行列式定義及性質(zhì)

1、方陣行列式及其性質(zhì)方陣行列式及其性質(zhì) 行列式是一種常用的數(shù)學(xué)工具，也是代數(shù)學(xué)中必不可少的基本概念，在數(shù)學(xué)和其他應(yīng)用科學(xué)以及工程技術(shù)中有著廣泛得用應(yīng)用.本部分主要介紹行列式的概念、性質(zhì)和計(jì)算方法.第一章 教學(xué)目的：教學(xué)目的：通過(guò)本章的教學(xué)使學(xué)生了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)，會(huì)計(jì)算各種類型的行列式. 教學(xué)要求教學(xué)要求：理解行列式的概念，深刻理解方陣與方陣的行列式的關(guān)系，會(huì)用行列式的六條性質(zhì)熟練計(jì)算各種類型的行列式，掌握行列式的展開(kāi)定理和拉普拉斯定理. 教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：方陣行列式的性質(zhì)及展開(kāi)定理，計(jì)算典型的行列式的各種方法. 教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：n階行列式的計(jì)算，拉普拉斯定理的應(yīng)用. 11

2、2212211122122(),a aa axbaa b 當(dāng) 時(shí)，求得方程組有唯一解：112212210a aa a122122111221221,b aa bxa aa a11 2121211221221.a bbaxa aa a 二元線性方程組 11112212112222,a xa xba xa xb11221221211 2121().a aa axa bba1121122122222111211 2121212,baDbaa bbaabDa bbaab1112112212212122det,aaDAa aa aaa1122;.DxDDxD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11122

3、122aaAaa121231,245 .xxxx1310,24D 11319,54D 2113,25D1119,10DxD223.10DxD 二階行列式的應(yīng)用1111221331211222233231 13223333,.a xa xa xba xa xa xba xa xa xb1112132122233132330aaaDaaaaaa時(shí)，112233,.DxDDxDDxD1121312222333233,baaDbaabaa1111322122331333,abaDabaaba111213212223313233aaaDaaaaaa1112132122231323.aabDaabaab1

4、12233a a a132231a a a122133a a a112332.a a a122331a a a132132a a a對(duì)角線規(guī)則（沙流氏規(guī)則對(duì)角線規(guī)則（沙流氏規(guī)則) )12312312351,51,20.xxxxxxxxx 1151516,112D 111515118,012D 211511 16,102D 31111516,110D 解解 由于311DDx122DDx133DDx所以，方程組的解為 ， ， . 三階行列式的應(yīng)用,.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb11112211211222221122111212122212,nn

5、nnnnaaaaaaDaaa111121221,nnjnnnnabaabaDaba1, 2 ,jn二、三階行列式的推廣,jjDxD1,2, .jnl（1）D=？（怎么算）？l（2）當(dāng)D0時(shí)，方程組是否有唯一解？l（3）若D0時(shí)，方程組有唯一解，解的形式是否是 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 l 2.1、全排列l(wèi) 用1，2，3三個(gè)數(shù)字可以排6個(gè)不重復(fù)三位數(shù)即： 123，231，312，132，213，321. 一般地，把n個(gè)不同的元素排成一列(n級(jí)排列)，共有幾種不同的排法？ 這是一個(gè)全排列問(wèn)題.從n個(gè)元素中任取一個(gè)放在第一個(gè)位置上，有n種取法； 再?gòu)氖Ｏ碌膎-1個(gè)元素中任取一個(gè)元素，放在的

6、第二個(gè)位置上有n-1種取法;依此類推，直到最后剩下一個(gè)元素放在最后位置上，只有一種取法； 于是：(1)3 2 1!nPn nn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 對(duì)于 n 個(gè)不同的元素，可規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序（例如，n 個(gè)不同的自然數(shù) p1, p2, , pn ，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序）.于是，在這 n 個(gè)元素的任意排列中，當(dāng)某兩個(gè)元素的前后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就說(shuō)產(chǎn)生了一個(gè)逆序逆序，一個(gè)排列中所有逆序的和和叫做這個(gè)排列的逆序逆序數(shù)數(shù). 記逆序數(shù)是奇數(shù)的排列叫做奇排列奇排列逆序數(shù)是偶數(shù)的排列叫做偶排列偶排列 12(,)np pp 不妨設(shè)元素為1至n個(gè)自然數(shù)，并規(guī)定有小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，

7、設(shè) p1, p2, , pn 為這n個(gè)自然數(shù)的一個(gè) n 級(jí)排列，考慮元素pi(i= 1,2, ，n)，如果比 pi 大的，且排在 pi 前面的元素有ti個(gè)，則說(shuō)這個(gè)元素的逆序是ti個(gè)，全體元素逆序之和即是 p1, p2, , pn 的逆序數(shù)，即12121(.)nnniittpptpt(1,2,2,1, )?nnn(2)1(1)(2)/ 2nnn 12(),np ppk121()?nnp pp p2(1)/ 2nCkn nk 例如，設(shè)排列3 2 5 1 4,其逆序數(shù)為： t=1+3+0+1+0=5 . 當(dāng)我們把上面排列改為 3 1 5 2 4，相當(dāng)于把3 2 5 1 4 這個(gè)排列的第2、4兩個(gè)數(shù)

8、碼對(duì)換（將一個(gè)排列中任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余的元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換對(duì)換）.通過(guò)計(jì)算可知 3 1 5 2 4 的逆序數(shù)為t=1+2+0+1+0=4.可見(jiàn)排列 3 2 5 1 4 為奇排列奇排列，而 3 1 5 2 4 為偶排列偶排列，由此得一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素由此得一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換對(duì)換，排列改變，排列改變奇偶性奇偶性n得到行列式值的特點(diǎn)：機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1112112212212122,aaa aa aaa二階行列式 111213212223313233aaaDaaaaaa三階112233a a a132231a a a122133a a a1

9、12332.a a a132132a a a122331a a a矩陣元素乘積的代數(shù)和，每一項(xiàng)來(lái)自不同行不同列矩陣元素乘積的代數(shù)和，每一項(xiàng)來(lái)自不同行不同列每一項(xiàng)前面還有符號(hào)確定方式每一項(xiàng)前面還有符號(hào)確定方式123123jjja aa1 23j j j 當(dāng)當(dāng) 偶排列時(shí)，正號(hào)偶排列時(shí)，正號(hào) 當(dāng)當(dāng) 奇排列時(shí)，負(fù)號(hào)奇排列時(shí)，負(fù)號(hào) 1 23j j j 定義定義 設(shè)n階方陣A=（aij)，定義n階行列式|A|的值為det.DA也可記為:1212( 1).nPPnPDa aatA12(,)ntp pp其中逆序數(shù)1212( 1)ntppnpaaa作出n階方陣A=（aij)中位于不同行不同列的n個(gè)數(shù)的乘積，并冠

10、以符號(hào)(-1)t，得到形如1212nppnpaaa的項(xiàng)（ 稱為行列式的一個(gè)均布項(xiàng)） p1, p2, , pn 為自然數(shù)1，2，n的一個(gè)排列，t 為這個(gè)排列的逆序數(shù).這樣的排列共有n!個(gè)，所有這些項(xiàng)的代數(shù)和即為n階行列式的值. 行列式的另一種定義形式為:1212( 1).ntqqq nDaaa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 計(jì)算下列行列式值00010020?030040002424定義中項(xiàng), 值為l 同理，也可以定義為:1122( 1).nnq pq pq pDaaa4 由前面的定義可知，每一項(xiàng)都是來(lái)自不同行不同列的n個(gè)元素乘積，故對(duì)某一確定行中的n個(gè)元素（如 ），每一項(xiàng)都含有且只含有其

11、中一個(gè)元素。故可將n!項(xiàng)分成n組，第j組的項(xiàng)均含有 ，再提公因式 ,得到其中 代表含有 的項(xiàng)在提出公因式后的代數(shù)和，且 中不含有元素 ，即 與第i行第j列元素?zé)o關(guān)。12,iiinaaaijaija1122detiiiiininDAa Aa Aa AijAijAijaijaijA如111213212223313233aaaDaaaaaa三階112233a a a132231a a a122133a a a112332.a a a132132 a a a122331a a a112233233212233121331321322231()()()aa aa aaa aa aaa aa a22232

12、1232122111213313232333133aaaaaaaaaaaaaaa三階行列式可以通過(guò)二階行列式來(lái)計(jì)算三階行列式可以通過(guò)二階行列式來(lái)計(jì)算同理，同理，n 階行列式可以通過(guò)階行列式可以通過(guò)(n1)階行列式來(lái)計(jì)算階行列式來(lái)計(jì)算ijM111212122212|nnnnnnaaaaaaDAaaa定義 在在n階行列式階行列式D中去掉元素中去掉元素 所在的第所在的第i行和第行和第j列，剩下的列，剩下的(n1)2個(gè)元素按原來(lái)順序排列成一個(gè)個(gè)元素按原來(lái)順序排列成一個(gè)(n-1)階行列式階行列式. 1,11,11111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjnijijiinijiijij

13、innnnn jn jaaaaaaaaMaaaaaaaa 為 的余子式， 為 的代數(shù)余子式ijaija( 1)ijijijAM 1122detiiiiininiDAa Aa Aa A按第 行展開(kāi)1122detjjjjnjnjjDAa Aa Aa A按第 列展開(kāi)ija展開(kāi)式展開(kāi)式 該定義適合于常規(guī)計(jì)算，第一種常適用于證明111D=|A|= 123 ==?01110291對(duì)角線規(guī)則對(duì)角線規(guī)則or代數(shù)余子式代數(shù)余子式選擇含零多的選擇含零多的行或列行或列61000?000 xyxyDxyxyyx解：按第一列展開(kāi)，得Dxyxyxxyx1( 1)nnnxy 1( 1)nyxyyx

14、yxy l（1） 對(duì)角行列式12120;0nn 1(1)22120( 1).0n nnn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 |1E 定義或定義或展開(kāi)式展開(kāi)式l（2） 下（上）三角行列式1121221122120;nnnnnnaaaa aaaaa111212221122.nnnnnnaaaaaa aaa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1111111111110mmm mmnnnmnnnaaaaDccbbccbb其中 ，11111,mmmmaaDaa11121.nnnnbbDbb1111111211mnmmmnnnaabbDDaabb證明證明=det(dij)，其中 dij=aij i=1,

15、2,m；j=1,2, ,m.d m+i ,m+j=bij i=1,2,n；j=1,2, ,n.在行列式11111,11,1,11,1,1,0000mmmmmmmmmmm nm nm n mm n mm n m nddddDdddddddd中任取一個(gè)均布項(xiàng)1111,mmm nrmrmrm n rdddd 由于當(dāng)i m，jm時(shí)， dij=0，因此r1,r2, , rm只有在1,m中選取時(shí)，該均布項(xiàng)才可能不為0，而當(dāng)r1, r2, , rm在1,m中選取時(shí)，rm+1, , rm+n只能在m+1, ,m+n中選取. 于是D中可能不為0的均布項(xiàng)可以記為121121.mnppmpqnqaaabb這里，pi

16、=ri , qi=rm+i-m,設(shè)l為排列p1p2 pm(m+q1) ( m+qn)的逆序數(shù).以t，s分別表示排列p1p2 pm及q1q2 qn的逆序數(shù)，應(yīng)有l(wèi)= t + s (pi m)，于是1212121 21212( 1)mnmnlppmpqqnqp ppq qqDaaab bb1212121 21212( 1)( 1)mnmntsppmpqqnqp ppq qqaaab bb=D1D2.小結(jié)1、深刻理解行列式的定義.2、熟記行列式3個(gè)特殊的公式.111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa設(shè)112111222212nTnnnnnaaaaaaDaaa則 轉(zhuǎn) 置 行 列 式 為

17、1TDD性質(zhì) ：2kk性質(zhì) ：用數(shù) 乘行列式某一行中所有元素，等于用 乘此行列式。1111111111nniiniinnnnnnnaaaakakak aaaaaa推論：某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面。k=03性質(zhì) ：若行列式某一行的元素是兩數(shù)之和，則行列式可拆成兩個(gè)行列式的和。111111niinnnnnaaababaa11111niinnnnaaaaaa11111nnnnnaabbaa推論推論 若行列式中某一行（列）的所若行列式中某一行（列）的所有元素都是有元素都是m( (大于大于2)2)個(gè)數(shù)的和，則個(gè)數(shù)的和，則此行列式可寫成此行列式可寫成m個(gè)行列式的和個(gè)行列式的和1推論

18、：若行列式中有兩行元素對(duì)應(yīng)成比例，則行列式為零。 0性質(zhì)4 若行列式中有兩行或兩列其對(duì)應(yīng)元素相等， 則此行列式值為 .112202isisinsnsa Aa Aa AAs， i推論 | |， i11220,0,|.jtjtnjntjta Aa Aa AAjt 1111110,niinijkjkknnnnaaaaaaaaaa 5k性質(zhì) ：行列式某一行元素加上另一行對(duì)應(yīng)元素的 倍，行列式的值不變。即：1111111111111nnijinjniinjjnjjnnnnnnnaaaaakaakaaaaaaaaaaa(),ijijrr cc若若ri表示第表示第i行，行，cj 表示第表示第j列，則性質(zhì)中的

19、變換可以用以列，則性質(zhì)中的變換可以用以下符號(hào)表示：下符號(hào)表示：(),iikr kc()ijijrkr ckc6性質(zhì) ：互換兩行(兩列)，行列式變號(hào)。即1 11111niinjjnnn naaaaaaaa111111njjniinnnnaaaaaaaa 1111100jnijnnjnnaaaaDaaa引理引理 如果如果n階行列式中第階行列式中第i行除行除 aij 外其他元素全為外其他元素全為0，即，即則則ijijDa A1122221222111111111121200nnnnnnnnnaaaaaaDaa Ma Aaaaaa分兩步分兩步121111111121100,1,ijiiijjnjjnj

20、nnnarrrraaaDccccaaa 1ijijijijija Ma A 111211212000000niiinnnnnaaaDaaaaaa11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1122,1,2,iiiiinina Aa Aa Ain3112513420111533D2141531128046201116027r rrr72161126484012324216022112005rrrr 520216 32222322?22322223D 公因子提出來(lái)。行，然后將全加到第行、一定數(shù)，故將第分析：各行元素之和為14323222232222329999D