1.3空間向量及其運算的坐標表示(解析版)

1、13空間向量及其運算的坐標表示一、選擇題1. 在空間直角坐標系O-xyz中，點A(2,-1,3)關(guān)于y勿平面對稱的點的坐標是()A.(2,1,3)B.(-2,-1,3)C.(2,1,-3)D.(2,-1,-3)【答案】B【解析】在空間直角坐標系0-xyz中，點A(2,-1,3)關(guān)于yOz平而對稱的點的坐標是(-2, -1,3)2.已知點3(23,1),向量麗=(一3,5,2),則點A坐標是()A.(123)B(一L23)C.(-5.81)D.(x-8,-1)【答案】D【解析】設(shè)點則向&J3=(2-x,-3-y,l-z)=(-3lS2>x=5=>y=-82=1所以點A(5,-

2、a-1).故選：D2-x=-3所以_3y=5.l-z=23. 在空間直角坐標系O-xyz中,0(0,0,0),E(2>/1,0,0)/(0,2710)，B為EF的中點,C_1為空間一點且滿足ICO1=1CB1=3,若cos<EF,BC>=,則O(J-()6A.9B.7C.5D.3【答案】D【解析】設(shè)C(x,y,Z),OC=(x,y,z)t無=(x-JJ,)，一JJ,z)，EF=(-2,272,0),由EFBC(2>/2,2>/2i0')-(xy/2,y>/2,z)1c°s酉畔=回河=6，整理可得：工一)，=一與，由ICOI=ICZ?I=3,

3、得y/77=(x+(y_很)2,化簡2得x+y=以上方程組聯(lián)立得A=，則4'4OC.OF=3y,z)-(0,272,0)=2>/2y=3.4. 已知方=(1,2,3),商=(2,1,2),漩=(1,1,2),點。在直線OF上運動，則當成因取得最小值時，點。的坐標為()(1,羅B.<44芝、C.58、D.133；<333)133；【333)【答案】B【解析】設(shè)Q(x,y,z),則弛=(x”,z)，因為點。在直線OP上運動，所以而死,所以=.即)'=*,z=2x'所以O(shè)Q=(x,x,2x).所以112力=(瓦一函)(而一函)=(l_x,2_x,3_2x)(

4、2_x,l_x,22x)=(1x)(2x)+(2x)(lX)+(32x)(22x)-164=6x2-16x+10，所以當x=-=-時，QAQB取得最小值，此時點。的坐標為"3'3'3/5. 對于任意非零向量；=(叫,乂,&),片=(也,無，僉)，以下說法錯誤的有()A.若分_L/；,則工內(nèi)+凹力+弓=。b.若如B，則：=¥=且*2)2?2ccos<a.b>=，vl927I?3?D.若呵=為=弓=1，則力為單位向量【答案】BD【解析】對于A選項，因為，則"»=用工2+)'|)2+4Z2=0，A選項正確：對于B選項

5、，若%2=0,且力。0，/AO，若；幻但分式當無意義，B選項錯誤：對于C選項，由空間向量數(shù)量積的坐標運算可知-r玉叢+），方+4?2cos<a,b>=，一、-、，,c選項正確：Jx+y+Zj.g+力+彼對于D選項，若西=凹=4=1,則同=JF+F+F=$,此時，不是單位向量，D選項錯誤.故選：BD.6. 若點N為點M任平面。上的正投影，則記N=fa（M）.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A.BD,中，記平而ABGD為0,平面ABCD為4,點P是棱CC.±一動點（與c、q不重合）莒（P）,22=4A（p）-給出下列三個結(jié)論：線段pq長度的取值范國是 存在點尸使得PQ平而“

6、： 存在點P使得PQ1P0.其中，所有正確結(jié)論的序號是（）D.A.B.®C.®【答案】D【解析】取弓。的中點0，過點P住平面人鳥弓。內(nèi)作PE±C.D,仰過點E在:TmCCQD內(nèi)作EQ1CD,垂足為點Q.在正方體ABCD一A3GG中，AD1平面CGDQ,PEu平面CCDQ，二PEGAD，又/PE±C,£>,A£>nqO=。，.所_l平而AB.C.D，即PELp,:.fP)=E,同理可證EQdy,CQ挪,則人房（P）=Z，（E）=0,赤*（P）=»（C）=0.以點O為坐標原點，DADC.DD所在直線分別為x軸、V軸、

7、z軸建立空間仃角坐標系。-QN,設(shè)CP="（O<G<1）,則P（0,l,。）,C（0,l,。），Eo，m，?對于命題，pq2=,/0<67<1,則一則222。+可所以，昭|=£,命題正確:對于命題，vCQ2±P，則平而”的一個法向量為彭=（c。一1。,，一“1aa131,、,令CQ?.PQi=0,解f'j6/=-e（0,l）,所以，存在點P使得F0平而們命題i":2d對于命題，20=|°，-5，二蘆,-1一白a（2a-l）'令如"0=丁+=°'14/一3。+1=0.該方解，所以

8、，不存在點P使得PQ1P0.命題鋁故選：D.二、填空題7. 如圖，以長方體ABCD-AC的頂點。為坐標原點，過。的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若。居的坐標為(4,3,2),則AQ的坐標為【答案】(-4,3,2)【解析】如I印"示.以長方體ABCD-AC的頂點。為坐標岬點，過。的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，因為廁的坐標為(4,3,2),所以A(4,0,0),C(0,3,2),所以AC】=(T,3,2).8.己知長方體ABCDAiBiGQ,AB=BC=,AA=2，在凡8上取一點M在上取一點使得直線MN/平而A,ACC,則線段m的最小值為.2【答案】j【解

9、析】如圖，以DA,DC,DD|為x,y,Z軸建立空間直角坐標系，則A(1,0,0).B(1,1,0),C(0,1,0),0(0,0,0)，A(1，0,2),%1,1,2)，G(0，1，2),D|(0,0,2),AC=(-1,1,0),=(0,0,2),設(shè)平們ACC】A】的一個法向吊為/?=p-AC=-x+y=0.取x=lpAA,=2z=0則y=l,z=。，即，=(1,1,0),又泰=(0,1,-2)，3£=(-1,0,-2),福=(0,1,0),&材=/A0.BN=pBCJ：JMN=M+AiB+BlN=(-/a1-2,22-2/)網(wǎng)2=(")2+(l-2)2+(2A

10、-2)2=5A2+5ju2一82/-22+142小門s,i.mn"一小伉對：.2故答案為：y.三、解答題9. 已知空間三點4(0,2,3),5(-2,1,6),C(,-1,5).(1) 若非應(yīng)；且AP=2如,求點戶的坐標：求以岳,砌鄰邊的平行四邊形的面積.【解析】:喬反,:.設(shè)聲ABC.又BC=(3,一2,1),:.AP=(3A,-2-4),又奪I=寸9尸+4尸+尸=2腴,得久=±2,AJP=(6,一4,一2)或若(一6,4,2).又才(0,2,3),設(shè)戶(丫，y,z),x0=6,y2=4,n3=2,x=6.得彳y=2,璀=1或y=6,N=5.AP(6,-2,1)或(一6,

11、6,5)(2) VJ5=(-2>一1,3),AC=(1.-3,2),cos<AB,AC)J5花一2+3+61-ABrV14xVn_2:.ZBAC=6QQ.二以筋，無為鄰邊的平行四邊行的而積S=ABsin60°=14X斗=7寸110. 已知長方體ABCD-AXBXCXDX中，IABI=IBCI=2,DD=3，點N是步的中點,點肖是片q的中點.建立如圖所示的空間直角坐標系.(1) 寫出點D,N,M的坐標：(2) 求線段MD,MV的長度：(3) 判斷直線與直線MV是否互相垂直，說明理由.【答案】(1)。(0,。,。)，N(2,l,0),M(l,2,3)：(2)線段"xmv的長度分別為JiRJTT：(3)不垂直，理由見解析【解析】解：(1)兩直線垂直，證明：由于。為坐標原點,所以0(0,0,0),由IAB=BC1=2,I0A1=3得:A(290,0),8(2,2,0),C(0,2,0),B,(2,2,3),C,(0,2,3),因為點v是如的中點，點.1/是8C的中點，.N(2,l,0),M(l,