初二數(shù)學(xué)矩形菱形正方形歸類復(fù)習(xí)

1、初二數(shù)學(xué)矩形菱形正方形1矩形的定義和性質(zhì)(1)矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形矩形的定義有兩個(gè)要素：是平行四邊形；有一個(gè)角是直角兩者缺一不可(2)矩形的性質(zhì)：矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)矩形的四個(gè)角都是直角如圖，在矩形ABCD中，ABC90°，又由鄰角互補(bǔ)、對(duì)角相等可得BADADCDCBABC90°推理形式為：四邊形ABCD是矩形，BADABCBCDCDA90°.矩形的對(duì)角線相等如上圖，在矩形ABCD中，ABDC，ABCBCD90°，BC為公共邊，可得ABCDCB.從而證得ACBD.其推理形式為：四邊形ABCD是矩形，ACBD.矩形既是中心

2、對(duì)稱圖形(對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn))(204節(jié)講到)，又是軸對(duì)稱圖形(有兩條對(duì)稱軸)“矩形的四個(gè)角都是直角這一性質(zhì)可用來(lái)證明兩條線段互相垂直或角相等，“矩形的對(duì)角線相等這一性質(zhì)可用來(lái)證明線段相等矩形的兩條對(duì)角線分矩形為面積相等的四個(gè)等腰三角形【例1】如下圖，在矩形ABCD中，CAD30°，CD5 cm，求矩形ABCD的周長(zhǎng)(精確到0.1)解：連接BD交AC于點(diǎn)O.在矩形ABCD中，ABCD，ADBC.ADC90°，CAD30°，AC2CD10(cm)在RtADC中，AD8.66(cm)ABBCCDDA2(ADDC)2×(8.665)27.3(cm)矩形AB

3、CD的周長(zhǎng)約為27.3 cm.2直角三角形的一個(gè)性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半如下圖，由矩形的對(duì)角線相等可知，ACBD.又因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線互相平分，所以O(shè)AOCAC，OBODBD.所以O(shè)AOBOCOD.所以在RtABC中，斜邊上的中線OBAC.直角三角形的這一性質(zhì)與兩銳角互余、勾股定理、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半都是直角三角形的重要性質(zhì)這一性質(zhì)常常用來(lái)證明線段的倍分關(guān)系【例2】如圖，BD，CE是ABC的兩條高，G，F(xiàn)分別是BC，DE的中點(diǎn)，求證：FGDE.分析：有三角形的高就會(huì)出現(xiàn)直角三角形，有中點(diǎn)就可以聯(lián)想到直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明：連接E

4、G，DG.因?yàn)锽D，CE是ABC的兩條高，所以BDC和BEC都是直角三角形又因?yàn)镚是BC的中點(diǎn)，所以DGBCEG，即GDE是等腰三角形因?yàn)镕是DE的中點(diǎn)，所以GF是等腰三角形GDE的底邊DE上的中線所以GF是底邊DE上的高所以FGDE.3矩形的判定(1)定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形(2)方法一：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形(3)方法二：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形矩形的定義也是矩形判定方法中的一個(gè)矩形的判定可用下列圖表示：用定義判定一個(gè)四邊形是矩形必須具備兩個(gè)條件：一是有一個(gè)角是直角；二是平行四邊形也就是說(shuō)有一個(gè)角是直角的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形這個(gè)條件，它才是矩形

5、用方法一判定一個(gè)四邊形是矩形，也必須滿足兩個(gè)條件：一是對(duì)角線相等；二是平行四邊形也就是說(shuō)，兩條對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形這個(gè)條件，它才是矩形【例3】如下圖，在四邊形ABCD中，BEDF，AC與EF互相平分于點(diǎn)O，B90°.求證：四邊形ABCD是矩形分析：此題要證四邊形ABCD是矩形，要先證它是平行四邊形，而要證明它是平行四邊形，應(yīng)結(jié)合條件確定適宜的判定方法，即具體情況具體分析證明：連接AF，CE.EF和AC互相平分，四邊形AECF是平行四邊形ABCD，CFAE.又DFBE，ABCD.四邊形ABCD是平行四邊形B90°，四邊形ABCD是矩形4菱形的定

6、義有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形如圖，當(dāng)把平行四邊形的一條邊平移后，使鄰邊相等，平行四邊形就變成了菱形菱形是特殊的平行四邊形，但平行四邊形不一定是菱形.菱形必須滿足兩個(gè)條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等菱形的定義既是菱形的根本性質(zhì)，也是菱形的判定方法【例4】如圖，在ABC中，CD是ACB的平分線，DEAC，DFBC，四邊形DECF是菱形嗎？試說(shuō)明理由分析：由菱形的定義去判定，由DEAC，DFBC可得四邊形DECF是平行四邊形，再由12，證得鄰邊相等即可解：四邊形DECF是菱形理由：DEAC，DFBC，四邊形DECF是平行四邊形CD平分ACB，12.DFBC，23.13，CFDF.四邊形D

7、ECF是菱形5菱形的性質(zhì)菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，除此之外它也具有自己特殊的性質(zhì)：(1)菱形的四條邊都相等；(2)菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；(3)菱形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸即每條對(duì)角線所在的直線；(4)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半由于菱形對(duì)角線互相垂直平分，故菱形可被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，這樣容易與勾股定理聯(lián)系起來(lái)；菱形的面積除了用對(duì)角線計(jì)算之外，也可以用底乘以高來(lái)計(jì)算即菱形的面積有兩種求法【例5】如下圖，在菱形ABCD中，兩條對(duì)角線AC6，BD8，那么此菱形的邊長(zhǎng)為()A5 B6 C8 D10解析：設(shè)AC，BD相交于點(diǎn)O，因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互

8、相垂直且平分，所以AO3，BO4，根據(jù)勾股定理，AB5.答案：A6菱形的判定(1)定義法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(2)方法一：四邊都相等的四邊形是菱形(3)方法二：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形菱形的判定方法可用下列圖表示：判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，一定要注意判定前提，即在什么條件下判定假設(shè)在四邊形的條件下判定，那么可證其四邊相等，也可先判定其是平行四邊形，再證一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；假設(shè)在平行四邊形的條件下判定，那么證其一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直即可【例6】如下圖，ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：四邊形AFCE是菱形證明：因?yàn)樗倪呅蜛B

9、CD是平行四邊形，所以ADBC.所以EAOFCO，AEOCFO.又EF是AC的垂直平分線，所以O(shè)AOC.所以AOECOF.所以O(shè)EOF.所以AC與EF互相垂直平分所以四邊形AFCE是菱形7正方形的定義有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形正方形與矩形、菱形的關(guān)系可用下列圖表示：正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個(gè)角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四邊形是正方形；正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是特殊的矩形，還是特殊的菱形【例7】如下圖，ABC中，ABC90°，BD平分ABC，DEBC，DFAB，求證：四邊形BEDF是正方形證明：ABC90°，DEBC

10、，DEAB.同理可得DFBC.四邊形BEDF是平行四邊形BD平分ABC，DEBC，DFAB，DEDF.四邊形BEDF是菱形又ABC90°，四邊形BEDF是正方形8正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的所有的性質(zhì)(1)邊的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，對(duì)邊平行，鄰邊垂直；(2)角的性質(zhì)：正方形的四個(gè)角都是直角；(3)對(duì)角線的性質(zhì)：正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角正方形還有特殊性質(zhì)：正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸【例8】如下圖，A，B，C三點(diǎn)

11、在同一條直線上，AB2BC，分別以AB，BC為邊作正方形ABEF和正方形BCMN，連接FN，EC.求證：FNEC.證明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，ABBEEF，BCBN，F(xiàn)ENEBC90°.因?yàn)锳B2BC，所以ENBC.所以FNEECB.所以FNEC.9正方形的判定(1)一組鄰邊相等的矩形是正方形；(2)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；(3)有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形；(4)既是矩形又是菱形的四邊形是正方形判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證明它是矩形，再證它有一組鄰邊相等；先證明它是菱形，再證它有一個(gè)角是直角【例9】如下圖，AB

12、CD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是BD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且ACE是等邊三角形假設(shè)AED2EAD.求證：四邊形ABCD是正方形證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AOCO.又因?yàn)锳CE是等邊三角形，所以EOAC，即DBAC.所以平行四邊形ABCD是菱形因?yàn)锳CE是等邊三角形，所以AEC60°.所以AEOAEC30°.因?yàn)锳ED2EAD，所以EAD15°.所以ADOEADAED45°.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ADC2ADO90°.所以四邊形ABCD是正方形10矩形、菱形、正方形性質(zhì)的綜合運(yùn)用矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，所以矩

13、形、菱形、正方形具有平行四邊形的所有性質(zhì)應(yīng)從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面區(qū)分它們的性質(zhì)：(1)從邊的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，而菱形和正方形還具有四條邊相等的性質(zhì)；(2)從角的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對(duì)角相等且鄰角互補(bǔ)的性質(zhì)，而矩形和正方形還具有四個(gè)角都等于90°的性質(zhì)；(3)從對(duì)角線的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，而矩形和正方形的對(duì)角線還具有相等的性質(zhì)，菱形和正方形的對(duì)角線還具有互相垂直的性質(zhì)【例10】如圖，在正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接EB，ED.(1)求證：BECDEC；(2)延

14、長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，假設(shè)DEB140°.求AFE的度數(shù)(1)證明：四邊形ABCD是正方形，CDCB，DCABCA.CECE，BECDEC.(2)解：DEB140°，BECDEC，DECBEC70°，AEFBEC70°.DAB90°，DACBAC45°，AFE180°70°45°65°.11矩形、菱形、正方形判定的綜合運(yùn)用幾種特殊平行四邊形的判定方法可用下列圖表示：正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，當(dāng)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角變?yōu)橹苯菚r(shí)(角特殊化了)，平行四邊形變成矩形；當(dāng)平行四邊形的鄰邊變?yōu)橄嗟?/p>

15、時(shí)(邊特殊化了)，平行四邊形變成菱形；當(dāng)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角變?yōu)橹苯?，一組鄰邊變?yōu)橄嗟葧r(shí)(角、邊均特殊化了)，平行四邊形變?yōu)檎叫巍纠?1】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC和CD上，AEAF.(1)試說(shuō)明BEDF的理由；(2)連接AC交EF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)OC至點(diǎn)M，使OMOA，連接EM，F(xiàn)M.判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并說(shuō)明你的理由解：(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以ABAD，BD90°.因?yàn)锳EAF，所以RtABERtADF.所以BEDF.(2)四邊形AEMF是菱形因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以BCADCA45°，BCDC.因?yàn)锽EDF，所以B

16、CBEDCDF.即CECF.又OC為公共邊，EOCFOC.所以O(shè)EOF.因?yàn)镺MOA，所以四邊形AEMF是平行四邊形因?yàn)锳EAF，所以平行四邊形AEMF是菱形12特殊四邊形的探究題平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定的綜合探究題在中考中常出現(xiàn)它還能與其他知識(shí)綜合考查，如等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此類題的關(guān)鍵矩形、菱形、正方形問(wèn)題在中考中的比重近年來(lái)有加大的趨勢(shì)，不但有選擇題、填空題、解答題，也有探究型、開(kāi)放型試題解答此類問(wèn)題，要在牢記矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定、弄清它們的特性和共性的根底上，分析圖形特征，選擇適當(dāng)

17、的方法譬如解答正方形問(wèn)題時(shí)，由于正方形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，所以當(dāng)證明一些與線段有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，可以借助旋轉(zhuǎn)或平移實(shí)現(xiàn)線段的移位，在正方形中這種移位非常地巧妙、自然，比作其他類型的輔助線要來(lái)的簡(jiǎn)捷、順暢_【例12】以四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G，H，順次連接這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH.(1)如圖，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀(不要求證明)；(2)如圖，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)ADC(0°90°)試用含的代數(shù)式表示HAE；求證：HEHG；四邊形EFGH是什么四邊形？并說(shuō)明理由解：(1)四邊形EFGH的形狀是正方形(2)HAE90°.在ABCD中，ABCD，BAD180°ADC180°.HAD和EAB是等腰直角三角形，HADEAB45°.HAE360°HADEABBAD360°45°45°(180&