湖北省荊州市高一數(shù)學期末復習提綱

1、第一章：集合、常用邏輯用語（必修1，選修1）1集合：一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對象的全體表示： 列舉法、描述法、venn圖法、區(qū)間表示法分類：有限集(含空集)、無限集元素：確定性、互異性、無序性常見數(shù)集的字母表示：自然數(shù)N，正整數(shù), 有理數(shù)Q，實數(shù)集R2集合間的關(guān)系：包含（子集）、真包含（真子集）、相等證明：任意 x，都有x，則 集合有 n 個元素，則子集、真子集、非空子集、非空真子集有、，個3性質(zhì)空集是任何非空集合的真子集任何集合是它本身的子集空集是任何集合的子集包含、真包含的傳遞性（若）4全集、補集補集：交集：且并集：性質(zhì)：、；、；、摩根律： （交的補=補的并、并的補=補的交） 5命題及

2、其關(guān)系簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞或、且、非復合命題：簡單命題 + 邏輯聯(lián)結(jié)詞四種命題原命題：若 p , 則 q否命題：若 , 則 （注意與命題的否定區(qū)別：命題的否定是僅否定結(jié)論）逆命題：若 q , 則 p 逆否命題：若 q , 則原命題逆否命題， 否命題逆命題 判斷命題的真假可選用“直接法”和“間接法”，“間接法”包含以下途徑： （1）轉(zhuǎn)化為“非命題”判定；（2）轉(zhuǎn)化為“逆否命題”判定；（3）從集合的角度判定；（4）從幾何意義的角度“數(shù)形結(jié)合”判定 關(guān)鍵是“抓住關(guān)聯(lián)字詞”：不“或”即“且”，不“且”即“或” （5）“或”命題的真假特點是“一真即真，要假全假”；“且”命題的特點是“一假即假，要真全

3、真”；“非命題”的特點是“一真一假”6充要條件（分清條件與結(jié)論） p q , p 是 q 的充分條件；q 是 p 的必要條件 p q , p 是 q 的必要條件； q 是 p 的充分條件 p q , p 是 q 的充要條件；q 是 p 的充要條件友情提醒：學會從集合的觀點理解集合 A是B的充分（不必要）條件（A B） A是B的必要（不充分）條件（A B） A是B的充要條件7反證法步驟 (1)反設(shè) ；(2)歸謬； (3)否定假設(shè)，從而肯定原結(jié)論命題否定“ p或 q ”否定：>p 且 > q ;“p 且 q”否定：>p 或 > q“至少有一個”否定：一個也沒有“至多有一個”

4、否定：至少有兩個“都是”否定：不都是（至少有一個不是）8存在量詞與全稱量詞 量詞：（1）全稱量詞：“所有”“任意”“每一個”等表示全體的量詞（2）存在量詞：“有一個”“存在一個”“有些”等表示部分的量詞 含有量詞的命題：（1）全稱命題：含有全稱量詞的命題（2）存在命題：含有存在量詞的命題9含有一個量詞的命題的否定 “”的否定為“” “”的否定為“”第二章：函數(shù)（必修1）1映射：設(shè)A、B是兩個集合，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它對應，這樣的對應叫做從A到B的映射映射：每元有象，象唯一2函數(shù)：設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應法則f，對于集合

5、A中的每一個元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它對應，這樣的對應叫做從A到B的函數(shù)（1）三要素：定義域、值域，對應法則（2）與x軸垂直的直線與函數(shù)圖象至多有一個公共點，而與y軸垂直的直線與函數(shù)圖象的公共點可能沒有，可能任意個（3）函數(shù)圖象一定是坐標系中的曲線，但坐標系中的曲線不一定能成為函數(shù)圖象3函數(shù)性質(zhì)（1）單調(diào)性：某一個區(qū)間A，x1< x2, A若 f(x1) < f(x2) , 則 f(x) 在 A 上遞增；若f(x1) > f(x2) , 則 f(x) 在A 上遞減特殊地：當 f(x) > 0 時若 ，則f(x) 在A上遞增；若 ，則f(x)在A遞減復合函數(shù)單

6、調(diào)性：同增異減兩函數(shù)和的單調(diào)性：增 + 增=增； 減+減=減（在公共區(qū)間上）最值：設(shè)函數(shù)的定義域為A如果存在恒成立，則稱的最大值，記為如果存在恒成立，則稱的最小值，記為（2）奇偶性：（定義域關(guān)于原點對稱）奇(若在處有定義)偶兩函數(shù)積的奇偶性：同偶異奇 （3）奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相反 （4）復合函數(shù)的奇偶性：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”對稱性： ； ； ;推廣：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對稱函數(shù)滿足, 則函數(shù)的圖象關(guān)于對稱特例：函數(shù)滿足 , 則圖象關(guān)于 x = a 對稱兩個函數(shù)的圖象關(guān)于即對稱

7、特例：兩個函數(shù)的圖象關(guān)于對稱周期性：對于定義域中的每一個值，都有若為周期函數(shù)，則 的定義域為無限集兩次對稱可得周期（類比三角函數(shù)得）：若的圖象有兩條對稱軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為若的圖象有兩個對稱中心，則必是周期函數(shù)，且一周期為若的圖象有一個對稱中心和一條對稱軸，則必是周期函數(shù)，且一周期為特別地：若（或、）恒成立，則函數(shù)的圖象變換（尤其要掌握三角函數(shù)圖像的變換）平移：左+右，上+下-伸縮：注意x的系數(shù)的變化與橫坐標的變化的關(guān)系（反比）對稱：參見4. 注：（1） 圖象變換中，特殊點、特殊線也應作相應的變換（2） 函數(shù)的圖象按向量平移后，得函數(shù)的圖象 （3） 圖象變換應重視將所研究函數(shù)與常見函

8、數(shù)（正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、“魚鉤”函數(shù)等）聯(lián)系指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（a>0且a 1）指數(shù)運算性質(zhì)、根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪： 對數(shù)運算性質(zhì)： ； 比較大?。?1)利用單調(diào)性，注意與 0、1、-1 的比較(2)的值的范圍界定：當?shù)讛?shù)和真數(shù)同大于1或同小于1時，對數(shù)的值大于0；當?shù)讛?shù)和真數(shù)一個大于1，另小于1時，對數(shù)的值小于0注意：形如的函數(shù)，不一定是二次函數(shù)（可稱為偽二次） 應特別重視“二次三項式”，“二次函數(shù)”，“二次方程”，“二次曲線”間的特別聯(lián)系 形如的圖象是等軸雙曲線，雙曲線的兩漸近線的方程為：，雙曲線的中心是點冪函數(shù)：形如的

9、函數(shù)圖像：分幾種情形，可結(jié)合具體函數(shù)的圖像加以掌握根據(jù)圖像研究性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、對稱性）若，圖像是直線若，圖像是除（0，1）外的直線若，圖像過（0，0），（1，1），在第一象限是上凸的若，圖像過（0，0），（1，1），在第一象限是下凹的若，圖像（1，1）單調(diào)性：當時，在第一象限內(nèi)遞增；當時，在第一象限內(nèi)遞減奇偶性：令（既約分數(shù)） 若都是奇數(shù)，則函數(shù)是奇函數(shù)；若是奇數(shù)，是偶數(shù)，則函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；若是偶數(shù)，是奇數(shù)，則函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)與方程 函數(shù)的零點：一般地，方程的實數(shù)根又叫函數(shù)的零點零點存在定理：如果函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個c也

10、就是的根二分法：對于區(qū)間上連續(xù)的，且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，從而得到零點近似值的方法，叫做二分法第四章 三角函數(shù)（必修4、必修5）1角（1）分類：正角（逆時針）、零角、負角（順時針）；象限角、象間角（終邊落在坐標軸上的角）（2）終邊相同的角的集合： 終邊與終邊相同（終邊在終邊所在射線上） 終邊與終邊共線（終邊在終邊所在直線上） 終邊與終邊關(guān)于x軸對稱 終邊與終邊關(guān)于y軸對稱 終邊與終邊關(guān)于原點對稱 一般地，終邊與終邊關(guān)于的終邊對稱;所處的象限：（3）角度制、弧度制及其關(guān)系 （4）扇形中的有關(guān)結(jié)論：；2三角函數(shù)（1）定義：若點P（x,y），以

11、Ox為始邊，OP為終邊所成的角為,|OP|=r，則符號：（一正二正弦；三切四余弦）正弦：一、二象限為正；三、四象限為負余弦：一、四象限為正；二、三象限為負正切：一、三象限為正；二、四象限為負 注：AYXTP （2）三角函數(shù)線（有向線段的數(shù)量） a:利用三角函數(shù)線求角的取值范圍； b: M（3）基本關(guān)系平方關(guān)系： 商數(shù)關(guān)系： （4）誘導公式：(奇變偶不變，符號看象限)第一組：（函數(shù)名不變；符號看象限）；（）第二組：（函數(shù)名改變；符號看象限）； ； ；（5）倍角公式：； 降次公式：；（6）輔助角公式：；其中特別地：（7）三角變換主要是：角、函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)（常值）的變換，核心是角的變換 角的變換

12、主要是：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差的變換如 常值變換主要是“1”的變換：等 三角式的變換主要有：三角函數(shù)名互化，次數(shù)的升降，運算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化 注意正余弦“三姐妹”的內(nèi)在關(guān)系（常和三角換元聯(lián)系：如令）（8）正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)：（圖象、定義域、值域、奇偶性、單調(diào)區(qū)間 及單調(diào)性、最小正周期、對稱中心、對稱軸等等）正弦函數(shù)：對稱中心：，對稱軸：余弦函數(shù)：對稱中心：，對稱軸：正切函數(shù)：對稱中心： 注意：絕對值對三角函數(shù)周期的影響一般來說，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變

13、，其它不定如的周期是，但的周期是， 的周期不變不是周期函數(shù)三角函數(shù)圖象的作法：五點法、三角函數(shù)法，變換法（9）圖象變換 平移變換：軸方向上的平移：左加右減軸方向上的平移：上加下減伸縮變換：軸方向上的伸縮（周期變換）軸方向上的伸縮（振幅變換） 對稱變換：復制（保留原有部分）翻折（不保留原有部分） 須掌握三種圖像變換與對應的函數(shù)解析式的變化關(guān)系（10）常見方法： 切化弦法；“1”的恒等變形；齊次式的處理方法；“變角”，“變名”，“變形”在求值，化簡，證明中的應用，等等 解三角形三角形中的結(jié)論： 內(nèi)角和定理：A+B+C= 正、余弦定理： 邊角轉(zhuǎn)換 勾股定理：（余弦定理特例） 類似地： 面積公式： 有

14、關(guān)邊的不等式： 三角形中常見誘導公式有： 解三角形：可能有兩解、一解、無解a>b一解一解一解a=b無解無解一解a<b無解無解a>bsinA兩解a=bsinA一解a<bsinA無解（1） 知三邊： （2） 已知兩邊一角：，（3） 已知一邊、兩角：第五章：平面向量（必修4）1向量 有大小、有方向，用有向線段表示；區(qū)別向量與起點無關(guān)，有向線段與起點有關(guān)分類：平行向量（共線向量），相等向量，零向量（與任一向量平行）2向量加法（減法） 三角形法則平行四邊形法則注意：掌握單位向量（與共線的單位向量是，特別地：）、平行向量、相等向量、相反向量向量的平行無傳遞性（因為有零向量），向量相

15、等有傳遞性3當同向或有為時，右邊等號成立；當反向或有時，左邊等號成立；不共線，兩邊等號不成立4實數(shù)與向量積（仍為向量） 5向量共線充要條件：與非零向量共線共線不全為0的實數(shù)m,n，使6平面向量基本定理： 同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量平面內(nèi)的所有向量，有且只有一對實數(shù)使得 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底7平面向量坐標運算：點點則若 （3）（借助記） 8平面向量的數(shù)量積（此為數(shù)）=不超過2個向量的運算與數(shù)的運算基本一致與向量同向的單位向量可表示為 注意：為銳角不同向，即是為銳角的必要不充分條件為鈍角不反向，即是為鈍角的必要不充分條件9點的坐標平移公式： 點P（x ,y） 點其中 ，特別提醒：向量

16、平移后坐標不變10平面向量與其他知識的綜合（比較）（1） 與平幾：a) P為AB的中點 在ABCD中，為菱形 在ABCD中，為矩形 在四邊形ABCD中，為矩形b)為ABC的重心特別地； 為ABC的重心三角形重心公式：G（） 為ABC的垂心 過ABC的內(nèi)心* （2） 與代數(shù) a) 實數(shù)的積 數(shù)量積 結(jié)合律：(ab)c=a(bc) 消去律：ab=ac(a0) ab=0a=0或b=0 或= b)代數(shù)不等式： （3）與解幾： 點向式方程：若L過點，且方向向量為（u,v）,則L的方程為： 第三章 數(shù)列（必修5）數(shù)列（1）按一定順序排列的數(shù)（2）通項公式：第項與項數(shù)之間的關(guān)系但不是所有數(shù)列都有通項公式，若

17、有通項公式也不一定唯一，即可有多個通項公式（3）分類：按項數(shù)有限無限分：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列按項的值的變化：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列（4）遞推公式：已知前一項或幾項，任一項與它前一項（或前幾項）間的關(guān)系（5）通項與前項和間的關(guān)系： （必要時請分類討論）2等差數(shù)列（1）通項公式：，（2）判斷等差數(shù)列的方法：利用定義：對任意或任意且，利用通項公式：（與一次函數(shù)有關(guān)） 中項法（3）等差中項：是的等差中項三數(shù)成等差（4）前項和公式：公式： 是關(guān)于的二次表達式（不含常數(shù)項）（5）性質(zhì)：若公差0，則若，則成等差成等差 推廣為：一個等差數(shù)列中每隔項仍成等差等差數(shù)列中每相鄰項之和仍成等差，且公差為.為等差數(shù)

18、列，則是公比為的等比數(shù)列一般地，三數(shù)（奇數(shù)個數(shù)）成等差的設(shè)法：，其公差為；四數(shù)（偶數(shù)個數(shù)）成等差的設(shè)法：，其公差為首項為正的遞減等差數(shù)列中，前n 項和的最大值是所有的非負項之和首項為負的遞增等差數(shù)列中，前n 項和的最小值是所有的非正項之和項數(shù)為2n的等差數(shù)列，項數(shù)為2n+1的等差數(shù)列，（數(shù)列中項）3等比數(shù)列（1）通項公式： 等比數(shù)列中，公比不能為0，各項均不能為0；奇（偶）數(shù)項一定同號（2）判斷等比數(shù)列的方法：定義法：任意或任意且，中項法：利用通項公式：（與指數(shù)函數(shù)有關(guān)）（3）等比中項：成等比（只有兩個同號的數(shù)才有等比中項，而且有兩個）（4）前項和公式：（5）性質(zhì)：若公比，則若，則成等差成等比

19、 推廣為：一個等比數(shù)列中每隔項仍成等比等比數(shù)列中每相鄰項之和仍成等比（），且公比為.為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，則為公差的等比數(shù)列三數(shù)（奇數(shù)個數(shù)）成等比的設(shè)法：，其公比為；四數(shù)（偶數(shù)個數(shù)）成等比的設(shè)法：，其公比為（注意此種設(shè)法應確認公比為正）“首大于1”的正項遞減等比數(shù)列中，前n 項積的最大值是所有的大于或等于1的項之積；“首小于1”的正項遞增等比數(shù)列中，前n 項積的最小值是所有的小于或等于1的項之積項數(shù)為2n的等比數(shù)列，項數(shù)為2n+1的等比數(shù)列，4如果兩等差數(shù)列有公共項，則由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)如果一等差數(shù)列和一等比數(shù)列有公共項順次組成

20、新數(shù)列，那么常選用“由特殊到一般的方法”研究，且以等比數(shù)列的項為主，探求等比數(shù)列中哪些是公共項注意 ：公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究也有少數(shù)問題研究，即要求項、項數(shù)相同5數(shù)列的求和方法：（1）公式法：求和公式；（2）反（倒）序求和法如和式中到首尾距離相等的兩項的和有共性，?？紤]該法這也是等差數(shù)列和公式的推導方法（3）錯位相減法等比或混合數(shù)列適用于數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項和一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成（4）裂項法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后有關(guān)聯(lián)，則常用裂項求和常用裂項形式有： （以下為理科內(nèi)容） （5）分組（并項）求和：常將“和式”中“同類項”先

21、合并在一起，在運用公式法求和（6）累加、累乘法：=（-）+（-）+（-）+；6幾種常見數(shù)列的前n項和：（1） （2） （3）第六章 不等式（必修）1不等式性質(zhì)：(傳遞性)倒數(shù)法則：*（理科）左邊等號成立條件： 右邊的等號成立的條件：2證明不等式的依據(jù)：； 不等式性質(zhì)（以上7條）重要不等式 ； ； 2； （冪平均）（算術(shù)平均）（幾何平均）（調(diào)和平均） *（理科）(純的大于或等于雜的)； （柯西不等式）3極值定理： 和定積最大；積定和最小注意“一正二定三相等”的條件4證明不等式的方法比較法： 作差、作商（同正或同負） 分析法：(1)欲證，即證(2)證明成立成立.綜合法：應用基本不等式、不等式的性質(zhì)

22、；函數(shù)性質(zhì)法（單調(diào)性等）；放縮法5不等式的解法：（注：不等式的解集最后務必用集合的形式表示）序軸標根（x的系數(shù)為正）含絕對值 (1)分段討論 (2)平方 (3)公式簡單的指數(shù)、對數(shù)不等式 (1)利用單調(diào)性 (2)注意對數(shù)的真數(shù)大于0 注：設(shè)，對于 ，使得 6一元二次不等式的解集：x2 + bx + c > 0 , ( a> 0) （其中 x1、x2 為對應方程的根，x1 < x2 ）>0時；解集=0時；解集<0時；解集R a x2 + b x+ c< 0 , ( a > 0 )a (x x1 )( x x2 ) < 0 >0時，解集x| x

23、1 < x < x20時，解集： a < 0 時轉(zhuǎn)化為正的；分式轉(zhuǎn)化為整式*7（理科）絕對值不等式的解集（去絕對值的方法：平方、分類討論） | x |<a, (a>0)（a , a） | x |>a, (a>0)（,a）(a , +) a<| x |<b ,(0<a<b)（ a , b )(b , a) | x |< a , ( a < 0 ) | x | > a, ( a <0 ) 第九章：立體幾何初步（必修2）一空間幾何體：1棱柱、棱錐、棱臺由一個平面多邊形沿某一方向平移形成的空間幾何體叫棱柱當棱柱的

24、一個底面收縮為一個點時，得到的幾何體叫棱錐底面水平放置的棱錐（圓錐）被平行于底面的平面的所截，底面與截面之間的幾何體叫做棱臺（圓臺） 棱柱性質(zhì)：（1）側(cè)棱都相等、側(cè)面是平行四邊形（2）底面、平行于底面的截面是全等多邊形（3）過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形 長方體對角線性質(zhì)：（1）對角線長的平方等于長、寬、高的平方和：（注意與的聯(lián)系）*（2）對角線與三條棱（長、寬、高）分別成角，則（線線角）*（3）對角線與同一頂點出發(fā)的三個面分別成角，則（線面角）注：了解割補法（三棱柱補成四棱柱）、了解幾種特殊的四棱柱的關(guān)系：直四棱柱、平行六面體、長方體、正四棱柱、正方體正棱錐性質(zhì)：（特征三角形） （1）各側(cè)棱相等，側(cè)面是等腰三角形； （2）高、斜高、斜高在底面射影（內(nèi)切圓半徑）構(gòu)成直角三角形； 高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面射影（外接圓半徑）構(gòu)成直角三角形； 底面邊長一半、側(cè)棱在底面射影、斜高在底面射影構(gòu)成直角三角形2圓柱、圓錐、圓臺和球?qū)⒕匦?、直角三角形、直角梯形分別繞著它的一邊、一直角邊、垂直于底邊的腰所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體分別叫做圓柱、圓錐、圓臺半圓繞著它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而形成的幾何體叫做球體（簡稱球），半圓旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫球面*3中心投影與平行投影： 三視圖是觀察者從不同的位置