定積分的應(yīng)用b

1、4.6 定積分的應(yīng)用課題： 定積分的應(yīng)用目的要求：掌握定積分的微元法，能用于列寫某些幾何量和物理量的定積分表達式重點：求平面圖形的面積及繞坐標軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的體積難點： 定積分的微元法教學方法： 講練結(jié)合教學時數(shù)： 4課時教學進程：定積分有著廣泛的應(yīng)用，特別是在幾何學和物理學上下面介紹一些典型的應(yīng)用實例一、微元法應(yīng)用定積分理論解決實際問題的第一步是將實際問題化為定積分的計算問題，這一步是關(guān)鍵，也較為困難下面介紹將實際問題化為定積分的計算問題的方法定積分的所有應(yīng)用問題都具有一個固定的模式：求與某個區(qū)間上的變量有關(guān)的總量這個量可以是面積，體積，弧長，功等我們用如下的步驟去確定這個量(1) 分割

2、用分點將分為個子區(qū)間(2) 近似找一個連續(xù)函數(shù)，使得在第個子區(qū)間上，可以用量，來近似，這一步是問題的核心(3) 求和將所有這些近似量加起來，得總量的近似值，(4) 取極限當分割無限細密時，得出對上面的求積過程可作如下的較為簡捷的處理用代替，用代替，和號用積分號代替，即用代替我們已經(jīng)指出，第二步的“近似”是關(guān)鍵我們在具有代表性的任一小區(qū)間上，以“勻代不勻”找出微分然后從到積分，就可求出量這種在微小的局部上進行數(shù)量分析的方法叫做微元法例如，已知質(zhì)點運動的速度為，計算在時間間隔上質(zhì)點所走過的路程任取一小段時間間隔，在這一段時間內(nèi)，以勻速代變速，得到路程的微分，有了這個微分式，只要從到積分，就得到質(zhì)點

3、在這段時間內(nèi)走過的路程二、 平面圖形的面積1計算直角坐標系中平面圖形的面積() 設(shè)連續(xù)函數(shù)和滿足條件，求曲線，及直線所圍成的平面圖形的面積（圖1） 用微元法求第一步在區(qū)間上任取一小區(qū)間，并考慮它上面的圖形的面積，這塊面積可用以為高，以為底的矩形面積近似，于是第二步在區(qū)間上將無限求和，得到圖2 (1)圖1類似地，用微元法可得：()由連續(xù)曲線、（）與直線、所圍成的平面圖形（圖2）的面積為：(2)例計算兩條拋物線與所圍成的面積解求解面積問題，一般需要先畫一草圖（圖3），我們要求的是陰影部分的面積需要先找出交點坐標以便確定積分限，為此解方程組：得交點(0,0)和(1,1)選取為積分變量，則積分區(qū)間為，

4、根據(jù)公式(1) ，所求的面積為圖4圖3一般地，求解面積問題的步驟為：(1) 作草圖，求曲線的交點，確定積分變量和積分限 (2) 寫出積分公式(3) 計算定積分例求由曲線與直線所圍成的平面圖形的面積解作圖(圖4)，解方程組得兩條曲線的交點坐標為(2,-2)，(8,4)選取為積分變量，積分區(qū)間為-2,4根據(jù)公式(2) ，所求的面積為圖5=18例3求橢圓所圍成的面積解如（圖5）這橢圓關(guān)于兩坐標軸都對稱，所以，所求的面積為應(yīng)用定積分的換元積分法，令，則當時，當時，所以即橢圓的面積等于這可以作為公式使用一般地，當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程給出時，且在（或）上具有連續(xù)導數(shù)，連續(xù)，則由曲邊梯形的面積公式及定積

5、分的換元公式可知，曲邊梯形的面積為圖62計算極坐標系中平面圖形的面積某些平面圖形，用極坐標來計算它們的面積比較方便設(shè)由曲線及射線圍成一圖形（簡稱為曲邊扇形），現(xiàn)在要計算它的面積（圖6）這里在上連續(xù)，且用微元法推導計算面積的公式取極角為積分變量，它的變化區(qū)間為相應(yīng)于任一小區(qū)間的窄曲邊扇形的面積可以用半徑為、中心角為的圓扇形的面積來近似代替，從而得到這窄曲邊扇形面積的近似值，即曲邊扇形的面積微元從而得所求曲邊扇形的面積為(3)例4求心形線所圍圖形的面積解用公式(3)計算由于圖形關(guān)于極軸對稱（圖7），所以所求面積為圖7三、旋轉(zhuǎn)體的體積由平面圖形繞定直線旋轉(zhuǎn)一周生成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體，定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸下面我們只討論旋轉(zhuǎn)軸是坐標軸的情形1. 連續(xù)曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)體（圖8）體積可用微元法求得：在區(qū)間上任取一子區(qū)間（圖8），將該子區(qū)間上的旋轉(zhuǎn)體視作底面積為、高為的薄圓柱，得體積微元，則旋轉(zhuǎn)體的體積為(4)圖9圖8類似地可得：1 連續(xù)曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)體（圖9）體積為 (5)圖10例5求由橢圓 所圍成的圖形分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體(圖10)的體積解由于橢圓關(guān)于坐標軸對稱，所以所求的體積是橢圓在第一象限內(nèi)形成的曲邊梯形繞坐標軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體體積的二倍，即繞軸旋轉(zhuǎn)時，由公式(4) 得繞軸旋轉(zhuǎn)時，由公式 (5)