勾股定理中考題

1、勾股定理·中考題看到這么一個(gè)標(biāo)題，可能有些同學(xué)感到很納悶：會(huì)標(biāo)與勾股定理和中考題之間有什么關(guān)系呢？別著急，看完下文你就明白了. 2002年8月20 28日，我國在首都北京成功舉辦了第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì). 這是在發(fā)展中國家舉行的第一次國際數(shù)學(xué)家大會(huì)，也是多年來在我國舉行的最重要的一次國際會(huì)議. 它標(biāo)志著我國數(shù)學(xué)已度過了六百多年的低谷，進(jìn)入了數(shù)學(xué)大國的行列，并向著新世紀(jì)成為數(shù)學(xué)強(qiáng)國邁開了步伐. 這次大會(huì)的會(huì)標(biāo)如右圖所示。它取材于我國三國時(shí)期（公元3世紀(jì)）趙爽所著的勾股圓方圖注. 趙爽在這本書中，畫了一個(gè)弦圖（如圖）。兩個(gè)全等的直角三角形（三角形涂上朱色，它的面積叫做“朱實(shí)”）合起來形成

2、矩形，四個(gè)這樣的矩形合成一個(gè)正方形，中間留出了一個(gè)正方形的空格（涂上黃色，其面積叫做“中黃實(shí)”，也叫“差實(shí)”）. 趙爽注釋道：“勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開方除之即弦. ”開方除之是當(dāng)時(shí)開方運(yùn)算的術(shù)語. 上面這句話實(shí)際上就是勾股定理即：a2+b2=c2. 他又巧妙地證明出：“按弦圖，又可以勾股乘朱實(shí)二，信之為朱實(shí)四. 以勾股之差自相乘中黃實(shí). 加差實(shí)亦成弦實(shí). ”即2ab+（b-a）2=c2化簡便得出：a2+b2=c2這個(gè)證明不但是勾股定理最早的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，而且也是有史以來勾股定理證明中最巧妙的一個(gè). 借助第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的東風(fēng)，宣傳民族文化，激發(fā)自豪感，這些也正是中考命題專家們看重的地方

3、. 例1（2003年安徽省中考題）如圖是2002年8月在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)中的圖案，其中四邊形ABCD和EFGH都是正方形. 求證：ABFDAE分析：在小學(xué)我們就知道，正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角. BAF= 900-DAE=ADE. 在RtABF與DAE中，BAF=ADE，AB=ADABFDAE(AAS).例2（2003年山東省中考題）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的勾股圓方圖注，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如下圖所示）. 如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊長為a

4、，較長直角邊長為b，那么(a+b)2的值為（ ）A.13； B.19； C.25； D.169.分析：由勾股定理，結(jié)合題意得 a2+b2=13 . 由題意，得 (b-a)2=1 .由，得 a2+b2-2ab =1 . 把代入，得 13-2ab=1 2ab=12. (a+b)2 = a2+b2+2ab =13+12=25.因此，選C.例3（2003年山東省煙臺(tái)市中考題）（1）四年一度的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)于2002年8月20日在北京召開. 大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖甲. 它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形. 若大正方形的面積為13，每個(gè)直角三角形兩條直角邊的和是5. 求中間小正方形的面積.

5、 （2）現(xiàn)有一張長為6.5cm、寬為2cm的紙片，如圖乙，請你將它分割成6塊，再拼合成一個(gè)正方形. 圖甲圖乙（要求：先在圖乙中畫出分割線，再畫出拼成的正方形并表明相應(yīng)數(shù)據(jù)）分析：（1）設(shè)直角三角形的較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，則小正方形的邊長為a-b. 由題意得a+b=5由勾股定理，得a2+b2=13.2 ，得 2ab=12.(a-b)2 = a2+b2-2ab=13 12 =1.即 所求的中間小正方形的面積為1.（2）所拼成的正方形的面積為6.5×2= 13(cm2)，所以，可按照圖甲制作. 由，得a-b=1.由、組成方程組解得 a=3, b=2.3cm3cm0.5cmcm1cm1cm0.5cm3cm2cmcm2cm結(jié)合題意，每個(gè)直角三角形的較長的直角邊只能在紙片6.5cm的長邊上截取，去掉