通用高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ29函數(shù)模型及其應(yīng)用學(xué)案理!

1、§2.9函數(shù)模型及其應(yīng)用考綱展示1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用考點(diǎn)1用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題中兩個(gè)變量的變化過程典題1(1)2017·浙江湖州模擬物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話題，特別是菜價(jià)，我國某部門為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定菜價(jià)，提出四種綠色運(yùn)輸方案據(jù)預(yù)測(cè)，這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)測(cè)的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是()ABC

2、D答案B(2)已知正方形ABCD的邊長為4，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿折線BCDA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，ABP的面積為S，則函數(shù)Sf(x)的圖象是()ABCD答案D解析依題意知，當(dāng)0x4時(shí)，f(x)2x；當(dāng)4<x8時(shí)，f(x)8；當(dāng)8<x12時(shí)，f(x)242x，觀察四個(gè)選項(xiàng)知，故選D.點(diǎn)石成金判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象(2)驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況

3、的答案考點(diǎn)2應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題典題2某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)，服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足如圖所示的曲線(1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(t)；(2)據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)治療疾病有效，求服藥一次后治療疾病有效的時(shí)間解(1)由題圖，設(shè)y當(dāng)t1時(shí)，由y4，得k4，由1a4，得a3.所以y(2)由y0.25，得或解得t5.因此服藥一次后治療疾病有效的時(shí)間是5(小時(shí))點(diǎn)石成金求解已給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)(2)根據(jù)已知利用

4、待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)(3)利用該模型求解實(shí)際問題提醒解決實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍.里氏震級(jí)M的計(jì)算公式為Mlg Alg A0，其中A是測(cè)震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅假設(shè)在一次地震中，測(cè)震儀記錄的最大振幅是1 000.此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級(jí)為_級(jí)；9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的_倍答案：6'10 000解析：根據(jù)題意，由lg 1 000lg 0.0016，得此次地震的震級(jí)為6級(jí)因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，設(shè)9級(jí)地震的最大振幅為A9，則lg A9lg 0.0019，解得A9106，同理5級(jí)地震的最大振幅

5、A5102，所以9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的10 000倍考點(diǎn)3構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題1.幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb(a，b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)模型f(x)b(k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a>0且a1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a>0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axnb(a，b為常數(shù)，a0)2三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上

6、的增減性單調(diào)_單調(diào)_單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與_平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與_平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax答案：遞增遞增y軸x軸求解實(shí)際問題的兩個(gè)誤區(qū)：忽略自變量的取值范圍；忽略數(shù)學(xué)結(jié)果的實(shí)際合理性(1)據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為4 000輛次，其中變速車存車費(fèi)是每輛一次0.3元，普通車存車費(fèi)是每輛一次0.2元若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是_答案：y0.1x1 200(0x4 000，xN)解析：y0.2x(4 000x)&

7、#215;0.30.1x1 200(0x4 000，xN)，這里不能忽略x的取值范圍，否則函數(shù)解析式失去意義(2)要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個(gè)草坪都能噴灑到水，假設(shè)每個(gè)噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米的圓面，則最少需安裝噴水龍頭_個(gè)答案：4解析：可以將正方形分割成4個(gè)全等的正方形，每個(gè)小正方形的對(duì)角線長為8<12，所以安裝4個(gè)噴水龍頭就可以滿足題意由于是實(shí)際問題，不可以這樣理解：每個(gè)噴水龍頭可噴灑的面積為36平方米，3個(gè)噴水龍頭即可噴灑的面積為108平方米，又108>162，最后得出安裝3個(gè)就可以，這是錯(cuò)誤的復(fù)利公式(1)某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息，若本金為a元，

8、每期利率為r，存期是x，本利和(本金加利息)為y元，則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式是_答案：ya(1r)x(2)人口的增長、細(xì)胞分裂的個(gè)數(shù)以及存款利率(復(fù)利)的計(jì)算等問題都可以用_函數(shù)模型解決答案：指數(shù)考情聚焦高考對(duì)函數(shù)應(yīng)用的考查，常與二次函數(shù)、基本不等式及導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯，以解答題為主要形式出現(xiàn)，考查用函數(shù)知識(shí)解決以社會(huì)實(shí)際生活為背景的成本最低、利潤最高、產(chǎn)量最大、效益最好、用料最省等實(shí)際問題主要有以下幾個(gè)命題角度：角度一二次函數(shù)模型典題3為了保護(hù)環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，某單位在國家科研部門的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品已知該單位每月的處理量最少為4

9、00噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為：yx2200x80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品的價(jià)值為100元?jiǎng)t該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該單位不虧損？解設(shè)該單位每月獲利為S，則S100xy100xx2300x80 000(x300)235 000，因?yàn)?00x600，所以當(dāng)x400時(shí)，S有最大值40 000.故該單位不獲利，需要國家每月至少補(bǔ)貼40 000元，才能不虧損點(diǎn)石成金二次函數(shù)模型問題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)二次函數(shù)的最值一般利用配方法與函數(shù)的單調(diào)性解決，但一定要密切

10、注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯(cuò)；(2)確定一次函數(shù)模型時(shí)，一般是借助兩個(gè)點(diǎn)來確定，常用待定系數(shù)法；(3)解決函數(shù)應(yīng)用問題時(shí)，最后要還原到實(shí)際問題角度二構(gòu)造分段函數(shù)模型典題4國慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)在30或30以下，飛機(jī)票每張收費(fèi)900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75人為止每團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15 000元(1)寫出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤？解(1)設(shè)旅行團(tuán)人數(shù)為x，由題得0<x75(xN*)，飛機(jī)票價(jià)格為y元，則y即y(2)設(shè)旅行社獲利S元，則S即

11、S因?yàn)镾900x15 000在區(qū)間(0,30上為單調(diào)增函數(shù)，故當(dāng)x30時(shí)，S取最大值12 000元，又S10(x60)221 000在區(qū)間(30,75上，當(dāng)x60時(shí)，取得最大值21 000.故當(dāng)x60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤點(diǎn)石成金解決分段函數(shù)模型問題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)實(shí)際問題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解；(2)構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷，做到分段合理、不重不漏；(3)分段函數(shù)的最值是各段的最大(或最小)值的最大者(最小者)角度三構(gòu)建“對(duì)勾”函數(shù)f(x)x(a>0)模型典題5為了在夏季降溫

12、和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系C(x)(0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值解(1)由已知條件得C(0)8，則k40，因此f(x)6x20C(x)6x(0x10)(2)f(x)6x101021070(萬元)，當(dāng)且僅當(dāng)6x10，即x5時(shí)等號(hào)成立所以當(dāng)隔熱層厚度為5 c

13、m時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小值，最小值為70萬元點(diǎn)石成金應(yīng)用函數(shù)模型yx的關(guān)鍵點(diǎn)(1)明確對(duì)勾函數(shù)是正比例函數(shù)f(x)ax與反比例函數(shù)f(x)疊加而成的(2)解決實(shí)際問題時(shí)一般可以直接建立f(x)ax的模型，有時(shí)可以將所列函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為f(x)ax的形式(3)利用模型f(x)ax求解最值時(shí)，要注意自變量的取值范圍，及取得最值時(shí)等號(hào)成立的條件角度四構(gòu)建指、對(duì)函數(shù)或復(fù)雜的分式結(jié)構(gòu)函數(shù)模型典題6已知一容器中有A，B兩種菌，且在任何時(shí)刻A，B兩種菌的個(gè)數(shù)乘積為定值1010，為了簡(jiǎn)單起見，科學(xué)家用PAlg nA來記錄A菌個(gè)數(shù)的資料，其中nA為A菌的個(gè)數(shù)，現(xiàn)有以下幾種說法：PA1；若今天的PA值比昨天的

14、PA值增加1，則今天的A菌個(gè)數(shù)比昨天的A菌個(gè)數(shù)多10；假設(shè)科學(xué)家將B菌的個(gè)數(shù)控制為5萬，則此時(shí)5<PA<5.5(注：lg 20.3)則正確的說法為_(寫出所有正確說法的序號(hào))答案解析當(dāng)nA1時(shí)，PA0，故錯(cuò)誤；若PA1，則nA10，若PA2，則nA100，故錯(cuò)誤；B菌的個(gè)數(shù)為nB5×104，nA2×105，PAlg nAlg 25.又lg 20.3，5<PA<5.5，故正確點(diǎn)石成金一般地，涉及增長率問題、存蓄利息問題、細(xì)胞分裂問題等，都可以考慮用指數(shù)函數(shù)的模型求解求解時(shí)注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，指數(shù)函數(shù)的值域的影響以及實(shí)際問題中的條件限制.方法技巧解

15、函數(shù)應(yīng)用問題的四步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型；(3)解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問題以上過程用框圖表示如下：易錯(cuò)防范1.解應(yīng)用題思路的關(guān)鍵是審題，不僅要明白、理解問題講的是什么，還要特別注意一些關(guān)鍵的字眼(如“幾年后”與“第幾年后”)2在解應(yīng)用題建模后一定要注意定義域，建模的關(guān)鍵是注意尋找量與量之間的相互依賴關(guān)系3解決完數(shù)學(xué)模型后，注意轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題寫出總結(jié)答案 真題演練集訓(xùn) 12016·四川卷某公司

16、為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A2018年B2019年C2020年D2021年答案：B解析：根據(jù)題意，知每年投入的研發(fā)資金增長的百分率相同，所以，從2015年起，每年投入的研發(fā)資金組成一個(gè)等比數(shù)列an，其中，首項(xiàng)a1130，公比q112%1.12，所以an130×1.12n1.由130×1.12n1>200，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得n1>

17、，又3.8，則n>4.8，即a5開始超過200，所以2019年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.22015·北京卷汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況下列敘述中正確的是()A消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛1小時(shí)，消耗10升汽油D某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí)相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油答案：D解析：根據(jù)圖象所給數(shù)據(jù)，逐個(gè)驗(yàn)證選項(xiàng)根據(jù)圖象知消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米，故選項(xiàng)A錯(cuò)；以相同速度

18、行駛時(shí)，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時(shí)，甲車消耗汽油最少，故選項(xiàng)B錯(cuò)；甲車以80千米/小時(shí)的速度行駛時(shí)燃油效率為10千米/升，行駛1小時(shí)，里程為80千米，消耗8升汽油，故選項(xiàng)C錯(cuò)；最高限速80千米/小時(shí)，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選項(xiàng)D對(duì)32014·湖南卷某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()A.BC.D1答案：D解析：設(shè)年平均增長率為x，原生產(chǎn)總值為a，則(p1)(q1)aa(1x)2，解得x1，故選D.42015·四川卷某食品的保鮮時(shí)間y(單

19、位：h)與儲(chǔ)藏溫度x(單位：)滿足函數(shù)關(guān)系yekxb(e2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192 h，在22 的保鮮時(shí)間是48 h，則該食品在33 的保鮮時(shí)間是_h.答案：24解析：由已知條件，得192eb， bln 192.又48e22kbe22kln 192192e22k192(e11k)2，e11k.設(shè)該食品在33 的保鮮時(shí)間是t h，則te33kln 192192e33k192(e11k)3192×324. 課外拓展閱讀 利用函數(shù)模型巧解抽象函數(shù)問題函數(shù)部分有一類抽象函數(shù)問題，這類問題給定函數(shù)f(x)的某些性質(zhì)，要證明它的其他性質(zhì)，或利用這些

20、性質(zhì)解一些不等式或方程這些題目的設(shè)計(jì)一般都有一個(gè)基本函數(shù)作為“模型”，若能分析猜測(cè)出這個(gè)函數(shù)模型，結(jié)合這個(gè)函數(shù)模型的其他性質(zhì)來思考解題方法，那么這類問題就能簡(jiǎn)單獲解典例1已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y均有f(xy)f(x)f(y)，且當(dāng)x>0時(shí)有f(x)>0，f(1)2，求f(x)在2,1上的值域思路分析解因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x，y均有f(xy)f(x)f(y)，令xy0，則f(0)f(0)f(0)，故f(0)0；再令yx，則f(xx)f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，即f(x)為奇函數(shù)設(shè)x1<x2，則x2x1>0.因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，所以f(

21、x2x1)>0.所以f(x2)f(x1)f(x2x1)>0，所以f(x)為R上的增函數(shù)又f(2)f(11)2f(1)4，f(1)f(1)2，所以當(dāng)x2,1時(shí)，f(x)4,2典例2設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是R，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f(mn)f(m)·f(n)，且當(dāng)x>0時(shí)，0<f(x)<1.(1)求證：f(0)1，且當(dāng)x<0時(shí)，有f(x)>1；(2)判斷f(x)在R上的單調(diào)性思路分析(1)證明因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f(mn)f(m)·f(n)，令m1，n0，則f(1)f(1)·f(0)因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，0<f(x)<1，所以f(0)1.設(shè)mx<0，nx>0，所以f(0)f(x)·f(x)，所以f(x)>1.即當(dāng)x<