導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)圖像的交點問題 2

1、由2006年高考看如何用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)圖象的交點問題2006年高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)命題的方向基本沒變，主要從五個方面(與切線有關(guān)的問題函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間問題函數(shù)的極值和最值問題不等式證明問題與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值有關(guān)的參數(shù)問題)考查了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的掌握水平。但是，2006年高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)命題在方向基本沒變的基礎(chǔ)上，又有所創(chuàng)新。福建理科卷第21題研究兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，福建文科卷第19題研究分式方程的根的分布問題，湖南卷第19題研究函數(shù)的交點問題，四川卷第21題研究函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題。從以上試卷我們可以發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)命題創(chuàng)新的兩個方面：一是研究對象的多元化，由研究單一函數(shù)轉(zhuǎn)向研究兩個函數(shù)或多個函數(shù)，

2、二是研究內(nèi)容的多元化，由用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值、極值）轉(zhuǎn)向運用導(dǎo)數(shù)進行函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象的交點和方程根的分布等的綜合研究，實際上就是運用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題。試題“以能力立意”的意圖表現(xiàn)明顯，試題注重了創(chuàng)新、開放、探究性，以所學(xué)數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)，對數(shù)學(xué)問題進行深入探討，從數(shù)學(xué)角度對問題進行探究。考查了學(xué)生綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法，進行獨立的思考、探索和研究，創(chuàng)造性地解決問題的能力。如何運用導(dǎo)數(shù)的知識研究函數(shù)圖象的交點問題呢？下面我們先看一看今年的高考題。 例1（福建理科第21題）已知函數(shù)f(x)=x+8x,g(x)=6lnx+m（）求f(x)在區(qū)間t,

3、t+1上的最大值h(t);（）是否存在實數(shù)m，使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；，若不存在，說明理由。解：（）略（II）函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，令f(x)= g(x) g(x)f(x)=0x>0 函數(shù)(x)=g(x)f(x) =28x+6ln x+m的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點。當(dāng)x(0,1)時，0，是增函數(shù)；當(dāng)x(1,3)時，0，是減函數(shù)；當(dāng)x(3,+)時，0，是增函數(shù)；當(dāng)x=1或x=3時，=0。j(x)極大值=j(1)=m7, j(x)極小值=j(3)=m+6ln 315

4、.當(dāng)x0時，(x)，當(dāng)x時，(x)要使(x)=0有三個不同的正實數(shù)根，必須且只須7<m<156ln 3.所以存在實數(shù)m，使得函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，m的取值范圍為（7，156ln 3）. （分析草圖見下圖1）圖1 圖2 圖3引申1：如果（）中“有且只有三個不同的交點”變?yōu)椤坝星抑挥幸粋€不同的交點”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改為m+6In3-15>0或m-7<0，即m>15-6In3 或m<7時，函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有一個不同的交點（分析草圖見圖2和圖3）。引申2：如果（）中“有且只有三個不同的交

5、點”變?yōu)椤坝星抑挥袃蓚€不同的交點”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改為m+6In3-15=0或m-7=0，即m=15-6In3 或m=7時，函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有兩個不同的交點（分析草圖見圖4和圖5）。 圖4 圖5從上題的解答我們可以看出，用導(dǎo)數(shù)來探討函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點問題，有以下幾個步驟：構(gòu)造函數(shù)(x)= f(x)g(x)求導(dǎo)研究函數(shù)(x)的單調(diào)性和極值（必要時要研究函數(shù)圖象端點的極限情況）畫出函數(shù)(x)的草圖，觀察與x軸的交點情況，列不等式解不等式得解解題的關(guān)鍵是會用數(shù)形結(jié)合思想來研究問題。下面用這幾個步驟來完成2006年四川卷第21

6、題。例2（四川卷第21題）已知函數(shù)其中是的f(x)的導(dǎo)函數(shù)。（）對滿足的一切的值， 都有求實數(shù)的取值范圍；（）設(shè)，當(dāng)實數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，函數(shù)f(x)的圖像與直線3只有一個公共點。解：（）略（）當(dāng)時，的圖象與直線只有一個公共點當(dāng)時，令(x)= f(x)-3=，=列表： （(x)單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增-4又(x)的值域是，且在上單調(diào)遞增當(dāng)時函數(shù)的圖象與x軸只有一個公共點。當(dāng)時，恒有由題意得即解得綜上，的取值范圍是（分析草圖見圖6） 圖6當(dāng)然，題目并不是千篇一律的，也有些變式，但是基本方法沒有變化。如：2006年福建文科卷21題。例3（福建文科卷第21題）已知是二次函數(shù)，不等式的解集是

7、且在區(qū)間上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在實數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。解：（）f(x)=2(過程略)（II）方程等價于方程設(shè)則 當(dāng)是減函數(shù)；當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，是增函數(shù)。（見圖7） 圖7方程在區(qū)間內(nèi)分別有惟一實數(shù)根，而在區(qū)間內(nèi)沒有實數(shù)根，所以存在惟一的自然數(shù)使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不同的實數(shù)根。 從上面的探討，我們可以看出，在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們除了要加強數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，還要學(xué)會用數(shù)學(xué)思想方法來研究問題，只有這樣，我們才能以不變應(yīng)萬變，才能提高我們的創(chuàng)新能力和實踐能力。練習(xí)對于公比為2，首項為1的等比數(shù)列，是否存在一個等差數(shù)列，其中存在三項，使得這三項也是此等比數(shù)列中的項，并且項數(shù)也相同？證明你的結(jié)論。解：設(shè)等比數(shù)列，則，設(shè)等差數(shù)列通項對應(yīng)的函數(shù)為，等比數(shù)列通項對應(yīng)的函數(shù)，由，由，設(shè)，則當(dāng)時，顯然，即為單調(diào)遞增函數(shù)，故至多與軸有一個交點，即方程至多有一個根；當(dāng)時，若，則；若，則；故在為減函數(shù)；在為增函數(shù)；因此的圖象在上與軸至多一個交點，在上亦至多一個交點，從而在上與軸至多有兩個交點，即方程至多有兩個根； 綜