初二數(shù)學矩形菱形正方形歸類復習

1、初二數(shù)學矩形菱形正方形1矩形的定義和性質(zhì)(1)矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形矩形的定義有兩個要素：是平行四邊形；有一個角是直角兩者缺一不可(2)矩形的性質(zhì)：矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)矩形的四個角都是直角如圖，在矩形ABCD中，ABC90°，又由鄰角互補、對角相等可得BADADCDCBABC90°推理形式為：四邊形ABCD是矩形，BADABCBCDCDA90°.矩形的對角線相等如上圖，在矩形ABCD中，ABDC，ABCBCD90°，BC為公共邊，可得ABCDCB.從而證得ACBD.其推理形式為：四邊形ABCD是矩形，ACBD.矩形既是中心

2、對稱圖形(對稱中心是對角線的交點)(204節(jié)講到)，又是軸對稱圖形(有兩條對稱軸)“矩形的四個角都是直角這一性質(zhì)可用來證明兩條線段互相垂直或角相等，“矩形的對角線相等這一性質(zhì)可用來證明線段相等矩形的兩條對角線分矩形為面積相等的四個等腰三角形【例1】如下圖，在矩形ABCD中，CAD30°，CD5 cm，求矩形ABCD的周長(精確到0.1)解：連接BD交AC于點O.在矩形ABCD中，ABCD，ADBC.ADC90°，CAD30°，AC2CD10(cm)在RtADC中，AD8.66(cm)ABBCCDDA2(ADDC)2×(8.665)27.3(cm)矩形AB

3、CD的周長約為27.3 cm.2直角三角形的一個性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半如下圖，由矩形的對角線相等可知，ACBD.又因為矩形的對角線互相平分，所以OAOCAC，OBODBD.所以OAOBOCOD.所以在RtABC中，斜邊上的中線OBAC.直角三角形的這一性質(zhì)與兩銳角互余、勾股定理、30°角所對的直角邊等于斜邊的一半都是直角三角形的重要性質(zhì)這一性質(zhì)常常用來證明線段的倍分關系【例2】如圖，BD，CE是ABC的兩條高，G，F(xiàn)分別是BC，DE的中點，求證：FGDE.分析：有三角形的高就會出現(xiàn)直角三角形，有中點就可以聯(lián)想到直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明：連接E

4、G，DG.因為BD，CE是ABC的兩條高，所以BDC和BEC都是直角三角形又因為G是BC的中點，所以DGBCEG，即GDE是等腰三角形因為F是DE的中點，所以GF是等腰三角形GDE的底邊DE上的中線所以GF是底邊DE上的高所以FGDE.3矩形的判定(1)定義法：有一個角是直角的平行四邊形是矩形(2)方法一：對角線相等的平行四邊形是矩形(3)方法二：有三個角是直角的四邊形是矩形矩形的定義也是矩形判定方法中的一個矩形的判定可用下列圖表示：用定義判定一個四邊形是矩形必須具備兩個條件：一是有一個角是直角；二是平行四邊形也就是說有一個角是直角的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形這個條件，它才是矩形

5、用方法一判定一個四邊形是矩形，也必須滿足兩個條件：一是對角線相等；二是平行四邊形也就是說，兩條對角線相等的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形這個條件，它才是矩形【例3】如下圖，在四邊形ABCD中，BEDF，AC與EF互相平分于點O，B90°.求證：四邊形ABCD是矩形分析：此題要證四邊形ABCD是矩形，要先證它是平行四邊形，而要證明它是平行四邊形，應結合條件確定適宜的判定方法，即具體情況具體分析證明：連接AF，CE.EF和AC互相平分，四邊形AECF是平行四邊形ABCD，CFAE.又DFBE，ABCD.四邊形ABCD是平行四邊形B90°，四邊形ABCD是矩形4菱形的定

6、義有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形如圖，當把平行四邊形的一條邊平移后，使鄰邊相等，平行四邊形就變成了菱形菱形是特殊的平行四邊形，但平行四邊形不一定是菱形.菱形必須滿足兩個條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等菱形的定義既是菱形的根本性質(zhì)，也是菱形的判定方法【例4】如圖，在ABC中，CD是ACB的平分線，DEAC，DFBC，四邊形DECF是菱形嗎？試說明理由分析：由菱形的定義去判定，由DEAC，DFBC可得四邊形DECF是平行四邊形，再由12，證得鄰邊相等即可解：四邊形DECF是菱形理由：DEAC，DFBC，四邊形DECF是平行四邊形CD平分ACB，12.DFBC，23.13，CFDF.四邊形D

7、ECF是菱形5菱形的性質(zhì)菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，除此之外它也具有自己特殊的性質(zhì)：(1)菱形的四條邊都相等；(2)菱形的兩條對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角；(3)菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸即每條對角線所在的直線；(4)菱形的面積等于對角線乘積的一半由于菱形對角線互相垂直平分，故菱形可被兩條對角線分成四個全等的直角三角形，這樣容易與勾股定理聯(lián)系起來；菱形的面積除了用對角線計算之外，也可以用底乘以高來計算即菱形的面積有兩種求法【例5】如下圖，在菱形ABCD中，兩條對角線AC6，BD8，那么此菱形的邊長為()A5 B6 C8 D10解析：設AC，BD相交于點O，因為菱形的對角線互

8、相垂直且平分，所以AO3，BO4，根據(jù)勾股定理，AB5.答案：A6菱形的判定(1)定義法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(2)方法一：四邊都相等的四邊形是菱形(3)方法二：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形菱形的判定方法可用下列圖表示：判定一個四邊形是菱形時，一定要注意判定前提，即在什么條件下判定假設在四邊形的條件下判定，那么可證其四邊相等，也可先判定其是平行四邊形，再證一組鄰邊相等或對角線互相垂直；假設在平行四邊形的條件下判定，那么證其一組鄰邊相等或對角線互相垂直即可【例6】如下圖，ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別相交于點E，F(xiàn).求證：四邊形AFCE是菱形證明：因為四邊形AB

9、CD是平行四邊形，所以ADBC.所以EAOFCO，AEOCFO.又EF是AC的垂直平分線，所以OAOC.所以AOECOF.所以OEOF.所以AC與EF互相垂直平分所以四邊形AFCE是菱形7正方形的定義有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形正方形與矩形、菱形的關系可用下列圖表示：正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四邊形是正方形；正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是特殊的矩形，還是特殊的菱形【例7】如下圖，ABC中，ABC90°，BD平分ABC，DEBC，DFAB，求證：四邊形BEDF是正方形證明：ABC90°，DEBC

10、，DEAB.同理可得DFBC.四邊形BEDF是平行四邊形BD平分ABC，DEBC，DFAB，DEDF.四邊形BEDF是菱形又ABC90°，四邊形BEDF是正方形8正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的所有的性質(zhì)(1)邊的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，對邊平行，鄰邊垂直；(2)角的性質(zhì)：正方形的四個角都是直角；(3)對角線的性質(zhì)：正方形的對角線互相垂直平分且相等，并且每條對角線平分一組對角正方形還有特殊性質(zhì)：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸【例8】如下圖，A，B，C三點

11、在同一條直線上，AB2BC，分別以AB，BC為邊作正方形ABEF和正方形BCMN，連接FN，EC.求證：FNEC.證明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，ABBEEF，BCBN，F(xiàn)ENEBC90°.因為AB2BC，所以ENBC.所以FNEECB.所以FNEC.9正方形的判定(1)一組鄰邊相等的矩形是正方形；(2)有一個角是直角的菱形是正方形；(3)有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形；(4)既是矩形又是菱形的四邊形是正方形判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證明它是矩形，再證它有一組鄰邊相等；先證明它是菱形，再證它有一個角是直角【例9】如下圖，AB

12、CD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上的點，且ACE是等邊三角形假設AED2EAD.求證：四邊形ABCD是正方形證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AOCO.又因為ACE是等邊三角形，所以EOAC，即DBAC.所以平行四邊形ABCD是菱形因為ACE是等邊三角形，所以AEC60°.所以AEOAEC30°.因為AED2EAD，所以EAD15°.所以ADOEADAED45°.因為四邊形ABCD是菱形，所以ADC2ADO90°.所以四邊形ABCD是正方形10矩形、菱形、正方形性質(zhì)的綜合運用矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，所以矩

13、形、菱形、正方形具有平行四邊形的所有性質(zhì)應從邊、角、對角線三個方面區(qū)分它們的性質(zhì)：(1)從邊的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對邊平行且相等的性質(zhì)，而菱形和正方形還具有四條邊相等的性質(zhì)；(2)從角的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對角相等且鄰角互補的性質(zhì)，而矩形和正方形還具有四個角都等于90°的性質(zhì)；(3)從對角線的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對角線互相平分的性質(zhì)，而矩形和正方形的對角線還具有相等的性質(zhì)，菱形和正方形的對角線還具有互相垂直的性質(zhì)【例10】如圖，在正方形ABCD中，E為對角線AC上一點，連接EB，ED.(1)求證：BECDEC；(2)延

14、長BE交AD于點F，假設DEB140°.求AFE的度數(shù)(1)證明：四邊形ABCD是正方形，CDCB，DCABCA.CECE，BECDEC.(2)解：DEB140°，BECDEC，DECBEC70°，AEFBEC70°.DAB90°，DACBAC45°，AFE180°70°45°65°.11矩形、菱形、正方形判定的綜合運用幾種特殊平行四邊形的判定方法可用下列圖表示：正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，當平行四邊形的一個內(nèi)角變?yōu)橹苯菚r(角特殊化了)，平行四邊形變成矩形；當平行四邊形的鄰邊變?yōu)橄嗟?/p>

15、時(邊特殊化了)，平行四邊形變成菱形；當平行四邊形的一個內(nèi)角變?yōu)橹苯?，一組鄰邊變?yōu)橄嗟葧r(角、邊均特殊化了)，平行四邊形變?yōu)檎叫巍纠?1】如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC和CD上，AEAF.(1)試說明BEDF的理由；(2)連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OMOA，連接EM，F(xiàn)M.判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并說明你的理由解：(1)因為四邊形ABCD是正方形，所以ABAD，BD90°.因為AEAF，所以RtABERtADF.所以BEDF.(2)四邊形AEMF是菱形因為四邊形ABCD是正方形，所以BCADCA45°，BCDC.因為BEDF，所以B

16、CBEDCDF.即CECF.又OC為公共邊，EOCFOC.所以OEOF.因為OMOA，所以四邊形AEMF是平行四邊形因為AEAF，所以平行四邊形AEMF是菱形12特殊四邊形的探究題平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定的綜合探究題在中考中常出現(xiàn)它還能與其他知識綜合考查，如等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)等知識點，綜合運用性質(zhì)和判定進行推理是解此類題的關鍵矩形、菱形、正方形問題在中考中的比重近年來有加大的趨勢，不但有選擇題、填空題、解答題，也有探究型、開放型試題解答此類問題，要在牢記矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定、弄清它們的特性和共性的根底上，分析圖形特征，選擇適當

17、的方法譬如解答正方形問題時，由于正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，所以當證明一些與線段有關的問題時，可以借助旋轉或平移實現(xiàn)線段的移位，在正方形中這種移位非常地巧妙、自然，比作其他類型的輔助線要來的簡捷、順暢_【例12】以四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA為斜邊分別向外側作等腰直角三角形，直角頂點分別為E，F(xiàn)，G，H，順次連接這四個點，得四邊形EFGH.(1)如圖，當四邊形ABCD為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖，當四邊形ABCD為矩形時，請判斷四邊形EFGH的形狀(不要求證明)；(2)如圖，當四邊形ABCD為一般平行四邊形時，設ADC(0°90°)試用含的代數(shù)式表示HAE；求證：HEHG；四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由解：(1)四邊形EFGH的形狀是正方形(2)HAE90°.在ABCD中，ABCD，BAD180°ADC180°.HAD和EAB是等腰直角三角形，HADEAB45°.HAE360°HADEABBAD360°45°45°(180&