(A)0, P(B)0,則則A與與B不獨立不獨立.反之，若反之，若A與與B

21、獨立，且獨立，且P(A)0,P(B)0, 則則A 、B不互斥不互斥.而而P(A) 0, P(B) 0故故 A、B不獨立不獨立我們來計算：我們來計算：P(AB)=0P(AB) P(A)P(B)即即37定理定理1.3.11.3.1（P33P33） 若四對事件 中有一對是相互獨立的，則另外三對事件也是相互獨立的。即這四對事件或者都相互獨立，或者都不相互獨立。：因為A，B事件相互獨立，即P(AB)=P(A)P(B) 。 所以 相互獨立A, B; A, B; A, B; A, B P ABP AP ABP AP A P BP A1 P BP A P BA 、B383個事件的獨立性（個事件的獨立性（P34

22、）定義定義2、 若三個事件A、B、C滿足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),則稱事件A、B、C兩兩相互獨立兩兩相互獨立；若在此基礎(chǔ)上還滿足：(2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), （三、三獨立三、三獨立）則稱事件A、B、C相互獨立相互獨立三個事件若兩兩獨立且三三獨立，則相互獨立39注注: :兩兩獨立未必相互獨立兩兩獨立未必相互獨立! !例例: :從分別標有從分別標有1,2,3,41,2,3,4四個數(shù)字的四個數(shù)字的4 4張卡片中隨機抽張卡片中隨機抽取一張取一張, ,以事件以事件A A表示表示“取到取到1 1或或2 2號卡

23、片號卡片”; ;事件事件B B表表示示“取到取到1 1或或3 3號卡片號卡片”; ;事件事件C C表示表示“取到取到1 1或或4 4號卡號卡片片”. .則事件則事件A,B,CA,B,C兩兩獨立但不相互獨立兩兩獨立但不相互獨立. .121414P AP BP CP ABP BCP ACP ABC實，（ ） （ ） （ ）（） （） （）（）事上4011()()()1()()()()1()()ijijijkijknniiiiPA APAPAijnPA A APAPAPAijknPAPA定義：定義：設(shè)事件設(shè)事件 ，若有，若有則稱則稱 相互獨立。相互獨立。12,nA AA12,nA AAn個事件的獨立

24、（個事件的獨立（P35）n個事件若兩兩；三三，nn獨立，則相互獨立41（1） 相互獨立，則其中任相互獨立，則其中任取取k個事件個事件 也也相互獨立；反之不一定。相互獨立；反之不一定。12,nA AA12,(2,3,1)kiiiAAAkn1212,nniiiA AAB BBBAA（2）獨立，則也相互獨立，其中或1211111,()()()1()1(1()nnniiiinnniiiiiiA AAPAP APAP AP A （3）獨立，則補充42 若A、B、C 相互獨立，則AB 與 C 獨立,AB 與 C 獨立,AB 與 C 獨立. 一 些 結(jié) 論43()()()()( ) ( )( ) ( )(

25、) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ()P ACBCP ACP BCP ABCP A P CP B P CP A P B P CP C P AP BP A P BP C P A B若A，B，C獨立，則AB與C獨立()AB CACBCABC 與 相互獨立。44 例4 兩射手獨立地向同一目標射擊一次，其 命中率分別為 0.9 和 0.8，求目標被擊中的概率. 解: 設(shè) A =“甲中”, B= “乙中”, C= “目標被擊中”, 所以解法i) P(C) = P(AB) = P(A)+P(B)P(A)P(B) = 0.9+0.80.90.8 = 0.98.解法ii) 用對立事件

26、公式 P(C) = P(AB) = 1 (1 0.9)(1 0.8) = 1 0.02 = 0.98.45例例4 三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？少有一人能將密碼譯出的概率是多少？ 解解：將三人編號為：將三人編號為1，2，3，所求為所求為記記 Ai=第第i個人破譯出密碼個人破譯出密碼 i=1,2,3)(321AAAP)(321AAAP)(1321AAAP )(1321AAAP )()()(1321APAPAP 6 . 0534332541 31

27、2461.3.3 獨立試驗及伯努利試驗?zāi)Ｐ停í毩⒃囼灱安囼災(zāi)Ｐ停≒35） 在在n次試驗中次試驗中,如果任何一次試驗中事件如果任何一次試驗中事件A發(fā)發(fā)生的概率不受其他各次試驗結(jié)果的影響生的概率不受其他各次試驗結(jié)果的影響,則稱這則稱這n次試驗為相互獨立試驗次試驗為相互獨立試驗,簡稱簡稱獨立試驗獨立試驗.47如果一個試驗在給定的條件下獨立重復(fù)如果一個試驗在給定的條件下獨立重復(fù)n次次,且滿足且滿足:(1)每次試驗只有兩個可能的結(jié)果每次試驗只有兩個可能的結(jié)果:AA和和(2)每次試驗中事件每次試驗中事件 發(fā)生的概率相等發(fā)生的概率相等, pAPA )(且且10 p則稱這樣的試驗為則稱這樣的試驗為n重伯

28、努利重伯努利(Bernoulli)試驗試驗48注：注：n重伯努利試驗是一種很重要的數(shù)學(xué)模型，重伯努利試驗是一種很重要的數(shù)學(xué)模型，在實際問題中具有廣泛的應(yīng)用在實際問題中具有廣泛的應(yīng)用. . 其特點是：其特點是： 事件事件A在每次試驗中發(fā)生的概率均為在每次試驗中發(fā)生的概率均為, p且不受其它且不受其它各次試驗中各次試驗中A是否發(fā)生的影響是否發(fā)生的影響.49求在n次獨立試驗中事件A發(fā)生k次的概率。kBnAk “ 次獨立試驗中事件 發(fā)生 次” 5n 501234567891011121314( , , , , ) ,( , , , ,) ,( , , , ) ,( , , , ) ,( , , , )

29、 ,( , , , , ) ,( , , ,) ,( , , ,) ,( , , ,) ,( , , , ,) ,( , , ) ,( , , ) ,( , , , ) ,( , , ) ,( , , , )A A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A A 151617181920212223242526272829,( , , , ) ,( , ,) ,( , ,) ,(

30、, , ,) ,( , ,) ,( , , ,) ,( , , ,) ,( , ) ,( , , ) ,( , , ) ,( , , ) ,( ,) ,( , ,) ,( , ,) ,(A A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A AA A A A A303132, ,) ,( , ) ,( ,)A A A A AA A A A AA A A A A51iAiA “第 次試驗中 發(fā)生” (),iP Ap1,2,

31、3,4,5i 12345,A A A A A 獨立8123451234532()()() () () () ()PP A A A A AP A P A P A P A P Ap q設(shè)設(shè)52032B12728293031,B2171826,B37816,B 423456,B 51B5337816()()()()P BPPP3325C p q54iAiA “第 次試驗中 發(fā)生” (),1,2,iP Ap in12,nA AA獨立，121,(),ikkkn kjiiijjjPAAp q(),0,1,kkn kknP BC p qkn01,nB BB互不相容一般地一般地55定理定理(伯努利定理伯努利定理) 設(shè)在一次試驗中，設(shè)在一次試驗中， 事件事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為),10( pp則在則在n重貝努利重貝努利試驗中，試驗中，事件事件A恰好發(fā)生恰好發(fā)生k次的概率為次的概率為 (1),kkn knnP kC pp)., 1 , 0(nk （P36）56試驗試驗11電腦故障電腦故障 某電腦公司售出200臺電腦，公司在考慮售后服務(wù)維修人員的安排時需處理P(A)=p，n=200的伯努利試驗問題。其中p是電腦故障率。試驗試驗22疾病發(fā)生疾病發(fā)生 某疾病的發(fā)生率為0.001。當衛(wèi)生部門要對一個擁有5000名員工的單位估計此種疾病的發(fā)病情況時，需用p= 0.001