第二講連續(xù)型隨機變量

1、第二講第二講 連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù)連續(xù)型隨機變量及其密度函數(shù) P41P41 連續(xù)型隨機變量x所有可能取值充滿一個區(qū)間這種隨機變量不能象離散型隨機變量那樣, 用概率分布表描述,“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”的方式而是通過給出所謂 1 1 例調查某城市例調查某城市200200家零售店家零售店, ,得到如下調查表得到如下調查表月銷售額月銷售額 ( (萬元萬元) )0-100-10 10-2010-2020-3020-3030-4030-4040-5040-5050-6050-6060-7060-70頻數(shù)頻數(shù)3030404055553535202015155 5請作出其頻率直方圖請作出其頻率直方圖

2、解解 (1) 頻率分布表為頻率分布表為月銷售月銷售額額(萬元萬元)0-1010-2020-3030-4040-5050-6060-70頻率頻率f=k/n一一 頻率直方圖頻率直方圖 P128P1280.150.20.2750.1750.10.0750.025 月銷售月銷售額額(萬元萬元)0-1010-2020-3030-4040-5050-6060-70 頻率頻率 f=k/n0.150.20.2750.1750.10.0750.025 f1/d(d為組距為組距)0.0150.020.02750.01750.010.00750.0025(2) (2) 作圖作圖備注備注: :長方形的面積為數(shù)據(jù)落長方

3、形的面積為數(shù)據(jù)落 在此區(qū)間的頻率在此區(qū)間的頻率(2) 任何界于任何界于x=a,x=bx=a,x=b之間的之間的 面積為數(shù)據(jù)落在此區(qū)間的頻率面積為數(shù)據(jù)落在此區(qū)間的頻率02040 60f1/d2 2 頻率直方圖演示頻率直方圖演示3 3 密度與直方圖演示密度與直方圖演示二二 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量( (r.v)定義定義使得對任意使得對任意a a , , b b)(bXaP則稱則稱X X為連續(xù)型為連續(xù)型 r.v,對于隨機變量對于隨機變量X X, ,如果存在如果存在非負非負可積函數(shù)可積函數(shù)j j(x)badxx)(j稱稱j j(x)為為X X的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)random variabl

4、erandom variableP41P412. 2. 概率密度函數(shù)的性質概率密度函數(shù)的性質 P41P41(1) j j(x) 0， x （-，+ ）1)() 2(jdxx面積為面積為1 j j(x)xo特別地特別地 隨機變量隨機變量X X只落在區(qū)間只落在區(qū)間a,ba,b上上, ,)(xj則則X X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為: :xabb0a x bb)(1xj j j(x)xo 密度函數(shù)密度函數(shù)j j (x)在某點處在某點處a a的高度，并不反的高度，并不反映映X X取值的概率取值的概率. .但是，這個高度越大，則但是，這個高度越大，則X X取取a a附近的值的概率就越大附近的值的概率

5、就越大. . 也可以說也可以說 在某點在某點密度函數(shù)曲線的高度反映了概率集中在該點密度函數(shù)曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度附近的程度. .3 3 說明說明4 連續(xù)型連續(xù)型r.v r.v 的概率計算的概率計算 P43P43) 1 ()(bXaP)(aXP)(aXaPaadxx)(j0)2()(bXaP)(bXaP)(bXaP)3()(XaPadxx)(j)(XaP)4()(aXP)(aXPadxx)(jbadxx)(j連續(xù)r.v.在任何一點的概率都為0, 但它不是不可能事件 X X 均勻地落在均勻地落在 a, ba, b 上上 5 5 均勻分布均勻分布 P43P43)(xjabxab 1

6、)(xj在在a, ba, b上為上為常數(shù)常數(shù)面積為面積為1 1)(xj= =aXbaXbab 1XaXbXb0 0則稱則稱X X服從區(qū)間服從區(qū)間( ( a, ba, b) )上的均勻分布上的均勻分布X X U(a, b)記作記作例例1 1 某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午7 7時起，每時起，每1515分鐘來分鐘來一班車，即一班車，即 7:007:00，7:157:15，7:30, 7:457:30, 7:45 等時等時刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間刻有汽車到達此站，如果乘客到達此站時間 X X 是是7:00 7:00 到到 7:30 7:30 之間的均勻隨機變量之間的均勻隨機變量,

7、 , 試求試求他候車時間少于他候車時間少于5 5分鐘的概率分鐘的概率 解解X X U ( 0, 30 ) )30,0(0)30,0(301)(xxxj0 03030301A=A=候車時間少于候車時間少于5 5分鐘分鐘 )( AP1515101025251510XP3025XP1510301dx3025301dx31 指數(shù)分布表示指數(shù)分布表示獨立隨機事件發(fā)生的時間間獨立隨機事件發(fā)生的時間間隔隔，比如旅客進機場的時間間隔，比如旅客進機場的時間間隔, ,或電子元件或電子元件的的壽命壽命 6 6 指數(shù)分布指數(shù)分布X X的概率密度為的概率密度為則稱則稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布的指數(shù)分布X X

8、 Exponential ()000)(xxexxj記作記作1EX平均時間或平均時間或平均壽命平均壽命X X Exp ()或或00020001)(20001xxexxj例例2 2 某電子元件的壽命某電子元件的壽命X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為20001的指數(shù)分布的指數(shù)分布, ,求其壽命不超過求其壽命不超過12001200小時的概率小時的概率解解1200XP120002000120001dxex0120020001xe6 . 01e451. 0ceadxebaxbax1例例3 X3 X服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布000)(xexxxj, ,求求PXt,PXs+t|Xs (s,t0)PXt,PXs+t|X

9、s (s,t0)解解|sXtsXP)()(sXtsXPsXPtsXPsXPtsxdxesxdxestsee)(tetXPtXPtxdxete指數(shù)分布稱為無記憶分布指數(shù)分布稱為無記憶分布 ! !P44P444 (1) 一般正態(tài)分布一般正態(tài)分布 P45正態(tài)分布的正態(tài)分布的X的概率密度為的概率密度為 222)(21)(xexf其中其中 和和 2 2為常數(shù)，且為常數(shù)，且 0 0則則 稱稱 x 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 、 2 2的正態(tài)分布的正態(tài)分布記為記為 XN( , 2 2)( x期望期望和和方差方差分別為：分別為：EX2DXP102P102(4) 標準正態(tài)分布及其性質標準正態(tài)分布及其性質 P45a)

10、定義定義 標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布x的概率密度為的概率密度為記為記為XN(0 0, 1)2221)(xexjb) 性質性質 (1) j (1) j(x)是是偶函數(shù)偶函數(shù)即即j j (x)是關于是關于y軸對稱軸對稱的鐘形曲線的鐘形曲線)(x0EX1DX(2)P102P102解解例例4 X4 X的概率密度為其它, 020, 1)(xkxxj求(1) 系數(shù)k (2) P1.5X2.5x)(xj0 02 21)(kxxj(1)(1)1)(dxxj1)(20dxxj1) 1(20dxkx102212xkx122 k21k解解例例4 X4 X的概率密度為其它, 020, 1)(xkxxj求(1) 系數(shù)k

11、(2) P1.5X2.51.51.52.52.5x)(xj0 02 2121)(xxj5 . 25 . 1 XP5 . 25 . 1)(dxxj25 . 1)(dxxj25 . 1) 121(dxx0625. 05 . 15 . 2412xx 5 . 22)(dxxj解解例例5 X5 X的概率密度為其它, 010,)(xcxxj求(1)系數(shù)c (2) P0.3X0.7 (3) P0.5X2xcxx )(j)(xj0 01 11)(dxxj1)(10dxxj110cxdx1212cx2c解解例例5 X5 X的概率密度為其它, 010,)(xcxxj求(1)系數(shù)c (2) P0.3X0.7 (3) P0.5X2xxx2)(j)(xj0 01 10