(完整版)隨機(jī)過程習(xí)題

1、隨機(jī)過程復(fù)習(xí)、回答:1、什么是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程？2、平穩(wěn)隨機(jī)過程白相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系？3、窄帶隨機(jī)過程的相位服從什么分布？包絡(luò)服從什么分布？4、什么是白噪聲？性質(zhì)？二、計(jì)算：1、隨機(jī)過程X(t)Acost+Bsint,其中是常數(shù)，A、B是相互獨(dú)立統(tǒng)計(jì)的高斯變量，并且EA=EB=0,EA2=EB2=2。求：X(t)的數(shù)學(xué)期望和白相關(guān)函數(shù)？2、判斷隨機(jī)過程X(t)Acos(t)是否平穩(wěn)？其中是常數(shù)，A、分別為均勻分布和瑞利分布的隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立。a-1a尸-f()02；fA(a)e2a023、求隨機(jī)相位正弦函數(shù)X(t)Acos(0t)的功率譜密度，其中A、0是常數(shù)，為0,2內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變

2、量。4、求用X(t)白相關(guān)函數(shù)及功率譜表示的Y(t)X(t)cos(0t)的白相關(guān)函數(shù)及譜密度。其中，為0,2內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，X(t)是與相互獨(dú)立的隨機(jī)過程。5、設(shè)隨機(jī)過程X(t)Acos(0tY),t，其中0是常數(shù)，A與Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，Y服從區(qū)間(0,2)上的均勻分布，A服從瑞利分布，其概率密度為x.EAEcos(0t1Y)cos(xfA(x)*試證明X(t)為寬平穩(wěn)過程。解:(1)mx(t)EAcos(otY)E(A)E(cos(otY)2x2x獰刀e2dx20cos(0ty)dy0與t無關(guān)(2)X(t)EX2(t)EAcos(0tY)2E(A2)Ecos2(0tY)E(A2

3、)E(A2)dxtTetetI0tdtI0所以X(t)EX2(t)(3)Rx(ti,t2)EAcos(0t1Y)Acos(0t2Y)0t2Y)1,cos(0t10t2y)cos0仕22cos0(t2t1)只與時(shí)間間隔有關(guān),所以X(t)為寬平穩(wěn)過程。6、設(shè)隨機(jī)過程X(t)RtC,t(0,),C為常數(shù)，R服從0,1區(qū)間上的均勻分布。(1) 求X(t)的一維概率密度和一維分布函數(shù)；(2) 求X(t)的均值函數(shù)、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。【理論基礎(chǔ)】-,axba，0,其他(1)F(x)Xf(t)dt，則f(t)為密度函數(shù);(2)X(t)為(a,b)上的均勻分布，概率密度函數(shù)f(x)分布函數(shù)F(x)0,xx

4、a,aba1,xE(x)，D(x)(ba)2.12'(3)參數(shù)為的指數(shù)分布,概率密度函數(shù)f(x)e0,x,x0F(x)xe,x0,x00,E(x)1D(x)-；E(x),D(x)正態(tài)分密度函數(shù)(xf(x)F(x)1x(2e2dt,1時(shí),其為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。(1)因R為0,1上的均勻分布，C為常數(shù)，故X(t)亦為均勻分布。由0,xCp,CXCt；1,xCtR的取值范圍可知，X(t)為C,Ct上的均勻分布，因此其一維概率密1度f(x)t,x，一維分布函數(shù)F(x)0,其他(2)根據(jù)相關(guān)定義，均值函數(shù)mX(t)EX(t):1C9相美函效RX(s,t)EX(s)X(t)-st-(st)C2;里(當(dāng)

5、st時(shí)為方差1232mx(s)X(t)mx(t)協(xié)方差函數(shù)BX(s,t)EX(s)函數(shù))X(t)Xcos2t,t(,),X是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。試求數(shù)學(xué)期望E(Xt),方差D(Xt),相關(guān)函數(shù)Rx(t1,t2),協(xié)方差0x(")。解：因?yàn)閄(t)Xcos2t,t(),XN(0,1),E(X)0,D(X)E(X12)1,E(Xt)E(Xcos2t)cos2tE(X)0,(2)2D(Xt)D(Xcos2t)cos22t2D(X)cos22t,(2)Rx(t1,t2)EX(t1)X(t2)EXcos2tXcos2tcos22t,(2)Cx(ti,t2)Rx(ti,t2)E(ti)E(t

6、2)Rx(ti,t2)cos22t.(2)8、有隨機(jī)過程(t),-<t<和(t),-<t<，設(shè)(t)=Asin(t+),(t)=Bsin(t+),其中A,B,為實(shí)常數(shù)，均勻分布于02,試求R(s,t)1.解：f土00,其它Rs,tE2Asin0sBsin1HgTdcoscost一ABcosts2s,t9、隨機(jī)過程（t）=Acos（t+）,-<t<+，其中A,是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量，EA=2,DA=4,是在-5,5上均勻分布的隨機(jī)變量,是在-,上均勻分布的隨機(jī)變量試分析（t）的平2、解：mtEtEAcostEAEcostd穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。2dcost205

7、def0m,tRt,tEttEAcostAcostEA2Ecostcost8205-d5costcostd8405-d5coscos2t2d85cos5d4sin5def口20R5所以具有平穩(wěn)性。1TtlimAcos-T2TTdtTlimA.sinTTcos0故均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。1TlimAcostTATtTlimcostT2TtAcoscostdtdtcos故相關(guān)函數(shù)不具有各態(tài)歷經(jīng)性。三、分析求證1、已知隨機(jī)過程X(t)Acos(t),為0,2內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量，A可能是常數(shù)、時(shí)間函數(shù)或隨機(jī)變量。A滿足什么條件時(shí)，X(t)是各態(tài)歷經(jīng)過程？2、某商店顧客的到來服從強(qiáng)度為4人每小時(shí)的Pois

8、son過程，已知商店9:00開門，試求：(1)在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率;(2)若已知開門半小時(shí)中無顧客到來，那么在未來半小時(shí)中，仍無顧客到來的概率。N(t)是參數(shù)為的3、解：設(shè)顧客到來過程為N(t),t>=0,依題意Poisson過程。(1)在開門半小時(shí)中，無顧客到來的概率為：1412PN0ePN(1)N-2e22(2)在開門半小時(shí)中無顧客到來可表示為0,在未來半小時(shí)仍無顧客到來可表示為,從而所求概率為:10|N-210|N-21PN(1)N-21PN(1)N-23、某商場(chǎng)為調(diào)查顧客到來的客源情況,考察了男女顧客來商場(chǎng)的人數(shù)。假設(shè)男女顧客來商場(chǎng)的人數(shù)分別獨(dú)立地服從每分鐘2人與每分

9、鐘3人的泊松過程(1) 試求到某時(shí)刻t時(shí)到達(dá)商場(chǎng)的總?cè)藬?shù)的分布；(2) 在已知t時(shí)刻以有50人到達(dá)的條件下，試求其中恰有30位婦女的概率，平均有多少個(gè)女性顧客？解：設(shè)N(t),Ni(t),N2(t)分別為(0,t)時(shí)段內(nèi)到達(dá)商場(chǎng)的男顧客數(shù)、女顧客數(shù)及總?cè)藬?shù)。(1)由已知，Ni(t)為強(qiáng)度12的泊松過程，N2(t)為強(qiáng)度23的泊松過程；故，N(t)為強(qiáng)度i25的泊松過程；于是，P(N(t)k)(5te5tk0,1,2,L(5分)(2)P(N2(t)30N(t)50)P(N2(t)30,N(t)50)P(N(t)50)P(N2(t)30)P(NJt)20)P(N(t)50)303t202t(3t)e/30!(2t)e/20!303t202t(3t