(完整word版)三角函數(shù)知識點歸納

1、三角函數(shù)一、任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1.任意角(1)角的概念的推廣按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角任意角J負(fù)角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角、零角：不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角按終邊位置不同分為象限角和軸線角.角口的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱a為第幾象限角.第一象限角的集合為(a k 360c <Of <k 360。十90,kw z第二象限角的集合為U k .360，+90噎卜360，+180°,k。第三象限角的集合為 Q k 360C+180S <« <k 360C +270：

2、,k =第四象限角的集合為 Q k 360C+270C <k 360'+3601，kw 2終邊在x軸上的角的集合為3口 =k 180',k w/終邊在y軸上的角的集合為 何。=k 180，+901k亡刀終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為= k 90，,kwz(2)終邊與角“相同的角可寫成 葉k 360 (k Z).終邊與角c(相同的角的集合為 邛世=k 360+%Y 力(3)弧度制1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.弧度與角度的換算：360° =紅弧度；180° =工弧度.半徑為r的圓的圓心角豆所對弧白長為1,則角a的弧度數(shù)的絕對值是=

3、L r若扇形的圓心角為« (口為弧度制),半徑為r ,弧長為1 ,周長為C ,面積為S ,則1 = r 口| , C = 2r +1 ,1 12S= - 1r = a r . 222 .任意角的三角函數(shù)定義設(shè)a是一個任意角，角 a的終邊上任意一點 P(x, y),它與原點的距離為r(r =Jx2 + y2 ), 那么角a的正弦、余弦、 正切分別是：sinhy, cos a= x，tan a= y.(三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三 正切、四余弦)3 .特殊角的三角函數(shù)值I、角度 函030456090120135150180270360角a的弧度0兀/6兀/4兀/

4、3兀/22兀/33兀/45兀/6兀3兀/22兀sina01/2V2/2V3/21V3/2V2/21/20-10cosa1V3/2V2/21/20-1/2“2/2“3/2-101tana0V3/31V3-V3-1“3/300、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式A.基礎(chǔ)梳理1 .同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系：sin2升cos2a= 1 ；(在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號)(2)商數(shù)關(guān)系：10sq = tan a.(3)倒數(shù)關(guān)系：tanct cotot =12 .誘導(dǎo)公式公式一：sin( a+ 2k 兀4 sin a, cos(a+ 2k 兀) cos_a, tan(a

5、+2kn) = tanot 其中 kCZ.公式二： sin( 擊 o) = sin a, cos( d- o)= cos a, tan(# o) = tan o.公式三：sin(右 o) = sin a, cos(廣 o) = cos a, tan(n -a )=tanct .公式四:sin( & = sin % cos( o)= cos a, tan (-« 尸-tana .其中的奇、偶是指 萬的奇數(shù) 兀. .誘導(dǎo)公式可概括為 k 2±a的各三角函數(shù)值的化簡公式.口訣：奇變偶不變，符號看象限.倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化.若是奇數(shù)倍，則函數(shù)名稱要變(正弦

6、變余弦，余弦變正弦)；若是偶數(shù)倍,則函數(shù)名稱不變，符號看象限是指：把a看成銳角時，根據(jù)kT±a在哪個象限判斷原三角函數(shù)值的符號，最后作為結(jié)2果符號.B.方法與要點一個口訣1、誘導(dǎo)公式的記憶口訣為，奇變偶不變符號看象限:2、四種方法在求一值與化簡時，常用方法有；弦切互化法;主要利用公式上an,三.宜化成正一余弦，一cos.Oy(2)和一積轉(zhuǎn)換法一:利 用(sin 一 teos _92一三1空sin 一 (cos 一。的關(guān)系進(jìn)行變形一轉(zhuǎn)化.(sin a +cosa > .sin« -cos久，sina cos« 三一個式壬知二國求二)(3)巧用 1” 的變換：1

7、 = sin2 升 cos = sin - =tan2a sin 工; bcos：(4)齊次式化切法：已知tana=k,則a tan 工二 b ak bmsin ： ncos:mtan.工: n mk n三、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1會求三角函數(shù)的定義域、值域2會求三角函數(shù)的周期：定義法，公式法，圖像法(如 y=sinx與y = cosx的周期是n)o3會判斷三角函數(shù)奇偶性4會求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間5知道三角函數(shù)圖像的對稱中心，對稱軸6 知道 y = Asin(6x + 中)，y = Acos(x + 邛)，y = Atan(cox + 平)的簡單性質(zhì)(一) 知識要點梳理1、正弦函數(shù)和余弦函

8、數(shù)的圖象：正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y = cosx圖象的作圖方法：五點法：先取橫坐標(biāo)分別、，八二3 二一- 為0,一,冗，一,2兀的五點，再用光滑的曲線把這五點連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內(nèi)的圖象。222、正弦函數(shù)y=sinx(xWR)、余弦函數(shù)y = cosx(x w R)的性質(zhì)：(1)定義域：都是R。值域：都是1-1,1,3 二對y =sin x ,當(dāng)x = 2kn + k = Z 時，y取最大值1；當(dāng)x = 2k + k匚Z 時，y取最小值一1；22對y=cosx,當(dāng)x = 2kn(kWZ )時，y取最大值1,當(dāng)x = 2kn +n (k w Z )時，y取最小值一

9、1。(3)周期性：y=sinx, y = cosx的最小正周期都是 2n ；(4)奇偶性與對稱性：正弦函數(shù)y =sinx(xw R)是奇函數(shù)，對稱中心是 (knQ'kWZ )，對稱軸是直線x = kn+土(kZ);2( n 、余弦函數(shù)y =cosx(x w R)是偶函數(shù)，對稱中心是.內(nèi)+ ,0 (kZ),對稱軸是直線 x= kn (k w Z );(正(余)2弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心為圖象與x軸的交點)。(5)單調(diào)性：y = sin x仕 一一 2k 二，_ 2-2k- k 2Z件單調(diào)遞增，在j(+2kn,3 + 2kn(kwZ )單調(diào)遞減;y =

10、cosx在I-H +2k%2kn】(k w Z )上單調(diào)遞增，在2kn,2kn十n】(k w Z )上單調(diào)遞減。特別提醒，別忘了 kw Z !3、正切函數(shù)y=tanx的圖象和性質(zhì)：(1)定義域：x | x ¥ 工+kn, k w Z。2(2)值域是R,無最大值也無最小值；(3)奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是,0 keZ ),特別提醒：正(余)切型函數(shù)的對稱中心有兩類：一2類是圖象與x軸的交點，另一類是漸近線與x軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。1( k s Z )內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個定義域上不具有單調(diào)性(4)單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間 1+kn:, +

11、kn224、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)二二2數(shù)y =sin xy =cosxy = tanx圖象yL/ x 22 Jij ykjJJV V00r Ajy J定義域RR兀、4xx#kn +,kwZ 5I2J值域1-1,11-1,1R最值當(dāng)xymax(Z= 2kn +： (k wZ )時，=1 ;當(dāng) x = 2k71 -2工)時，ymin = -1 -當(dāng) x =2kn(kZ )時,ymax = 1 ；當(dāng) x = 2kn 十幾(k)時，ymm“1.既無:最大值也無:最小值周期性2元2n冗奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在卜(k-產(chǎn)(k-n:n -2kn - ,2kn + L22 J工)上是增函數(shù)

12、；在,3 _, 3n 1n+ ,2內(nèi)+22 J工)上是減函數(shù).在3冗-n,2knI(kWZ )上是 增函數(shù)；在【2kn,2kn +n1 (YZ )上是減函數(shù).在.kn 一一 , kH +一122)(kZ )上是增函數(shù).對稱性對稱中心(kn,0 X kwZ ) 對稱軸x = kn +(kw工)對稱中心E +萬,0 (k w Z ) 對稱軸x = kn(kwZ )對稱中心fk- ,0 j（ k Z ）無對稱軸5、研究函數(shù)y = Asin（«>x +中）性質(zhì)的方法：類比于研究y=sinx的性質(zhì)，只需將y = Asin x +中）中的切x +中看成y =sin x中的x。函數(shù)y= As

13、in （ cox+中）（A>0,0）的性質(zhì)。（1）定義域：R（2）值域：-A, A（3）周期性：T =2二 I - I2 二f （x） = Asin（cox +中）和f （x） = Acos（cox +中）的取小正周期都是 T=。I' If （x） =Atan（ox +中）的最小正周期都是 T =工。I，I（4）單調(diào)性：函數(shù) y=Asin （®x+中）（A>0, 8 > 0）的JJT單調(diào)增區(qū)間可由 2k n 二w ox+中w 2kn 十二，kCz解得；3單調(diào)減區(qū)間可由 2k n + w gx+中w 2k n + , k C z斛仔。在求y = Asin（eo

14、x +中）的單調(diào)區(qū)間時，要特別注意A和0的符號，通過誘導(dǎo)公式先將c化正。如函數(shù)y =sin（ 2x +工）的遞減區(qū)間是 3（答： 一2十期'行十時jZ）y=一=sin所以求y的遞減區(qū)間即是求呂如（2工+搟）的遞增區(qū)間，由_ F 2Ajtt嗅 2x1K + 2癡上士 N 得7T37r7T377_3+加T=比 +而 E Z ,所以y的遞減區(qū)間是一行+ 7y + kr伏三Z）四、函數(shù)y =Asin（cex十平）的圖像和二角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用一、 知識要點1、幾個物理量：振幅：A ;周期：T =竺；頻率：f=1 = £_；相位：（ox+9；初相：中. 22 2 二2、函數(shù)y =Asi

15、n（cox十邛）表達(dá)式的確定：A由最值確定；8由周期確定；中由圖象上的特殊點確定.函數(shù)y =Asin（cox+邛）+B ,當(dāng)x =x1時，取得最小值為ymin ；當(dāng)x =x2時，取得最大值為ymax ,則1 _1ym ax y min 一 ymax y min x2 x1 x1 x22 ,2,23 二3、函數(shù)y =Asin（ox+中）圖象的回法： 五點法 設(shè) X =0義+中，令X = 0,一,江，,2冗求出相應(yīng)的x值,229計算得出五點的坐標(biāo)，描點后得出圖象；圖象變換法：這是作函數(shù)簡圖常用方法。4、函數(shù)y= sinx的圖象經(jīng)變換可得到 y = Asin（6x +中）（口0）的圖象y=sinx*

16、 y=sinx橫坐標(biāo)ry伸（縮）_1倍埔左（右）平移= sin x左（右）伸（縮）A倍平移0y =sin(cox + 91) 歲| 標(biāo) ，伸(縮)A倍y = Asin x左（右）平移但橫'標(biāo)y = sin （ox +中） 縱坐標(biāo)伸（縮），倍伸（縮）A倍0 y =Asin x :»y =sin x伸(縮)A 赤 y.inxT)縱坐標(biāo)橫坐標(biāo),一中，、伸（縮）一倍縱坐標(biāo)y、= Asinx 伸（縮）Ay=sinx橫坐標(biāo)A y = Asin x-1 、伸（縮）L倍0左（右）平移一co左（右）y = Asin（x +中） 橫坐標(biāo)）伸（縮）1倍co5、函數(shù)y = Asin（cox +中）+

17、b的圖象與y=sinx圖象間的關(guān)系：函數(shù)y =sin x的圖象向左（中0）或向右（邛0） 1 一.平移|中|個單位得y =sin （x +邛）的圖象；函數(shù) y =sin（x +平）圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊?，得到函?shù)y =sin（ox +中）的圖象；函數(shù)y=sin（sx+中）圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)y = Asin（cox +邛）的圖象；函數(shù) y = Asin（切x +平）圖象向上（b0）或向下（b0）平移|b|個單位，得到 y = Asin （cox +中）+b 的圖象。,_ , 邛，、要特別注意，若由y =sin（©x ）得到y(tǒng)=sin（ox+中

18、）的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移| |個單位，如要得到函數(shù)y=sin（2x：）的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象（）3（A）向左平移 3個單位 （B）向右平移3個單位（C）向左平移6個單位 （D）向右平移6個單位6、函數(shù)y= Acos （sx+*和y=Atan （ox+叼的性質(zhì)和圖象的變換與y= Asin （ccx+中）類似。三角色等變換1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：(1) cos(a + c 戶 cos久 cosP sin a sin 口 ； cos a B ) = cost cosP +sina sin P ； sin(a + P )=sina cosB+cosasin 口 ；

19、 sin(a - B )=sina cos口-cosa sin 口 ； tan(口 十口)=匕儀 tan： 0( tan2+tanP =tan("+P XltantanP )；1 - tan 二 tan -tan i："tan 二 一tan -1 tan 二 tan !(tana -tanP =tan(a -P /l + tana tanP).如 tan20o +tan40o + V3tan20o tan40o =；(答案：V3 )2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：22、25（答案：5 ） sin2a =2sinot coset . =1±sin2a=sin a

20、+ cos a ± 2sin a cosa = (sina ± cosa)如 ©。一會 + cos212 + cos cosy2 的值等于 2 222 cos2 二二 cos-sin 二二2cos 二一1 二1 一2sin 二22二升帚公式 1 +cos2o( =2cos a,1 -cos2a =2sin a.21 -cos2：sin ;二2一、21 cos 2：二降帚公式cos u =,2tan 2 二二2 tan ;2, _ 21 - tan3、二弦歸一二把兩個三角函數(shù)的和或差化為一個三角函數(shù):asinH +bcos!9 = Ja2 +b2 sin(日 + 牛

21、),其中 tan邛=-. a4、三角變換時運算化簡的過程中運用較多的變換，靈活運用三角公式，掌握運算化簡的方法.常用的方法技巧如下： （1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補, 互余的關(guān)系，尋找條件與結(jié)論中角的關(guān)系，運用角的變換，使問題獲解，對角的變形如：ototot2a是U的二倍； 綱 是2c(的二倍；a是一的二倍； 一是一的二倍；224JTJI 15o =45。-30o=60o45°；問：sin 二=； cos =；1212 a =(ct + P) _ P ；+ct =- -(- -a); 2汽=(ct + P )十

22、(ct 口)=(二十a(chǎn) ) J a)；等等.42444.c 2n 1 1 一. n 、3如1 tan(豆 + P )= ,tan . P - 1二一，則 tan | 口 + J= .(答案： 一)5l4)4l4j22c3 兀,c cca 3< Tt, 2 V a+ 3< 2 為 則 cos2 a=,cos2 3=一 44兀2右 cos( a+ =, cos( a 3 = £ ,且 J <552（答案：275, 1）,sin 二 cos：:2 -：_（答案:3已知=1,tan 一 口)=,則 tan( P -2()=1 -cos2=3（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通?；袨橄?變