復(fù)變函數(shù)期末考試復(fù)習(xí)題及答案詳解

1、1、dz|zzo|1(Z Zo)nn為自然數(shù)2. sin2 z cos2 z 3.函數(shù)sinz的周期為1z21，貝U f(z)的孤立奇點(diǎn)有nz n的收斂半徑為.n 06.假設(shè)函數(shù)f(z)在整個(gè)平面上處處解析，那么稱(chēng)它是 z1 z2 znlim 召lim -n，那么 nn.zRes(en，0)8. z ，其中n為自然數(shù).sin z9. 的孤立奇點(diǎn)為.zz f(z) lim f (z)z°是f (z)的極點(diǎn)，那么z zo.f(z)1.設(shè)內(nèi)的羅朗展式11(z 1)(z 2)，求 f(z)在 D z:0 |z| 1dz.2. |z| 1 cosz3 2713. 設(shè)f(z) c d，其中 C

2、z:|z| 3，試求 f'(1i).z 1w 4.求復(fù)數(shù) z 1的實(shí)部與虛部.四.證明題.(20分)1.函數(shù) f(z) 在區(qū)域D內(nèi)解析.證明：如果 |f(z)|在 D 內(nèi)為常數(shù),那么它在D內(nèi)為常數(shù)2.試證：f、z(1 z)在割去線(xiàn)段0 Rez 1的z平面內(nèi)能分出兩個(gè)單值解析分支，并求出支割線(xiàn) 0 Rez 1上岸取正值的那支在 z 1 的值.?復(fù)變函數(shù)?考試試題二二.填空題.(20分)i.設(shè)z i，那么 | z| _,argz _,zf(z) (x2 2xy) i(1 sin (x2y2), z x iy Czif (z)3.dz|z zo1 1(z zo)n. n為自然數(shù)4.幕級(jí)數(shù)nz

3、n的收斂半徑為n 01. 求函數(shù)sin(2z)的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式.2. 在復(fù)平面上取上半虛軸作割線(xiàn).試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù), z在正實(shí)軸取正實(shí)值的一個(gè)解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點(diǎn)及右沿的點(diǎn)z i處的值.3.計(jì)算積分：|的右半圓.i| z|dz，積分路徑為1單位圓| z|1i4.求oiz 2sin zdz5. 假設(shè)zo是f(z)的m階零點(diǎn)且m>0，貝U zo是f'(z)的零點(diǎn)6. 函數(shù)ez的周期為.537. 方程2z z 3z 80在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .18. 設(shè)f(z) 2，貝U f (z)的孤立奇點(diǎn)有 .1 z9. 函數(shù)f (z) | z |的不解析點(diǎn)之集為 .z 11

4、0. Res(-,1) z三計(jì)算題.(40分)四.證明題.(20分)1. 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要條件是f (z)在D內(nèi)解析.2. 試用儒歇定理證明代數(shù)根本定理.?復(fù)變函數(shù)?考試試題三二. 填空題.(20分)“ 11. 設(shè)f (z) ，那么f (z)的定義域?yàn)?.z 12. 函數(shù)ez的周期為.n213. 假設(shè) zn i(1-)n，貝U lim Zn 1nnn2 2 ,4. sin z cos z .dz2.試求幕級(jí)數(shù)nn! nz的收斂半徑. nn5.|ZZ0|1(z Zo)n.n為自然數(shù)3.算以下積分:c£，其中C是1-6. 幕級(jí)數(shù) nxn的收斂

5、半徑為.n 017. 設(shè)f (z)；，那么f (z)的孤立奇點(diǎn)有z 18. 設(shè) ez 1,那么 z .9. 假設(shè)z0是 f(z) 的極點(diǎn)，那么 lim f(z).z z10. Res(en,0) .z三. 計(jì)算題.(40分)z 8z 20在| z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù).4.四.1.+9 o 6求z 2z證明題.(20分)函數(shù) f(z) 在區(qū)域D內(nèi)解析.證明：如果 |f(z)| 在D內(nèi)為常 數(shù)，那么它在D內(nèi)為常數(shù).2.設(shè)f(Z)是一整函數(shù)，并且假定存在著一個(gè)正整數(shù)n,以及兩個(gè)正數(shù)R及M使得當(dāng)| z| R時(shí)| f(z)| M |z|n，?復(fù)變函數(shù)?考試試題四證明 f(z) 是- -個(gè)至多n次的多項(xiàng)

6、式或一常數(shù)。二. 填空題(20分)11. 設(shè) z ，那么 Rez ,1m z1 i2. 假設(shè) lim zn，貝H lim 一Z2一二一Zn .nn門(mén)3. 函數(shù)ez的周期為.14. 函數(shù)f (z)2的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式為1 z5. 假設(shè)函數(shù)f(z)在復(fù)平面上處處解析，那么稱(chēng)它是 .6. 假設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，那么稱(chēng)它是D內(nèi)的.7. 設(shè)C :| z| 1,那么(z 1)dz .Csin z8. 的孤立奇點(diǎn)為.z9. 假設(shè)z0是 f(z) 的極點(diǎn)，那么z z0z10. Res(e,0).z 三. 計(jì)算題.(40分)31.解方程z 10.2.設(shè) f (z)ez廠，求Res(f

7、(z), )3.|z|2(9 z2)(z4.函數(shù)f (z)1 1ez 1 z有哪些奇點(diǎn)？各屬何類(lèi)型假設(shè)是極點(diǎn)，指明它的階數(shù).四. 證明題.(20分)1. 證明：假設(shè)函數(shù) f(z) 在上半平面解析，那么函數(shù) f(z) 在下半平面 解析.2. 證明z4 6z 30方程在1 |z| 2內(nèi)僅有3個(gè)根.?復(fù)變函數(shù)?考試試題五二.填空題.20分1.設(shè)z 1* 3，那么 |z| _,argz _,zz2當(dāng)z 時(shí)，e為實(shí)數(shù).3設(shè) e 1,那么 z z4. e的周期為.5設(shè)C :| z| 1,那么(z 1)dz .Cez1小6. Res(,0)z7. 假設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，那么稱(chēng)

8、它是內(nèi)的。18. 函數(shù)f (z)石的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式為1 z2sin z9. 的孤立奇點(diǎn)為.z10.設(shè)C是以為a心，r為半徑的圓周,那么ndzC(z a)nn為自然數(shù)三計(jì)算題 (40分)z 11.求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部z2.計(jì)算積分：1IRezdz，L在這里L(fēng)表示連接原點(diǎn)到1i的直線(xiàn)段.2d3. 求積分：I2，其中0<a<1 .0 1 2acos a4. 應(yīng)用儒歇定理求方程 z (z)，在|z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù)，在這里 在|z|1上解析，并且 I (z)|1.四. 證明題.(20分)21. 證明函數(shù) f(z) |z 除去在z 0外，處處不可微.2. 設(shè) f(z) 是- -整函數(shù)，并且假

9、定存在著一個(gè)正整數(shù)n,以及兩個(gè)數(shù) R及m，使得當(dāng)| z | R時(shí)I f(z)| M |z|n，、計(jì)算題30分?復(fù)變函數(shù)?考試試題六1.一、填空題20分n 211. 假設(shè) zn i(1 -)n，那么 lim Zn .1 nn12. 設(shè) f(z) 丁 ， 那么 f(z) 的 定義域?yàn)閦 13. 函數(shù)sin z的周期為.2 24. sin z cos z .5. 幕級(jí)數(shù) nzn的收斂半徑為.n 06. 假設(shè)z。是f(z)的m階零點(diǎn)且 m 1，貝U z。是f (z)的零點(diǎn)7. 假設(shè)函數(shù)f(z)在整個(gè)復(fù)平面處處解析，那么稱(chēng)它是 .8. 函數(shù)f (z) z的不解析點(diǎn)之集為.539. 方程2z z 3z 8

10、 0在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .1、 lim2、設(shè) f (z)3、設(shè) f (z)1d，其中C求 Res( f (z), i).34、求函數(shù)卻畔在0 z 內(nèi)的羅朗展式zz 15、 求復(fù)數(shù)w的實(shí)部與虛部.z 1i6、求e 3的值.三、證明題20分乙z 3，試求f (1 i).7631、方程z 9z 6z 1 0在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6.2、假設(shè)函數(shù)f (z) u(x, y) iv(x, y)在區(qū)域D內(nèi)解析，v(x, y)等于常數(shù)，那么f (z)在D恒等于常數(shù)3假設(shè)z是f的m階零點(diǎn)，那么z是帀的m階極點(diǎn).?復(fù)變函數(shù)?考試試題一參考答案二.填空題1.6.計(jì)算以下積分.8分sin z2心嚴(yán)z22(1)od

11、z ;(2)4 2dz%2)2H 4z2(z 3)2d7.計(jì)算積分.6分05 3cos8.求以下幕級(jí)數(shù)的收斂半徑.6分(1)(1 i,、n n)z;(n；)2zn .n 1n 1 n2. 1；3.2k,(k z)4. z i ;5.6.整函數(shù);7.；8.(n1)!9.10. .三.計(jì)算題.1.解因?yàn)?1,所以0f(z)9.設(shè)f(z) my3 nx2y i(x3 Ixy2)為復(fù)平面上的解析函數(shù)， 試確定I ,m , n的值.6分三、證明題.1.設(shè)函數(shù)f (z)在區(qū)域D內(nèi)解析，f (z)在區(qū)域D內(nèi)也解析，證明f (z)必為常數(shù).5分2 .試證明az az b 0的軌跡是一直線(xiàn)，其中 數(shù).5分a為復(fù)

12、常數(shù)，b為實(shí)常(z 1)(z 2)2.解因?yàn)閦 Res f (z) lim2z2z 2 cosz1 z 2(1 自lim11,zsin z2(筍z Res f (z) lim 2-z 22coszlim11.zsin z2所以|z|11 I2coszdzi(Res f (z)z Resf (z)0.z 23.解1，那么它在z平面解析，由柯西公式有在 z 3f(z)-dzz2 i (z).所以f (1 i)(z) z 1 i2 i(13 6i) 2 (6 13i).4.解bi,令fuiv，那么f(z)2 2 2UV2 c .UUxVVx0(1)兩邊一分別對(duì)Xy求勺扁導(dǎo)數(shù)，得0UUyVVy因?yàn)楹瘮?shù)

13、在D內(nèi)解析，所以UlxVy，UyVx .代入(2)那么上述方程組變?yōu)閁UxVVx0,2 2、0.0消去Ux得，(u V )VxVUxUVx1)假設(shè)2 u2 V0，那么f(z) 0 為常數(shù)2)假設(shè)Vx0,由方程(1)及C.R.方程呈有 ux 0， uy 0Vy 0 .2(a 1 bi)(a"2以11) b(a2(a 1)1)2 b22b(a 1)2b2'故 Re(Q)1z 12(a2(a 1)匹，lm(z b2z1)2b(a 1)2 b2 .1.證明設(shè)在D內(nèi)f (z) C.所以u(píng) c1,v c2.(qq為常數(shù)).所以f (z) c, 心為常數(shù).2.證明f(z) . z(1 z)

14、的支點(diǎn)為z 0,1.于是割去線(xiàn)段0 Rez 1的 z平面內(nèi)變點(diǎn)就不可能單繞0或1轉(zhuǎn)一周，故能分出兩個(gè)單值解析分支.由于當(dāng)z從支割線(xiàn)上岸一點(diǎn)出發(fā)，連續(xù)變動(dòng)到z 0,1時(shí)，只有z的幅角增加.所以f(z)、.z(1 z)的幅角共增加 .由所取分支在支割線(xiàn)上岸取正值于是可認(rèn)為該分支在上岸之幅角為0,因而此分支在z1的幅角為一2故f (1)邁e2'.2i .?復(fù)變函數(shù)?考試試題二參考答案1 1 i ；2. 3 (1 sin 2)i ；3.20 n 15. m 1.填空題2 i n 16. 2k i , (k z).7. 0；8. i ；4. 1 ；9. R ；10. 0.三.計(jì)算題31.解 si

15、n(2z )(l)n(2z3)2n1 n o (2n 1)!n 2n 1 6n 3(1)2 zn o (2n1)!2.解令z rei2k那么 f(z) z re 2,又因?yàn)樵谡龑?shí)軸去正實(shí)值，i_所以 f (i) e4.3.單位圓的右半圓周為所以 i zdz2 de"2所以4.解sin z dz2 2J證明題.2 i(sinz)(k 0,1).k 0.2i.四.1.證明(必要性)令 u(x, y) C1,v(x, y)c?.那么 ux令 f (z) C12 i coszz 2=0.心,那么f (z) c ic2. (sc為實(shí)常數(shù)). VyUyVx0 .即u, v滿(mǎn)足C. R.,且Ux,

16、Vy,Uy, Vx連續(xù)，故f (z)在D內(nèi)解析.(充分性)令 f (z) u iv,那么 f(z) u iv ,因?yàn)閒 (z)與f (z)在D內(nèi)解析，所以UxVy,UyVx,且Ux(V)yVy,Uy(Vx)Vx .比擬等式兩邊得UxVyUyVx0 .從而在D內(nèi)U,V均為常數(shù)，故f (z)在D內(nèi)為常數(shù)2.即要證任一 n次方程nn 1a°zazan1Zan 0(a。0)有且只有n個(gè)根.令 f (z)na°zn 1azan 1Z an 0lim|G 1nn!n n2.解 limnz e(n 1)n1(n1)!n 1 n lim() n nlim(1n-)n e.nR maxI |

17、q|Ra1an 1an,1an 1an(aiC：z Ran)Rn1Rn.由儒歇定理知在圓a°zn0有相zR內(nèi)，方程o)znn 1azan 1 zan 0與同個(gè)數(shù)的根.而na°z0在zR內(nèi)有一個(gè) n重根z0.因此n次方程在;乙 R內(nèi)有n個(gè)根.f(z).?復(fù)變函數(shù)?考試試題三參考答案1. zzi,且zC ;2. 2k2n10n1;6. 1;7.i;.填空題.110. .8. z (2k1) i ;9.(k z) ；3.1 ei ；4. 1；5.所以收斂半徑為e.3.解令f (z)故原式2 i Re°sf4.解令f (z)那么在C: z由儒歇定理有N(f ,C)四.證明

18、題.1.證明 證明(n 1)!三.計(jì)算題.2 1 2 1 11.解z2ezz2(12)z 2!zn 2Zn 0 n!22,那么z2(z2 9)乙i9z92 z6 z21 上 f(z)與N(f ,C)Res f z 02,(z)(z)均解析,1.即在設(shè)在D內(nèi)f (z)2令 f (z) u iv,那么 f (z)兩邊分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)數(shù)，得因?yàn)楹瘮?shù)在uuxVUxC.VVxUVxUUyD內(nèi)解析，所以u(píng)xVy,Uy00 .消去 ux得,(uv)Vxzez2 98z.且 f (z)Wy內(nèi)，方程只有一個(gè)根.(1)Vx .代入0.(2)那么上述方程組變1) u2 v20,那么 f (z)0 為常數(shù).2)

19、假設(shè)Vx 0,由方程(2)及C. R.方程有Ux 0, Uy 0 ,Vy0 .所以u(píng) G,v C2.(c1,C2為常數(shù)).所以f (z) CiiC2為常數(shù).2證明(k)(0)取2 lzl那么對(duì)一切正整數(shù) k nk!Mrnk .r于是由r的任意性知對(duì)一切nn均有 f(k)(0)0.故 f (z)葩,即f(Z)是0個(gè)至多n次多項(xiàng)式或常數(shù).?復(fù)變函數(shù)?考試試題四參考答案, 111. -2.;3. 2k i(k z);422n 2n(1) z(z1);5.整函數(shù)；n 06.亞純函數(shù);7.(0;8. z 0;9.;10填空題.(n 1)!三.計(jì)算題.1.Z2z32.3.4.kcos3cos5cos一32

20、kz cosi sin3i sinisin?解 Res f (z)故原式 2原式 21ez 11, 2,.133. i 2isin空0,1,23zez 1i (Re1s f z 1i Res f (z) z i3. i 2e2, ResfRe1sf )z(ez1)zmzi(elim z z z z 0 e e zezi9 z2令 z(ezez1(ez 1)z1)z 1e1).，得z11 zez1 e20,z2k iz 0為可去奇點(diǎn)當(dāng)z 2ki 時(shí)，(k 0),zez 1(ez 1)z而一階極點(diǎn).四.證明題.1.證明設(shè)F(z)于zo的點(diǎn)，考慮2k i ez 1z ze2k iz 2k i 為li

21、m F(z) F(z0)limJ(Z) f(2lim f(z)f(z0)z z0zz°z “zZ°z z0Z Z°而z° ,z在上半平面內(nèi),f (z)在上半平面解析，因此F (z0)f(20),從而F(z)f (z)在下半平面內(nèi)解析.2.證明令 f (z)6z 3,(z)z4,那么f (z)與(z)在全平面解析，且在C1：|z 2 上,f(z) 15(z)16,故在z2內(nèi) N( f,C1)N( ,CJ4.在C2:z 1 上,f(z) 3(z) 1故在z1 內(nèi) N( f,C2)N(fG)1.所以個(gè)根.f在1;乙2內(nèi)僅有三個(gè)零點(diǎn),即原方程在1 z 2內(nèi)僅有三

22、f (z),在下半平面內(nèi)任取一點(diǎn)zo , z是下半平面內(nèi)異一.判斷題.1.V2. V 3 二.填空題.X4.V5.x 6 . x1.2, , 1-3i;2. a33. (2 k 1) i,(kz);6. 0;7.亞純函數(shù)；8.n 2n(1) zn02 i n 10 n 1三.計(jì)算題.1.解令z a bi,那么2(a1 bi)(a 1)2 b2?復(fù)變函數(shù)?考試試題五參考答案故Re(三z 12.解連接原點(diǎn)及故 Re zdzc3.令 zei ,那么 d7.X8. V 9. V 10 . V.2k i (k z,a為任意實(shí)數(shù));4. 2k i,(k z) ;5. 0;(z 1);9. 0;10.2(a

23、(a 1)2 b1)22b(a 1)2b2'2(a 1)22 , Im(a 1)2 b2 z 1i的直線(xiàn)段的參數(shù)方程為Re(1dziz1)2bi)t (1 i)dt (1(a1)2 b2 'z(1 i)t 0t11 ii) tdt .0 21,2 彳/ 1、2 (z a)(1 az)1 2acos a 1 a(z z ) a,z1dz1故I，且在圓|z 1內(nèi)f(z)只以i 1 (z a)(1 az)(z a)(1 az)z a 為一級(jí)極點(diǎn)，在 z1 上無(wú)奇點(diǎn),故11Res f (z)2,(0a 1),由殘數(shù)定理有z a1 azz a1a12I -2 iRes f (z)2,(&

24、#176; a1).iz a1a4.解令f(z)乙那么f (z), (z)在 z1內(nèi)解析，且在C:|z 1 上 ,(z) 1f(z),所以在z1 內(nèi)，N( f,C) N(f,C)1,即原方程在z1內(nèi)只有一個(gè)根四.證明題.2 21證 明因 為 u(x, y) x y ,v(x, y) 0, 故Ux 2x, uy 2y,Vx vy 0.2.證明取rR ,貝U對(duì)一切正整數(shù)kf(k)(0)k! |f(z)dzk!Mrn2|z|r *k.r于是由r的任意性知對(duì)一切nk n均有f (k)(0)0.這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在 z平面上處處連續(xù)，但只在z 0處滿(mǎn)足C. R.條件, 故f (z)只在除了 z 0外處處不可微

25、.故f(z)Cnzn,即f(z)是一個(gè)至多n次多項(xiàng)式或常數(shù)nk 0?復(fù)變函數(shù)?考試試題六參考答案二、填空題：1.1 ei 2. z 13. 216. m 1階7.整函數(shù)8.10.歐拉公式三、計(jì)算題：4.15.9.01.解：因?yàn)? 1 936故 lim( - )n0 .n 62.解：丫 1 iV23,f(z)f()因此 f( )2 i(3 271)2故 f(z) 2 i(3z 7z 1)f(1 i) 2 i(6z 7)1 i 2 i(13 6) 2 (6 13i).zz3解：才 f (rr rr)iRes(f(z),i) -24.解：sin z3(1)n(z3)2n0(2n1)!而f (z)的零

26、點(diǎn)個(gè)數(shù)為 6,故z7 9z66z310在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6.2證明：設(shè) v(x, y) a bi ,那么 vVy0,由于f (z) u iv 在內(nèi) D解析，因此(x,y) D 有Ux vy05uyVx0.于是u(x, y)c di 故 f (z) (a c)(bd)i，即f(z)在內(nèi)D恒為常根據(jù)儒歇定理，f (z)與f (z)(z)在單位圓內(nèi)有相同個(gè)數(shù)的零點(diǎn),數(shù).5解:.3sin z6 z(1)n z6n 3 o(2n 1)!zx 1 iy z 1 iyy21) 2yi(x 1)2Rew2 2 .x y 12 2, (x 1) yim w2y2.(x 1)2 y26解:1e 3 cos(3

27、) isin( 3) (1 亦).四、1證明：設(shè)f(z) 9z6,(z) z7 6z3 1,那么在；z 1上，f(z)9,(z)|16 18,即有f(z)3.證明：由于z是f (z)的m階零點(diǎn)，從而可設(shè)f (z) (z Zo)mg(z)，其中g(shù)(z)在z。的某鄰域內(nèi)解析且 g(zJ 0，于是1 1 1f (z) (z zo)m g(z)由g(Zo) 0可知存在Zo的某鄰域D1，在D1內(nèi)恒有g(shù)(z)0,因此1g(z)1在內(nèi)D1解析，故z0為帀的m階極點(diǎn).?復(fù)變函數(shù)?模擬考試試題?復(fù)變函數(shù)?考試試題一一、判斷題4x10=40分：1、假設(shè)函數(shù)f(z)在zo解析，那么f(z)在zo的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)。2

28、、 有界整函數(shù)必在整個(gè)復(fù)平面為常數(shù)。3、假設(shè)函數(shù) f (z) u(x,y) iv(x,y)在 D 內(nèi)連續(xù)，那么 u(x,y)與 v(x,y)都在D內(nèi)連續(xù)。()4、cos z與sin z在復(fù)平面內(nèi)有界。 5、假設(shè)zo是f (z)的m階零點(diǎn)，那么zo是1/ f (z)的m階極點(diǎn)。6假設(shè)f(z)在z0處滿(mǎn)足柯西-黎曼條件，那么f(z)在Z0解析。7、 假設(shè)lim f (z)存在且有限，貝U Z0是函數(shù)的可去奇點(diǎn)。z z08、 假設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，那么對(duì)D內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C 都有 f(z)dz 0。C9、假設(shè)函數(shù)f是單連通區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，貝尼在D內(nèi)有任 意階導(dǎo)數(shù)。10、假設(shè)函數(shù)f(z

29、)在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某個(gè)圓內(nèi)恒為常 數(shù)，那么在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù)。二、填空題4x5=20分11、 假設(shè)C是單位圓周，n是自然數(shù)，那么Cdz C(z z。)2、 設(shè) f(z) (x2 2xy) i(1 sin(x2 y2), z x iy C，貝U lim f (z)。z 1 i13、 設(shè)f (z)，貝U f(z)的定義域?yàn)?。z 14、nzn的收斂半徑為。n 0ze5、 Res(n ,0) 。z三、計(jì)算題8x5=40分：f z 11、設(shè) (z 1)(z 2)，求f(z)在D z：0 |z| °內(nèi)的羅朗展式。2、席1sinzdzdz2 i |z| 3(z 1)(z 4)3、求函數(shù)

30、sin(2z)的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式。4、求 f (z)1(z 1)(z 2)在 2 |z|內(nèi)的羅朗展式。5、求z4 5z 10,在|z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù)?復(fù)變函數(shù)?考試試題二一、判斷題4x10=40分：1、假設(shè)函數(shù)f(z)在zo解析，那么f(z)在zo連續(xù)。2、有界整函數(shù)必為常數(shù)。3、假設(shè)Zn收斂，那么Re Zn與Im zj都收斂。()4、假設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，且f'(z)0，那么f (z) C常數(shù)5、假設(shè)函數(shù)f(z)在zo處解析，那么它在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開(kāi) 為幕級(jí)數(shù)。6假設(shè)f(z)在zo解析，那么f(z)在zo處滿(mǎn)足柯西-黎曼條件。7、假設(shè)函數(shù)f(z)在zo可導(dǎo)，貝U f(

31、z)在zo解析。8、假設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，那么|f(z)也在D內(nèi)解析。9、假設(shè)幕級(jí)數(shù)的收斂半徑大于零，那么其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析。 10、cos z與sin z的周期均為2k 。二、填空題4x5=20分dz仁 |z zo|1(z zo)n 。2、 設(shè)f (z) 2-，那么f(z)的孤立奇點(diǎn)有。z 13、 假設(shè)函數(shù)f(z)在復(fù)平面上處處解析，那么稱(chēng)它是 。4、sin2z cos2 z 。5、假設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，那么稱(chēng)它是D內(nèi)的。三、計(jì)算題8x5=40分：1、|z| 1dz.coszize2、求 Res( 2 ,i).1 z3、limn4、求 f (z)(

32、z 1)(z 2)在2 |z|內(nèi)的羅朗展式。5、求z9 2z6 z2 8z 2 0在|z|<1內(nèi)根的個(gè)數(shù)?復(fù)變函數(shù)?考試試題三一、判斷題3x10=30分：1、假設(shè)函數(shù)f(z)在zo處滿(mǎn)足 Cauchy-Riemann條件，那么f(z)在zo解析。2、 假設(shè)函數(shù)f(z)在z0解析，那么f(z)在z0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)。3、 如Z0是函數(shù)f的本性奇點(diǎn)，貝U lim f(z) 定不存在。()z z4、 假設(shè)函數(shù)f(z)在z可導(dǎo)，那么f(z)在z0解析。5、假設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+ iv(x,y)在D內(nèi)連續(xù)，那么二元函數(shù) u(x,y)與 (x,y)。6、 函數(shù)sinz與cosz在整個(gè)復(fù)平面

33、內(nèi)有界。7、假設(shè)函數(shù)f(z)在Z0處解析，那么它在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開(kāi) 為幕級(jí)數(shù)。8假設(shè)Z0是f (z)的m階零點(diǎn)，那么Z0是1/f(z)的m階極點(diǎn)。9、存在整函數(shù)f (z)將復(fù)平面映照為單位圓內(nèi)部。10、假設(shè)函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)解析且在D內(nèi)的某個(gè)圓內(nèi)恒為常數(shù)， 那么數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù)。二、填空題2x10=20分n 211、 假設(shè) zn i(1 -)n，貝U lim Zn 。1 nnn12、假設(shè)C是單位圓周，n是自然數(shù)，那么C dz C (z Z。)3、 函數(shù)sinz的周期為。14、 設(shè)f (z)，貝U f (z)的孤立奇點(diǎn)有。z 15、 幕級(jí)數(shù)nxn的收斂半徑為n 06 假設(shè)Z

34、0是f(z)的m階零點(diǎn)且m>0，貝U z0是f'(z)的 點(diǎn)。7、假設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，那么稱(chēng)它是D內(nèi)、8、 函數(shù)f (z) | z |的不解析點(diǎn)之集為 。10、公式 eix cosx i sinx 稱(chēng)為.三、計(jì)算題8x5=40分：3 2711、設(shè) f(z)-7'd ，其中 C z:|z| 3Cz2、求 ieTsinzdz1dz。2 i |z| 3(z 1)(z 4)，試求 f'(1 i).3、設(shè) f(z)z尹，求 Res(f(z)，).14、 求函數(shù)ez在0 |z|內(nèi)的羅朗展式。z 15、求復(fù)數(shù)w的實(shí)部與虛部。z 16、求.2四、

35、證明題6+7+7=20分：1、設(shè) 是函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn)且lim f(z) A C，試證:z9、Res(en,0) ，其中n為自然數(shù)。zRes(f (z), ) lim z(f (z) A)。z2、假設(shè)整函數(shù)f(z)將復(fù)平面映照為單位圓內(nèi)部且f(0)0,那么f(z) 0( z C)。3、證明z4 6z 3 0方程在1 | z| 2內(nèi)僅有3個(gè)根。?復(fù)變函數(shù)?考試試題四、判斷題3x10=30分:1、假設(shè)函數(shù)f(z)在zo解析，那么f(z)在zo的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)。2、 如果zo是f(z)的本性奇點(diǎn)，那么叫彳一定不存在。3、 假設(shè)lim f (z)存在且有限，那么zo是f(z)的可去奇點(diǎn)。()z z

36、o4、 假設(shè)函數(shù)f(z)在z可導(dǎo)，那么它在該點(diǎn)解析。5、 假設(shè)數(shù)列zn收斂，那么Re Zn與Im Zn都收斂。6、 假設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，那么|f也在D內(nèi)解析。7、假設(shè)幕級(jí)數(shù)的收斂半徑大于0,那么其和函數(shù)必在收斂圓內(nèi)解析。8存在整函數(shù)f(z)將復(fù)平面映照為單位圓內(nèi)部。9、假設(shè)函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，且在D內(nèi)的某個(gè)圓內(nèi)恒 等于常數(shù)，那么f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù)。10、| sin z| 1( z C)。二、填空題2x10=20分1、 函數(shù)ez的周期為。2、 幕級(jí)數(shù)nzn的和函數(shù)為。n 03、 函數(shù)ez的周期為。6、14、設(shè)f(z) 2，貝U f(z)的孤立奇點(diǎn)有1 z的收斂半徑

37、為。5、幕級(jí)數(shù) nxn的和函數(shù)為。n 06假設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除去有限個(gè)極點(diǎn)之外處處解析，那么稱(chēng) 它是D內(nèi)的。7、 假設(shè)lim zn，貝卩l(xiāng)im 一今一二一互 。nnnz8、 Res(豊0) ，其中n為自然數(shù)。. n3、lim n 614、 求函數(shù)ez在0 |z|內(nèi)的羅朗展式。5、 求方程z8 4z5 z2 1在單位圓內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù). n 求 lim 1 in四、證明題6+7+7=20分1、設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，試證：f(z)在D內(nèi)為常數(shù)的充要 條件是帀在D內(nèi)解析。2、如果函數(shù) f(z)在 D z:|z| 1上解析，且 | f(z)| 1(|z| 1)，9、 方程2z5 z3 3z

38、 8 0在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 <110、 函數(shù)f (z) 2的幕級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 。那么| f(z)| 1(|z| 1)1 z三、計(jì)算題5x6=30分：1、z|z 2 (9 z2)(z3、設(shè)方程z8 4z5 z2 1 0證明：在開(kāi)單位圓內(nèi)根的個(gè)數(shù)為 5iz2、求 Res(-,i).1 z?復(fù)變函數(shù)?考試試題五一、判斷題3x10=30分：1、假設(shè)函數(shù)f(z)在zo解析，貝U f(z)在zo連續(xù)。2、假設(shè)函數(shù)f(z)在zo處滿(mǎn)足 Cauchy-Riemann條件，那么f(z)在zo 解析。3、假設(shè)函數(shù)f(z)在Z0解析，那么f(z)在Z0處滿(mǎn)足Cauchy-Riemann條 件。()4、 假設(shè)

39、函數(shù)f(z)在是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，貝U f'(z) 0( z D)。5、假設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，那么對(duì)D內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C都有 f(z)dz 0。C6、假設(shè)f在區(qū)域D內(nèi)解析，那么對(duì)D內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C都有C f (z)dz 0。7、假設(shè)f'(z)0( z D)，貝U函數(shù)f(z)在是D內(nèi)的單葉函數(shù)。8假設(shè)Z0是f(z)的m階零點(diǎn)，貝U Z0是1/ f(z)的m階極點(diǎn)。9、如果函數(shù) f(z)在 D z:|z| 1上解析，且 | f(z)| 1(|z| 1)，那么 |f(z)| 1(|z| 1)。10、| sin z| 1( z C)。二、填空題2x10=20分1、 假設(shè)

40、 Zn -一2 i(1 丄廣，貝U lim zn 。1 nnz12、 設(shè)f (z) 2，貝U f (z)的定義域?yàn)?。z 13、 函數(shù)sin z的周期為。4、sin2 z cos2z 。5、幕級(jí)數(shù) nzn的收斂半徑為。6假設(shè)zo是f(z)的m階零點(diǎn)且 m>1,那么zo是f'(z)的 點(diǎn)7、 假設(shè)函數(shù)f(z)在整個(gè)復(fù)平面處處解析，那么稱(chēng)它是 。8、 函數(shù)f(z)=|z|的不解析點(diǎn)之集為。9、方程2z5 z3 3z 8 0在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 10、公式 eix cosx i sinx 稱(chēng)為。三、計(jì)算題5x6=30分：四、證明題6+7+7=20分1、 方程z7 9z6 6z3 1 0

41、在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為6。2、假設(shè)函數(shù)f(z) u(x,y) iv(x, y)在區(qū)域D內(nèi)解析，v(x,y)等于常數(shù)，那么f (x)在D內(nèi)恒等于常數(shù)。3、假設(shè)Z0是f (z)的m階零點(diǎn)，貝U z0是1/f (z)的m階極點(diǎn)。1、2、設(shè) f (z)37為，其中 C z:|z| 3，試求 f'(1 i).cz3、設(shè) f(z)求 Res(f (z),i).34、求函數(shù)sjn在o |z|內(nèi)的羅朗展式。z715、求復(fù)數(shù)w 的實(shí)部與虛部z 1i6求e 3的值2、設(shè) f (z)1d，其中Cz:|z| 3，試求 f'(1 i).?復(fù)變函數(shù)?考試試題六一、判斷題3x8=24分1、假設(shè)函數(shù)f(z)在

42、Z0解析，那么f(z)在Z0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)。2、假設(shè)函數(shù)f(z)在zo處解析，那么f(z)在zo滿(mǎn)足Cauchy-Riemann條 件。3、如果z0是f的可去奇點(diǎn)，那么lim f(z) 定存在且等于零。()z Z04、假設(shè)函數(shù)f(z)是區(qū)域D內(nèi)的單葉函數(shù)，那么f'(z)0( z D)5、假設(shè)函數(shù)f是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，貝尼在D內(nèi)有任意階導(dǎo) 數(shù)。6假設(shè)函數(shù)f在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某個(gè)圓內(nèi)恒為常數(shù)， 那么在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù)。7、假設(shè)Z0是f(z)的m階零點(diǎn)，貝U z0是1/ f(z)的m階極點(diǎn)。8、| sinz| 1( z C)。二、填空題2x10=20分1 11、假設(shè) zn si

43、n i(1 -)n，貝U lim zn 。1 nnn2、 設(shè)f(z) 亠，那么f(z)的定義域?yàn)?lt;z 13、 函數(shù)ez的周期為。2 24、sin z cos z 。25、 幕級(jí)數(shù) n2zn 的收斂半徑為。n 06、假設(shè)z0是f(z)的m階零點(diǎn)且m>1，那么Z0是f'(z)的 點(diǎn)7、 假設(shè)函數(shù)f(z)在整個(gè)復(fù)平面處處解析，那么稱(chēng)它是 。&函數(shù)f(z)=|z|的不解析點(diǎn)之集為。9、方程3z8 z3 3z 8 0在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為。Ze10、Res(n，0)。z三、計(jì)算題5x6=30分1、求 1 iJ 2ze3、設(shè) f(z) ，求 Res(f(z),O).z4、求函數(shù)

44、在1 |z| 2內(nèi)的羅朗展式。5、求復(fù)數(shù)w異的實(shí)部與虛部。6、利用留數(shù)定理計(jì)算積分:dx,(a 1).a cosx四、證明題6+7+7=20分1、方程 24z7 9z6 6z3 z30在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為7。2、假設(shè)函數(shù)f (z) u(x, y)iv(x, y)在區(qū)域D內(nèi)解析，|f(z)|等于常數(shù)，那么f(z)在D內(nèi)恒等于常數(shù)。3、假設(shè)Z0是f (z)的m階零點(diǎn)，貝U Z0是1/ f(z)的m階極點(diǎn)五、計(jì)算題10分 求一個(gè)單葉函數(shù)，去將z平面上的上半單位圓盤(pán)z:| z| 1,Im z 0保形映射為w平面的單位圓盤(pán)w:| w | 1 o?復(fù)變函數(shù)?考試試題七一、判斷題2x10=20分1、假設(shè)函

45、數(shù)f(z)在z0可導(dǎo)，那么f(z)在z0解析。2、假設(shè)函數(shù)f(z)在z0處滿(mǎn)足 Cauchy-Riemann條件，那么f(z)在z0解析。3、如果Z0是f(z)的極點(diǎn)，那么lim f (z) 一定存在且等于無(wú)窮大。()z z04、假設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，那么對(duì)D內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C都有 f(z)dz 0。C5、假設(shè)函數(shù)f(z)在zo處解析，那么它在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開(kāi) 為幕級(jí)數(shù)。6假設(shè)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，那么對(duì)D內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C都有 f(z)dz 0。C7、假設(shè)函數(shù)f在區(qū)域D內(nèi)的解析，且在D內(nèi)某一條曲線(xiàn)上恒為常數(shù)，那么f(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等于常數(shù)。8、 假設(shè)zo是f(z

46、)的m階零點(diǎn)，貝U zo是1/ f(z)的m階極點(diǎn)。9、如果函數(shù)f(z)在D z:|z| 1上解析，且|f(z)| 1(|z| 1)，那么I f(z)| 1(|z| 1)。10、lim ez。z二、填空題2x10=20分1、假設(shè) zn sin i(1 -)n，貝U lim 召 。1 nnz12、 設(shè)f(z)，貝U f (z)的定義域?yàn)椤?、sin- z2cos zsin z5、 幕級(jí)數(shù) nzn的收斂半徑為。n 06、假設(shè)z0是f(z)的m階零點(diǎn)且m>1，那么Z0是f'(z)的 點(diǎn)。7、假設(shè)函數(shù)f(z)在整個(gè)復(fù)平面除去有限個(gè)極點(diǎn)外，處處解析，貝U稱(chēng)它是。8函數(shù)f (z) z的不解析

47、點(diǎn)之集為 。9、方程20z8 11z 函數(shù)sin z的周期為。 3z 50在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為z10、Res(身,1) z 1三、計(jì)算題5x6=30分1、lim n 62、設(shè) f (z)-7 d ，其中 C z:|z| 3，試求 f'(1 i).3、設(shè) f(z)ez廠 1，求Res(f(z), i).Cz4、求函數(shù) 斥刁在1 |z| 2內(nèi)的羅朗展式。5、求復(fù)數(shù)w和的實(shí)部與虛部。6、利用留數(shù)定理計(jì)算積分2小x x 2,-72 dx。x 10x9四、證明題6+7+7=20分1、方程z7 9z6 6z3 1 0在單位圓內(nèi)的根的個(gè)數(shù)為62、假設(shè)函數(shù)f(z) u(x, y) iv(x, y)在區(qū)域D內(nèi)解析，u(x, y)等于常數(shù)，貝