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1、第五節(jié) 定積分的換元積分法一、定積分的換元積分法例751 求定積分.解 根不定積分類似,令即,當時,對應(yīng)地;當時,對應(yīng)地則=.注意:變量換了,的積分區(qū)間必須對應(yīng)地換成的積分區(qū)間.例752 求定積分.解 例753 求定積分解 例754 求定積分解 (或 )=例755 求定積分解 例756 求定積分解 例757求定積分,其中解 例758 求定積分解 我們應(yīng)注意到:如果忽略了在上為負而按計算,將導(dǎo)致錯誤結(jié)果例759試證明:.證我們知道,所以令則左邊右邊.即.二、奇(偶)函數(shù)定積分從本章第一節(jié)定積分的幾何意義我們就注意到:(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的定積分等于零,即(如圖716);(2)偶函數(shù)
2、在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的定積分等于其軸右邊面積的二倍,即(如圖719)現(xiàn)給出理論上的證明:證 (1)是上的奇函數(shù)則由積分區(qū)間的分割性質(zhì),得其中所以;(2)是上的偶函數(shù)則由積分區(qū)間的分割性質(zhì),得其中所以.上述結(jié)論最有價值的是第一個,即奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的定積分等于零.例7510 求定積分.解 這個積分用分部法可以做出來.但看到被積函數(shù)是個奇函數(shù),您還會用分部積分法去做嗎?至于結(jié)果,就請讀者您自己圈上吧.思考題7.51.定積分的換元法與不定積分的有何不同?使用時要特別注意什么問題?(換限)2. 例754 中定積分還有個更簡單的求法,你想到了嗎?練習(xí)題7.51.試證明:.2. 求下列定積分:(1);(2);(3);(4);(5);(6).練習(xí)題7.5答案1. 試證明:.證地球人都知道,所以我們令則左邊右邊.即 .2.求下列定積分:(1);(2);(3);(4);(5);(6).解
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