第06章梁的復雜問題(20151版)

1、材料力學材料力學第六章第六章 梁的復雜問題梁的復雜問題6. .2 平面曲桿中的應力平面曲桿中的應力* *6. .1 其它平面彎曲構件的內力與變形其它平面彎曲構件的內力與變形6. .3 非對稱彎曲與斜彎曲非對稱彎曲與斜彎曲6. .4 開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心6. .5 連續(xù)梁連續(xù)梁* *6. .6 復合梁復合梁第六章第六章 梁的復雜問題梁的復雜問題6. .1 其它平面彎曲構件的內力與變形其它平面彎曲構件的內力與變形一、多跨靜定梁一、多跨靜定梁二、平面剛架二、平面剛架三、平面曲桿三、平面曲桿6. .1 其它平面彎曲構件的內力和變形其它平面彎曲構件的內力和

2、變形一、多跨靜定梁一、多跨靜定梁多跨靜定梁多跨靜定梁跨數大于跨數大于 1 且所有支座反力均可由且所有支座反力均可由靜力平衡方程求出的梁靜力平衡方程求出的梁6. .1 其它平面彎曲構件的內力和變形其它平面彎曲構件的內力和變形解：解：1. .求支反力求支反力取取AB段為研究對象段為研究對象2. .畫剪力圖和彎矩圖畫剪力圖和彎矩圖lllqql2ABCFAyFQBql2BqCBAFQB根據平衡條件，可求得根據平衡條件，可求得2QqlFFBAy FQM例例1 試試畫圖示多跨靜定梁的剪力圖和彎矩圖。畫圖示多跨靜定梁的剪力圖和彎矩圖。ql/23ql/2ql2ql /22ql /22FAy6. .1 其它平面

3、彎曲構件的內力和變形其它平面彎曲構件的內力和變形二、平面剛架二、平面剛架剛剛 架架由兩根及以上桿件由兩根及以上桿件剛性聯接剛性聯接起來的結構起來的結構平面剛架平面剛架各桿件的軸線在同一平面內的剛架各桿件的軸線在同一平面內的剛架剛剛 節(jié)節(jié) 點點受力后受力后桿件之間桿件之間夾角不變夾角不變的聯接點的聯接點6. .1 其它平面彎曲構件的內力和變形其它平面彎曲構件的內力和變形剛節(jié)點剛節(jié)點6. .1 其它平面彎曲構件的內力和變形其它平面彎曲構件的內力和變形鉸節(jié)點鉸節(jié)點6. .1 其它平面彎曲構件的內力和變形其它平面彎曲構件的內力和變形二、平面剛架二、平面剛架剛剛 架架由兩根及以上桿件剛性聯接起來的結構由

4、兩根及以上桿件剛性聯接起來的結構平面剛架平面剛架各桿件的軸線在同一平面內的剛架各桿件的軸線在同一平面內的剛架剛剛 節(jié)節(jié) 點點受力后受力后桿件之間桿件之間夾角不變夾角不變的聯接點的聯接點6. .1 其它平面彎曲構件的內力和變形其它平面彎曲構件的內力和變形二、平面剛架二、平面剛架內力及其符號規(guī)定：內力及其符號規(guī)定： 軸力軸力FN ：拉拉為為+ +，壓壓為為- - 剪力剪力FQ ：繞研究體繞研究體順時針順時針轉為轉為+ +，逆時針逆時針轉為轉為- - 彎矩彎矩 M ：不規(guī)定不規(guī)定+ +、- -內力圖的畫法：內力圖的畫法： 軸力和剪力圖：畫在剛架的任一側，標明正負號軸力和剪力圖：畫在剛架的任一側，標明

5、正負號 彎彎 矩矩 圖：畫在剛架的圖：畫在剛架的受壓側受壓側，不標正負號，不標正負號 ( (通常正值畫在剛架的外側通常正值畫在剛架的外側) ) ( (即：即：人站在剛架內，按梁的方法畫人站在剛架內，按梁的方法畫) )6. .1 其它平面彎曲構件的內力和變形其它平面彎曲構件的內力和變形解：解：1. .求支反力求支反力2. .畫內力圖畫內力圖qaaABCFCyFAyFAx2qaFFCyAy qaFAx qaqa /2M例例2 試畫出圖示剛架的內力圖。試畫出圖示剛架的內力圖。FNFQqa /2qa /22qa /226. .1 其它平面彎曲構件的內力和變形其它平面彎曲構件的內力和變形三、平面曲桿三、

6、平面曲桿平面曲桿平面曲桿軸線為平面曲線的桿件軸線為平面曲線的桿件( (平面曲梁平面曲梁) )內力及其符號規(guī)定：內力及其符號規(guī)定： 軸力軸力FN ：拉拉為為+ +，壓壓為為- - 剪力剪力FQ ：繞研究體繞研究體順時針順時針轉為轉為+ +，逆時針逆時針轉為轉為- - 彎矩彎矩 M ：不規(guī)定不規(guī)定+ +、- -內力圖的畫法：內力圖的畫法：畫在曲桿軸線的法線方向畫在曲桿軸線的法線方向 軸力和剪力圖：畫在曲桿的任一側，標明正負號軸力和剪力圖：畫在曲桿的任一側，標明正負號 彎彎 矩矩 圖：畫在曲桿的圖：畫在曲桿的受壓側受壓側，不標正負號，不標正負號 ( (即：即：人站在曲桿內，按梁的方法畫人站在曲桿內，

7、按梁的方法畫) ) ( (通常正值畫在曲桿的外側通常正值畫在曲桿的外側) )6. .1 其它平面彎曲構件的內力和變形其它平面彎曲構件的內力和變形解：解：1. .求橫截面上的內力求橫截面上的內力由截面法，取右段為研究對象由截面法，取右段為研究對象RFOABFmm Ont B: 0 nF0cosN FF: 0 tF0sinQ FF:0 CM0cos1 )( FRMmm cosNFF sinQFF )( cos1 FRM2. .畫內力圖畫內力圖FFF2FRC例例3 試求圖示曲桿的內力，并畫出曲桿的內力圖。試求圖示曲桿的內力，并畫出曲桿的內力圖。FNFQMFNFQM第六章第六章 梁的復雜問題梁的復雜問

8、題6. .3 非對稱彎曲與斜彎曲非對稱彎曲與斜彎曲一、非對稱彎曲的概念一、非對稱彎曲的概念二、斜彎曲二、斜彎曲6. .3 非對稱彎曲與斜彎曲非對稱彎曲與斜彎曲一、非對稱彎曲的概念一、非對稱彎曲的概念FF縱向對稱面縱向對稱面F軸線軸線平面彎曲平面彎曲對稱彎曲對稱彎曲6. .3 非對稱彎曲與斜彎曲非對稱彎曲與斜彎曲一、非對稱彎曲的概念一、非對稱彎曲的概念非對稱彎曲非對稱彎曲的的兩種情況兩種情況：1. .梁梁雖有縱向對稱面，但載荷不作用在該平面內；雖有縱向對稱面，但載荷不作用在該平面內；2. .梁沒有縱向對稱面。梁沒有縱向對稱面。FFF縱向對稱面縱向對稱面F軸線軸線6. .3 非對稱彎曲與斜彎曲非對

9、稱彎曲與斜彎曲yzxlFK.xyzFyz 二、斜彎曲二、斜彎曲1. .內力內力 將將F分解分解為為： 求矩形截面懸求矩形截面懸臂梁臂梁 x 截面上截面上 K點的應力和撓度點的應力和撓度Fz = Fsin 產生產生 xz 平面平面內的內的平面彎曲平面彎曲 Fy = Fcos 產生產生 xy 平面平面內的內的平面彎曲平面彎曲 FyFzFyFzx 截面上的彎矩截面上的彎矩： )(xlFM x 截面上的截面上的總彎矩總彎矩)(xlFMyz cos)(xlF cosM )(xlFMzy sin)(xlF sinM 6. .3 非對稱彎曲與斜彎曲非對稱彎曲與斜彎曲yzx.xyzMKMyMz 求矩形截面懸求

10、矩形截面懸二、斜彎曲二、斜彎曲1. .內力內力 將將F分解分解為為：臂梁臂梁 x 截面上截面上 K點的應力和撓度點的應力和撓度Fz = Fsin 產生產生 xz 平面平面內的內的平面彎曲平面彎曲 Fy = Fcos 產生產生 xy 平面平面內的內的平面彎曲平面彎曲 x 截面上的彎矩截面上的彎矩： )(xlFM x 截面上的截面上的總彎矩總彎矩)(xlFMyz cos)(xlF cosM )(xlFMzy sin)(xlF sinM 6. .3 非對稱彎曲與斜彎曲非對稱彎曲與斜彎曲2. .應力應力 ( (1) ) Fy單獨作用單獨作用時時 ( (2) ) Fz單獨作用單獨作用時時 zzIyM y

11、IMz cos yyIzM zIMy sin ( (3) ) Fy和和Fz同時作用同時作用時時 平面方程平面方程 zIyIMyz sincos 求矩形截面懸求矩形截面懸二、斜彎曲二、斜彎曲臂梁臂梁 x 截面上截面上 K點的應力和撓度點的應力和撓度yzx.xyzMKMyMz cosMMz sinMMy 6. .3 非對稱彎曲與斜彎曲非對稱彎曲與斜彎曲2. .應力應力 ( (1) ) Fy單獨作用單獨作用時時 ( (2) ) Fz單獨作用單獨作用時時 zzIyM yIMz cos yyIzM zIMy sin ( (3) ) Fy和和Fz同時作用同時作用時時平面方程平面方程 zIyIMyz sin

12、cosy zy zy zba c max t max中性軸中性軸 zIyIMyz sincos6. .3 非對稱彎曲與斜彎曲非對稱彎曲與斜彎曲y zy zy zba c max t max中性軸中性軸3. .中性軸位置中性軸位置 0sincos00 zIyIyz 結論結論1：中性軸通過橫截面的形心中性軸通過橫截面的形心 Fyz (y , z )00ba中性軸中性軸中性軸與中性軸與 z 軸的夾角軸的夾角： 00tanzy 當當Iy Iz 時時， ， 中性軸與載荷作用面不垂直中性軸與載荷作用面不垂直 ：0 tanyzII zIyIMyz sincos當當Iy = Iz 時時， = ， 中性軸與載荷

13、作用面垂直中性軸與載荷作用面垂直 6. .3 非對稱彎曲與斜彎曲非對稱彎曲與斜彎曲y zy zy zba c max t max中性軸中性軸4. .危險點位置危險點位置 Fyz 中性軸中性軸(y , z )00ab在離中性軸距離最遠處在離中性軸距離最遠處 zIyIMyz sincosFyz (y , z )00ba中性軸中性軸6. .3 非對稱彎曲與斜彎曲非對稱彎曲與斜彎曲 zIyIMyz sincosy zy zy zba c max t max中性軸中性軸5. .強度條件強度條件 max maxmaxmax|sin|cos|zIyIMyz yzWWM sincos| max Fyz (y

14、, z )00ba中性軸中性軸6. .3 非對稱彎曲與斜彎曲非對稱彎曲與斜彎曲6. .變形變形( (撓度撓度) ) ( (1) ) Fy單獨作用單獨作用時時zyyEIxlxF632)( ( (2) ) Fz單獨作用單獨作用時時yzzEIxlxF632)( zIExlFx cos632)( yIExlFx sin632)( yzxlFK.xyzFyz FyFzFyFz6. .3 非對稱彎曲與斜彎曲非對稱彎曲與斜彎曲6. .變形變形( (撓度撓度) ) ( (1) ) Fy單獨作用單獨作用時時zyyEIxlxF632)( ( (2) ) Fz單獨作用單獨作用時時yzzEIxlxF632)( ( (

15、3) ) Fy和和Fz同時作用同時作用時時 zIExlFx cos632)( yIExlFx sin632)( 22222sincos63yzIIExlFx )(22zy Fyz z yFyFz中性軸中性軸6. .3 非對稱彎曲與斜彎曲非對稱彎曲與斜彎曲總撓度總撓度 與與 y 軸的夾角軸的夾角： tan結論結論2：撓曲線為撓曲線為平面曲線平面曲線 結論結論3：撓曲線所在的平面垂直于撓曲線所在的平面垂直于中性軸中性軸當當 Iy = Iz 時時， = 當當 Iy Iz 時，時， yz tanyzII tantanyzII6. .變形變形( (撓度撓度) ) ( (1) ) Fy單獨作用單獨作用時時

16、zyyEIxlxF632)( ( (2) ) Fz單獨作用單獨作用時時yzzEIxlxF632)( zIExlFx cos632)( yIExlFx sin632)( Fyz z yFyFz中性軸中性軸平面彎曲平面彎曲； 斜彎曲斜彎曲。 第六章第六章 梁的復雜問題梁的復雜問題6. .4 開口薄壁桿件的彎曲切應力開口薄壁桿件的彎曲切應力 與彎曲中心與彎曲中心一、開口薄壁桿件彎曲的概念一、開口薄壁桿件彎曲的概念二、開口薄壁桿件的彎曲切應力二、開口薄壁桿件的彎曲切應力三、開口薄壁桿件的彎曲中心三、開口薄壁桿件的彎曲中心6. .4 開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心且

17、且載荷作用在載荷作用在縱向對稱面縱向對稱面內內 桿件只發(fā)生桿件只發(fā)生彎曲變形彎曲變形 yzF縱向對稱面縱向對稱面軸線軸線且且載荷作用在載荷作用在形心主慣性平面形心主慣性平面內內 桿件既發(fā)生桿件既發(fā)生彎曲變形彎曲變形 yzFO一、一、開口薄壁桿件彎曲的概念開口薄壁桿件彎曲的概念 又發(fā)生又發(fā)生扭轉變形扭轉變形 不發(fā)生不發(fā)生扭轉變形扭轉變形 載荷作用線通過橫截面形心載荷作用線通過橫截面形心 載荷作用線通過橫截面形心載荷作用線通過橫截面形心 有縱向對稱面的桿件有縱向對稱面的桿件 開口薄壁桿件開口薄壁桿件 6. .4 開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心yzFAO載荷作用

18、在某一載荷作用在某一特定特定的的 A點點桿件將桿件將只發(fā)生只發(fā)生彎曲變形彎曲變形 彎曲中心彎曲中心橫向力作用在開口薄壁桿件的橫截面內橫向力作用在開口薄壁桿件的橫截面內 使得桿件使得桿件只發(fā)生只發(fā)生彎曲變形、彎曲變形、不發(fā)生不發(fā)生扭轉扭轉 彎曲中心是形心主慣性平面彎曲中心是形心主慣性平面 ( (形心主慣軸形心主慣軸) )上的點上的點一、一、開口薄壁桿件彎曲的概念開口薄壁桿件彎曲的概念 不發(fā)生不發(fā)生扭轉變形扭轉變形且與且與形心主慣性平面形心主慣性平面平行時平行時變形的變形的特定點特定點 6. .4 開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心yzFAO載荷作用在某一載荷作用

19、在某一特定特定的的 A點點桿件將桿件將只發(fā)生只發(fā)生彎曲變形彎曲變形 彎曲中心彎曲中心橫向力作用在開口薄壁桿件的橫截面內橫向力作用在開口薄壁桿件的橫截面內 使得桿件使得桿件只發(fā)生只發(fā)生彎曲變形、彎曲變形、不發(fā)生不發(fā)生扭轉扭轉 開口薄壁桿件抗扭剛度較小開口薄壁桿件抗扭剛度較小 ，應避免發(fā)生扭轉變形，應避免發(fā)生扭轉變形一、一、開口薄壁桿件彎曲的概念開口薄壁桿件彎曲的概念 不發(fā)生不發(fā)生扭轉變形扭轉變形且與且與形心主慣性平面形心主慣性平面平行時平行時變形的變形的特定點特定點 6. .4 開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心彎曲正應力：彎曲正應力： zIMy 設：設：橫向力

20、橫向力F 通過彎曲中心，通過彎曲中心， 且且平行于平行于形心主慣性平面。形心主慣性平面。1. .假設假設: ( (1) ) 切應力沿壁厚均勻分布切應力沿壁厚均勻分布( (2) ) 切應力方向與截面周邊相切切應力方向與截面周邊相切 二、二、開口薄壁桿件的彎曲切應力開口薄壁桿件的彎曲切應力yFzxt6. .4 開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心2. .公式推導公式推導 abcd FN1FN2取微元體取微元體abcd 為研究對象為研究對象 :0 xF0d2N1N xtFF yFzxtdxxabcd *d11NAAF *dAzAIMyzzIMS* 二、二、開口薄壁桿件

21、的彎曲切應力開口薄壁桿件的彎曲切應力yFcb zA* Q *dAzAyIM6. .4 開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心由由切應力互等定理切應力互等定理: tISFzz*Q tISxMzz*dd tISFzz*Q zzIMSF*1N zzISMMF*2Nd)( 代入上式，得到代入上式，得到 abcd FN1FN2yFzxtyFcb zA* Qdxxabcd 2. .公式推導公式推導 取微元體取微元體abcd 為研究對象為研究對象 二、二、開口薄壁桿件的彎曲切應力開口薄壁桿件的彎曲切應力:0 xF0d2N1N xtFF 6. .4 開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲

22、中心開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心設：設： y 軸和軸和 z 軸為軸為形心主慣性軸形心主慣性軸 FQ 平行于平行于 y 軸軸三、三、開口薄壁桿件的彎曲中心開口薄壁桿件的彎曲中心yFz dAeCrQ 對于對于 z 軸上任意一點軸上任意一點C 由由合力矩定理合力矩定理：eFArA Qd 故故 AArFed 1Q 6. .4 開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心tyzbh2h2dO 1tISFzz*1Q1 tIhtFz 2 Q zIhF2Q 解：解：1. .翼緣中的切應力翼緣中的切應力例例4 試求圖示槽形截面的彎曲中心。試求圖示槽形截面的彎曲中心。6. .4 開口

23、薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心解：解：1. .翼緣中的切應力翼緣中的切應力例例4 試求圖示槽形截面的彎曲中心。試求圖示槽形截面的彎曲中心。2. .翼緣和腹板中的合力翼緣和腹板中的合力tISFzz*1Q1 zIhF2Q 1d11QAAF bztIhF 0 Qd2 zIhtbF42Q yzO 1 2 1tyzbh2h2dO 1y 26. .4 開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心yzOF Q2FQ1FQ1解：解：1. .翼緣中的切應力翼緣中的切應力2. .翼緣和腹板中的合力翼緣和腹板中的合力tISFzz*1Q1 zIhF2Q 3.

24、.彎曲中心彎曲中心例例4 試求圖示槽形截面的彎曲中心。試求圖示槽形截面的彎曲中心。yzO 1 2 1 1d11QAAF zIhtbF42Q Q2QFF 6. .4 開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心yzOFM=F hQ1QyzOF Q2FQ1FQ1解：解：1. .翼緣中的切應力翼緣中的切應力2. .翼緣和腹板中的合力翼緣和腹板中的合力tISFzz*1Q1 zIhF2Q 3. .彎曲中心彎曲中心例例4 試求圖示槽形截面的彎曲中心。試求圖示槽形截面的彎曲中心。 1d11QAAF zIhtbF42Q Q2QFF 6. .4 開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心開口薄壁

25、桿件的彎曲切應力與彎曲中心yzOFeQMeF Q例例4 試求圖示槽形截面的彎曲中心。試求圖示槽形截面的彎曲中心。解：解：1. .翼緣中的切應力翼緣中的切應力2. .翼緣和腹板中的合力翼緣和腹板中的合力tISFzz*1Q1 zIhF2Q 3. .彎曲中心彎曲中心yzOFM=F hQ1Q 1d11QAAF zIhtbF42Q Q2QFF hF1Q 6. .4 開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心開口薄壁桿件的彎曲切應力與彎曲中心yzOFeQQ1QFhFe zIthb422 結論結論：彎曲中心的位置僅與截面的彎曲中心的位置僅與截面的形狀形狀和和尺寸尺寸有關，有關，彎曲中心是截面的幾何性質之一彎曲中心是

26、截面的幾何性質之一 而與外力以及材料性能無關。而與外力以及材料性能無關。例例4 試求圖示槽形截面的彎曲中心。試求圖示槽形截面的彎曲中心。解：解：1. .翼緣中的切應力翼緣中的切應力2. .翼緣和腹板中的合力翼緣和腹板中的合力tISFzz*1Q1 zIhF2Q 3. .彎曲中心彎曲中心yzOFM=F hQ1Q 1d11QAAF zIhtbF42Q Q2QFF 第六章第六章 梁的復雜問題梁的復雜問題6. .6 復合梁復合梁一、直接分析法一、直接分析法二、轉換截面法二、轉換截面法6. .6 復合梁復合梁復合梁復合梁由由兩種兩種或或兩種以上兩種以上材料粘合而成的梁材料粘合而成的梁 6. .6 復合梁復

27、合梁一、直接分析法一、直接分析法FFaa實驗表明：實驗表明：復合梁在純彎曲變形時，復合梁在純彎曲變形時，平截面假設平截面假設和和單向受力單向受力假設假設仍然成立。仍然成立。h1h2E1A1E2A2b1b26. .6 復合梁復合梁一、直接分析法一、直接分析法根據根據平截面假設平截面假設，縱向線應變?yōu)?，縱向線應變?yōu)?根據單向受力假設，當根據單向受力假設，當 p時，由時，由胡克定律胡克定律有有 ( (i = 1, 2) )h1h2E1A1E2A2b1b2 y iiE yEii zyyy在兩材料交界處的在兩材料交界處的縱向應變連續(xù)縱向應變連續(xù)，而，而縱向應力不連續(xù)縱向應力不連續(xù)。 6. .6 復合梁復合梁由由靜力學靜力學方面，有方面，有h1h2E1A1E2A2b1b2 yEii zy0dd2121N AAAAF 0dd2121 AAAyEAyE為了確定為了確定 z 軸的位置軸的位置，取取參考坐標系參考坐標系y1z1，則有，則有 01yyy z1(y )10y代入上式，得到代入上式，得到 0dd22110121121 )(AEAEyAyEAyEAA22111211021ddAEAEAyEAyEyAA 22112211011AEAESESEyzz 中性軸位置中性軸