概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-1.4全概率公式與貝葉斯公式完整

1、1. 全概公式全概公式抽簽問(wèn)題抽簽問(wèn)題： 假設(shè)有10張票，其中有7張足球票，10人輪流抽簽，問(wèn)先抽和后抽得到足球票的概率是否相同？：10人輪流抽簽，機(jī)會(huì)相等。：因?yàn)槌楹炗邢群?，顯然先抽的人抽到的概率大，后抽的人抽到的概率小。分析分析設(shè)A=第一人抽到球票，B=第二人抽到球票則BAABB又二者是互不相容的，故)(1079710396107)|()()|()()()()()(APABPAPABPAPBAPABPBAABPBP同理，可算出第三人，第四人直到最后一人抽到的概率都相同。上述分析的實(shí)質(zhì)是將一個(gè)復(fù)雜事件分解為較簡(jiǎn)單的幾個(gè)事件，然后將概率的加法公式和乘法公式結(jié)合起來(lái)，這就產(chǎn)生了所謂的全概率公式。

2、故第一人和第二人抽到的概率相等。5設(shè)事件 兩兩互不相容， 則對(duì)于任一事件B，有nAAA,21 , 2 , 1, 0)(n1iiiAniAP并且，)|()()(1niiiABPAPBP上式稱為全概率公式由事件 兩兩互不相容，所以 也兩兩互不相容，且nAAA,21nBABABA,21niniiiBAABBB11niiininiiiABPAPBAPBAPBP111)|()()()()(于是根據(jù)加法公式和乘法公式，即得（1）全概率公式中的事件組 叫完備事件組；（2）在定理中的條件 可減弱為結(jié)論亦然成立。（3）該公式一般用于：所求事件的概率可能有某些原因引發(fā)，而這些原因又構(gòu)成完備事件組；（4）在應(yīng)用該公

3、式時(shí)，必須先找出引發(fā)該事件的完備事件組。nAAA,21n1iiABAn1ii注注 設(shè)事件A表示取出的2個(gè)球都是白球，事件Bi表示所選袋子中裝球的情況屬于第i種（i=1,2,3）易知于是按全概率公式所求的概率102)(1BP103)(2BP105)(3BP151CC)(26221A|BP153CC)(26232A|BP156CC)(26243A|BP273. 0156105103103151102)()()(31iiiA|BPBPAP則有所求的概率為 設(shè)事件Bi是一批產(chǎn)品中有i個(gè)次品（i=0,1,2,3，4），設(shè)事件A是這批產(chǎn)品通過(guò)檢查，即抽樣檢查的10個(gè)產(chǎn)品都是合格品1|0BAP900. 0C

4、C)B|P(A1010010991809. 0CC)B|P(A1010010982727. 0CC)B|P(A1010010973652. 0CC)B|P(A101001096441ii8142. 0)B|)P(AP(BP(A)i解解: :設(shè)Bi=從第i個(gè)箱子中取到產(chǎn)品(i=1,2,3)，A=取得正品. 由題意知=B1+B2+B3且B1,B2,B3是兩兩互不相容的事件. 則 P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3 P(A|B1)=2/3，P(A|B2)=3/4，P(A|B3)=2/4=1/2由全概率公式得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3

5、) =0.64例例 市場(chǎng)上某種商品由三個(gè)廠家同時(shí)供貨，其供應(yīng)量為：甲廠家是乙廠家的2倍，乙、丙兩個(gè)廠家相等，且各廠產(chǎn)品的次品率為2%,2%,4%.(1)求市場(chǎng)上該種商品的次品率.解：解：設(shè)Ai表示取到第i 個(gè)工廠產(chǎn)品，i=1,2,3，B表示取到次品，由題意得:P(A1)=0.5，P(A2)=P(A3)=0.25， P(B|A1)=0.02，P(B|A2)=0.02，P(B|A3)=0.04由全概率公式得:)|()()(31iiiABPAPBP分析分析:所求為條件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B). 這也就是下面的Bayes公式.(2)若從市場(chǎng)上的商品中隨機(jī)抽取一 件，發(fā)現(xiàn)是次品，求它是

6、甲廠生產(chǎn)的概率?15nAAA,21, 0)(BP), 2 , 1(,)|()()|()()|(1nkABPAPABPAPBAPniiikkk16), 2 , 1(,)|()()|()()()|()()()()|(1nkABPAPABPAPBPABPAPBPBAPBAPniiikkkkkk1. A1,A2,.,An可以看作是導(dǎo)致事件B發(fā)生的原因；2. P(Aj|B)是在事件B發(fā)生的條件下，某個(gè)原因Aj發(fā)生的概率，稱為 “后驗(yàn)概率”。3. 貝葉斯公式給出了“結(jié)果”事件B已發(fā)生的條件下，“原因”事件Aj的條件概率。因此Bayes公式又稱為“后驗(yàn)概率公式” ；4. P(Aj)對(duì)應(yīng)可以稱為“先驗(yàn)概率”。

7、注注例例 設(shè)8支槍中有3支沒(méi)有經(jīng)過(guò)試射校正，5支經(jīng)過(guò)試射校正一射手用校正過(guò)的槍射擊時(shí)，中靶的概率為0.8，用未校正的槍射擊時(shí)，中靶的概率為0.3. 今從8支槍中任取一支進(jìn)行射擊，結(jié)果中靶求所用的這支槍是經(jīng)過(guò)校正過(guò)的概率設(shè)A1=槍經(jīng)過(guò)試射校正， B=中靶A2=槍沒(méi)有經(jīng)過(guò)試射校正則A1，A2構(gòu)成完備事件組由題意知85)(1AP83)(2AP3 . 0)|(8 . 0)|(21ABPABP2082. 06 . 05 . 03 . 0538 . 0858 . 085)|()()|()()()|()()|(2111111iiiABPAPABPAPBPABPAPBAP解解:設(shè)B1=發(fā)出信號(hào)“.”，B2=發(fā)

8、出信號(hào)“-”， A1=收到信號(hào)“.”，A2=收到信號(hào)“-”.由于B1B2=，B1B2= ，A2=A2B1 A2B2于是029. 099. 04 . 002. 06 . 002. 06 . 0)|()()|()()|()()()()|(22212112121221BAPBPBAPBPBAPBPAPBAPABP解解:由貝葉斯公式得 0.087 0.95)1 (0.005)1 (0.950.0050.950.005)|()()|()()|()()()()|(CAPCPCAPCPCAPCPAPACPACP例例: 根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的的試驗(yàn)具有如下的效果: 若記A=試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性，C=被診

9、斷者患有癌癥 . 則有P(A|C)=0.95， =0.95. 現(xiàn)在對(duì)自然人群進(jìn)行普查，設(shè)被試驗(yàn)的人患有癌癥的概率P(C)=0.005，試求P(C|A). )|(CAP2431)|()()(iiiABPAPBP32, 1,，門火炮擊中目標(biāo)有iiAi321,，門火炮擊中目標(biāo)第iiCi25 332. 08 . 04 . 07 . 02 . 06 . 07 . 02 . 04 . 03 . 03213213213213213211CPCPCPCPCPCPCPCPCPCCCPCCCPCCCPAP 477. 08 . 06 . 07 . 08 . 04 . 03 . 02 . 06 . 03 . 03213213213213213212CPCPCPCPCPCPCPCPCPCCCPCCCPCCCPAP144. 08 . 06 . 03 . 03213CCCPAP482. 09 . 0144. 06 . 0477. 02 . 0332. 0)|()()(31iiiABPA