數(shù)值分析：8-3Runge-Kutta方法

1、 8.3 Runge-Kutta法法第八章第八章 常微分方程數(shù)值解常微分方程數(shù)值解 8.3 Runge-Kutta法法1(,)kkkkyyhf xy111 (,)(,)2kkkkkkhyyf xyf xy考慮改進(jìn)Euler法如果將其改成1(,)kkKf xy211(,)kkKf xyhK112()2kkhyyKK-(1)改進(jìn)Euler法是由梯形公式和Euler公式復(fù)合而成梯形公式具有2階精度形如(1)式的求解公式稱為二階二階Runge-Kutta法法同樣可以證明,改進(jìn)Euler法也具有2階精度011( , ),( )kkkkyf x yaxby ayyyxxh 對于微分方程初值問題如已知需要求

2、，1101()()(),()(), ()kkkkkkky xy xy xhhy xy xhf xh y xh則由微分中值定理 可得1, (),(,)kkkkkkkkfxh y xhxxf xxxyyyy其中為在區(qū)間上的平均斜率。為在 點(diǎn)上的斜率的近似( )基本思路基本思路0121( )(,)(,)(,),()kkkkkkkkkkkyy ayyhf xyxyyf xyxxO h 在歐拉公式中僅用一個(gè)點(diǎn)處的斜率來近似代替區(qū)間上的平均斜率，局部截?cái)嗾`差為。1211112(,)(,)()2kkkkkkKf xyKf xyhKhyyKK改進(jìn)的歐拉公式 在 中1111131(,)(,)(,)(,),()k

3、kkkkkkkkkkkxyyf xyxyhKyf xyhKxxO h 則是用點(diǎn)處的斜率和由此點(diǎn)處信息預(yù)估的點(diǎn)處的斜率的算術(shù)平均值來近似代替區(qū)間上的平均斜率，局部截?cái)嗾`差為。 所以如果在區(qū)間上多預(yù)估幾個(gè)點(diǎn)的斜率值，再將它們的線性組合作為平均斜率的近似值，則就有可能構(gòu)造出精度更高的計(jì)算格式。推廣1(, )kkkkyyhxy h( , )f x y其中 是用在一些點(diǎn)上值的線性組合來構(gòu)成這種單步法稱為Runge-Kutta方法,簡記為簡記為R-K公式公式.,Runge-Kutta.RRf若 是由 個(gè) 值線性組合構(gòu)成 則稱線性方法級以2級二階Runge-Kutta方法（8.3.2）為例加以說明二階二階R

4、unge-Kutta公式公式12111122(,)(+,)()kkkkkkKf xyKf xph yphKyyhKK二元Taylor展開-P5使用工具：Taylor展開三階三階Runge-KuttaRunge-Kutta公式公式14,()kkhxxO若在區(qū)間上再增加一個(gè)新點(diǎn)，即用三個(gè)點(diǎn)上的斜率進(jìn)行加權(quán)平均作為平均斜率，則可望得到截?cái)嗾`差為的計(jì)算公式，1123123121321112233,(,)(,)(,)()1,1kkkkkkkkkkkkkxxph xqhxxKKKKf xyKf xph yphKKf xqh yqhKyyhKKKpq 預(yù)估預(yù)估其中為區(qū)間上的三個(gè)點(diǎn)；00； 是三個(gè)斜率的線性組

5、合系數(shù)。即三階龍格三階龍格- -庫塔公式庫塔公式4112-()pqhO如果取中點(diǎn)和終點(diǎn)的斜率，則可得到一三階種局部截?cái)嗾`差為龍格的庫塔公式121321123123(,)(,)22(,)(4)6141,666kkkkkkkkKf xyhhKf xyKKf xh yhKhyyKKK即三階龍格三階龍格- -庫塔公式庫塔公式12132113123(,)(,)3322(,)33(3)413,0,44kkkkkkkkKf xyhhKf xyKKf xh yhKhyyKK即4-1233()pqO h如果取任意兩點(diǎn)，如和終點(diǎn)的斜率，則可得到另一種局部截?cái)嗾`差為的三階龍格 庫塔公式四階龍格四階龍格- -庫塔公式

6、庫塔公式151,12-()kkpOqhxx:若在區(qū)間上仍取三個(gè)點(diǎn) （，），但在中點(diǎn)處又校正，則可望得到局部截?cái)嗨碾A經(jīng)典龍格 庫塔公誤差為的計(jì)式算公式，121324311234/(,)(,)22(,)22(,)(22)6kkkkkkkkkkKf xyhhKf xyKhhKf xyKKf xh yhKhyyKKKK即(RK4)多校正一次構(gòu)造一般的R級Runge-Kutta方法12221111,1111122(,)(,)()(,)()kkkkRkRkRR RRkkRRKf xyKf xp h yq hKRKKf xp h yq hKqhKyyhKKK,Tayloriiisp q其中等均為待定的參數(shù),

7、 根據(jù)展開并由期望的階數(shù)確定, 且一般不唯一.Runge-kutta方法的階與級的關(guān)系方法的階與級的關(guān)系 在Runge-kutta計(jì)算格式(RK)中.計(jì)算函數(shù)值 f 的次數(shù) R 稱為級級, 級數(shù)與階數(shù)是不同的, 可以證明R級Runge-kutta公式的最高階數(shù)是 R . 通常所說的 R 級 m 階Runge-kutta公式指要計(jì)算 R個(gè)f(x,y)的函數(shù)值, 且對應(yīng)的計(jì)算公式是 m 階的.Butcher得出如下Runge-kutta方法的級數(shù)級數(shù)R與階數(shù)階數(shù)m的對應(yīng)關(guān)系:因此, 通常使用4級4階Runge-kutta公式(RK4).()fR每步計(jì)算 的個(gè)數(shù)級數(shù) 2 3 4 5 6 7 R8 2 3 4 4 5 6 R-2 可達(dá)到的最高精度階數(shù) 應(yīng)當(dāng)注意，高階應(yīng)當(dāng)注意，高階R-K公式的推導(dǎo)是基于初公式的推導(dǎo)是基于初值問題的解值問題的解y(x)的的Taylor展開，因而要求展開，因而要求y(x)具具有較好的光滑性。有較好的