第九講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1、第九講第九講指數(shù)與指數(shù)函數(shù)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教教 材材 回回 歸歸1 1. . 整數(shù)指數(shù)整數(shù)指數(shù)(1)(1)整數(shù)指數(shù)冪概念整數(shù)指數(shù)冪概念: : _= = ; ;a a0 0= =_(a0);(a0);a a-n-n= =_(a0,nN(a0,nN* *).).na aa nN 個a an n1 11na走進高考第一關(guān)走進高考第一關(guān) 基礎(chǔ)關(guān)基礎(chǔ)關(guān)(2)(2)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì): :a am maan n= =_(m,nZ);(m,nZ);(a(am m) )n n= =_(m,nZ);(m,nZ); = =_(m,nZ,a0);(m,nZ,a0);(ab)(ab)n n= =_

2、(nZ).(nZ).a an nb bn na am+nm+na amnmna am-nm-naamn2 2. . 分數(shù)指數(shù)分數(shù)指數(shù)一般地一般地, ,如果如果x xn n=a,=a,那么那么x x叫做叫做_, ,其中其中n1,n1,且且nNnN* *. .當當n n是奇數(shù)時是奇數(shù)時, =a, =a,當當n n是偶數(shù)時是偶數(shù)時, , = =_= = = =_(a0,m,nN(a0,m,nN* *, ,且且n1);n1); = =_(a0,m,nN(a0,m,nN* *, ,且且n1).n1).nnanna1,0,0 ;,0,mmnnnna aaa aaaa amnaa a的的n n次方根次方根|

3、a|a|nma1mna3 3. . 有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)設(shè)設(shè)a0,b0,a0,b0,則則a ar ra as s= =_(r,sQ);(r,sQ);(a(ar r) )s s= =_(r,sQ);(r,sQ);(ab)(ab)r r= =_(rQ).(rQ).4 4. . 指數(shù)函數(shù)的定義指數(shù)函數(shù)的定義形如形如_ _ _的函數(shù)叫做指數(shù)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)函數(shù). .a ar+sr+sa arsrsa ar rb br ry=ay=ax x(a0,(a0,且且a1,xR)a1,xR)5 5. . 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=ay=ax x a1a1 0a10a0 x

4、0時時, ,_; ;當當x0 x0 x0時時, ,_; ;當當x0 x1y10y10y10y10y1y1增函數(shù)增函數(shù)考考 點點 陪陪 練練1 1. . 若若x+xx+x-1-1= ,= ,則則x x3 3+x+x-3-3的值等于的值等于( )( )A A. . B B. . C C. . D D. . 1010答案答案:B:B2 214 210 28 22 2. .函數(shù)函數(shù)則則f(-3)f(-3)的值為的值為( )( )A A. . 2 2B B. . 8 8C C. . D D. . 答案答案:C:C 2222xf xxf xx18123. 3. (2010(2010山東青島二模山東青島二模

5、)()(能力題能力題, ,中中) )若若y=ey=e|x|x|(xa,b)(xa,b)的值域為的值域為1,e1,e2 2,則點則點(a,b)(a,b)的軌跡是右圖中的的軌跡是右圖中的( )( )A. A. 線段線段BCBC和和OCOCB. B. 線段線段ABAB和和BCBCC. C. 線段線段ABAB和和OAOAD. D. 線段線段OAOA和和OCOC答案答案:B:B解析解析: :據(jù)題意當據(jù)題意當a=-2,0b2a=-2,0b2時時, ,函數(shù)的值域符合條件函數(shù)的值域符合條件, ,其軌其軌跡為圖中線段跡為圖中線段AB,AB,當當-2a0,b=2-2a0,b=2時時, ,函數(shù)值域符合條件函數(shù)值域符

6、合條件, ,此此時其軌跡為圖中線段時其軌跡為圖中線段BC,BC,故選故選B.B.4 4. .設(shè)設(shè)f(x)= ,xR,f(x)= ,xR,那么那么f(x)f(x)是是( )( )A A. . 奇函數(shù)且在奇函數(shù)且在(0,+)(0,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù)B B. . 偶函數(shù)且在偶函數(shù)且在(0,+)(0,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù)C C. . 奇函數(shù)且在奇函數(shù)且在(0,+)(0,+)上是減函數(shù)上是減函數(shù)D D. . 偶函數(shù)且在偶函數(shù)且在(0,+)(0,+)上是減函數(shù)上是減函數(shù)答案答案:D:D12x解析解析: :其圖象如圖其圖象如圖. .由圖象可知由圖象可知,f(x),f(x)是偶函數(shù)且在是偶函數(shù)且在(

7、0,+)(0,+)上單調(diào)上單調(diào)遞減遞減. .121,0 ,22,0 ,xxxfxxx 5 5. .(2010(2010山東淄博山東淄博)()(基礎(chǔ)題基礎(chǔ)題, ,易易) )給出下列判斷給出下列判斷: :a am mb bn n=(ab)=(ab)mnmn; ;函數(shù)函數(shù)y=1-ey=1-e-x-x是增函數(shù)是增函數(shù); ;a0a0是方程是方程axax2 2+2x+1=0+2x+1=0至少有一個負實數(shù)根的充分至少有一個負實數(shù)根的充分不必要條件不必要條件; ;y=lnxy=lnx與與y=ln(-x)y=ln(-x)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于y y軸對軸對稱稱. .其中正確判斷的個數(shù)為其中正確判斷的個數(shù)為( )(

8、 )A A. . 1 1B B. . 2 2C C. . 3 3D D. . 4 4答案答案:C:C解析解析:正確正確,故選故選C.C.類型一類型一: :指數(shù)冪的運算指數(shù)冪的運算解題準備解題準備: :在有關(guān)根式在有關(guān)根式 分數(shù)指數(shù)冪的變形分數(shù)指數(shù)冪的變形 求值過程中要注意求值過程中要注意運用方程的觀點處理問題運用方程的觀點處理問題, ,通過解方程通過解方程( (組組) )來求值來求值, ,或用換元法轉(zhuǎn)化為方程求解或用換元法轉(zhuǎn)化為方程求解. .解讀高考第二關(guān)解讀高考第二關(guān) 熱點關(guān)熱點關(guān)典例典例1 1(2010(2010廣州廣州) )下表給出了下表給出了x x與與1010 x x的七組近似對應(yīng)值的

9、七組近似對應(yīng)值: :組號組號一一二二三三四四五五六六七七x x0.301030.301030.477110.477110.698970.698970.778150.778150.903090.903091.000001.000001.079181.079181010 x x2 23 35 56 68 810101212假設(shè)在上表的各組對應(yīng)值中假設(shè)在上表的各組對應(yīng)值中, ,有且僅有一組是錯誤的有且僅有一組是錯誤的, ,它是第它是第_組組. . 解析解析 通過數(shù)表尋求數(shù)值之間的關(guān)聯(lián)通過數(shù)表尋求數(shù)值之間的關(guān)聯(lián). .顯然這種數(shù)值關(guān)聯(lián)從顯然這種數(shù)值關(guān)聯(lián)從1010 x x的值入手比較容易的值入手比較容易.

10、 .聯(lián)想冪的運算法則聯(lián)想冪的運算法則, ,知知 , ,即即x x1 1與與 對應(yīng)對應(yīng),x,x2 2與與 對立對立,x,x1 1+x+x2 2與與 對立對立. .8=28=23 3,應(yīng)該有應(yīng)該有0 0. .90309=090309=0. .30103301033,10=23,10=25,5,應(yīng)該有應(yīng)該有0 0. .30103+030103+0. .69897=169897=1. .00000,00000,顯然這些成立顯然這些成立. .但但223=6,03=6,0. .30103+030103+0. .47711=047711=0. .7781577815不成立不成立, ,而而2 26=12,06

11、=12,0. .30103+030103+0. .77815=177815=1. .0791807918成立成立, ,在有且僅有一組錯在有且僅有一組錯誤的前提下誤的前提下, ,只有第二組是錯誤的只有第二組是錯誤的. .1212101010 xxxx110 x210 x1210 xx 評析評析 在高考中在高考中, ,一般較小限制直接考查指數(shù)式運算的試題一般較小限制直接考查指數(shù)式運算的試題, ,而是把對它的考查置于指數(shù)函數(shù)的考查之中而是把對它的考查置于指數(shù)函數(shù)的考查之中, ,也就是在考查也就是在考查指數(shù)函數(shù)的同時指數(shù)函數(shù)的同時, ,考查冪的運算能力考查冪的運算能力. .在解決分數(shù)指數(shù)冪的運算時在解

12、決分數(shù)指數(shù)冪的運算時, ,應(yīng)注意如下幾點應(yīng)注意如下幾點:(1):(1)盡量將根盡量將根式式 小數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪小數(shù)指數(shù)冪統(tǒng)一為分數(shù)指數(shù)冪;(2);(2)盡量運用乘法公式盡量運用乘法公式;(3);(3)對于有些指數(shù)式的問題對于有些指數(shù)式的問題, ,有時應(yīng)轉(zhuǎn)化為對數(shù)有時應(yīng)轉(zhuǎn)化為對數(shù);(4);(4)注意整體代注意整體代換思想在指數(shù)式運算中的應(yīng)用換思想在指數(shù)式運算中的應(yīng)用. . 探究探究11 化簡下列各式化簡下列各式: : 12102311212213332413333223331710.027221;795234;68312.42a babababaa bbaababa解：解： 113221

13、131136322213111222227251711000910549145.335222555.444aba ba baba bbb 原式原式 11113333211213333311121123333333113321121133333311133382342224422.aabababa baaaabaa bbaaba baabaaaa原式 評析評析 將根式化為分數(shù)指數(shù)冪將根式化為分數(shù)指數(shù)冪, ,按分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進按分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行運算行運算. .對于結(jié)果的形式對于結(jié)果的形式, ,如果題目是以根式的形式給出的如果題目是以根式的形式給出的, ,則結(jié)果用則結(jié)果用根式的形式表示

14、根式的形式表示, ,如果題目以分數(shù)指數(shù)冪的形式給出的如果題目以分數(shù)指數(shù)冪的形式給出的, ,則結(jié)則結(jié)果用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示果用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示. .結(jié)果不要同時含有根號和分數(shù)結(jié)果不要同時含有根號和分數(shù)指數(shù)冪指數(shù)冪, ,也不要既有分母又含有負指數(shù)冪也不要既有分母又含有負指數(shù)冪. .類型二類型二: :指數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖象的應(yīng)用解題準備解題準備: :指數(shù)函數(shù)圖象的特點指數(shù)函數(shù)圖象的特點(1)(1)指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數(shù)指數(shù)函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系如圖所示大小的關(guān)系如圖所示, ,則則0cd1ab.0cd1a0(a0且且a1)a1

15、)的圖象關(guān)于的圖象關(guān)于y y軸對稱軸對稱. .1a典例典例2 2已知函數(shù)已知函數(shù) , ,(1)(1)作出圖象作出圖象; ;(2)(2)指出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間指出該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間; ;(3)(3)求值域求值域. . 分析分析 本題要考慮去絕對值符號本題要考慮去絕對值符號, ,把函數(shù)解析式寫成分段函把函數(shù)解析式寫成分段函數(shù)的形式數(shù)的形式, ,再作出圖象再作出圖象, ,然后根據(jù)圖象尋求其單調(diào)遞增區(qū)間和然后根據(jù)圖象尋求其單調(diào)遞增區(qū)間和值域值域. .212xy 解解(1)(1)由函數(shù)解析式可得由函數(shù)解析式可得其圖象分成兩部分其圖象分成兩部分: :一部分是一部分是 的圖象的圖象, ,由下列變換可得到

16、由下列變換可得到: :另一部分另一部分y=2y=2x+2x+2(x-2)(x0,f(t)=tt0,f(t)=t2 2-2t-5,-2t-5,故故f(t)=(t-1)f(t)=(t-1)2 2-6.-6.又又t0,t0,當當t=1t=1時時,y,yminmin=-6,=-6,故函數(shù)故函數(shù)f(x)f(x)的值域的值域 . .6,由于由于t t2 2是增函數(shù)，是增函數(shù)，要求要求(x)(x)的增區(qū)間實際上是求的增區(qū)間實際上是求f(t)f(t)的增區(qū)間，求的增區(qū)間，求f(x)f(x)的的減區(qū)間實際上是求減區(qū)間實際上是求f(t)f(t)的減區(qū)間的減區(qū)間f(t)f(t)在在(0,1(0,1上遞減，在上遞減，

17、在1,1,)上遞增上遞增故由故由t t2 211得得x0 x0；由由t t2 2x x11得得x0 x0，ff（x x）的增區(qū)間是）的增區(qū)間是0,0,)，減區(qū)間是，減區(qū)間是( (,0,0探究探究2 2 已知已知(1)(1)求函數(shù)求函數(shù)f(x)f(x)的定義域的定義域 值域值域; ;(2)(2)討論函數(shù)討論函數(shù)f(x)f(x)的單調(diào)性的單調(diào)性. . 1(0,1)1xxaf xaaa且 解解(1)(1)由由a ax x+10,+10,得得xR.xR.故函數(shù)故函數(shù)f(x)f(x)的定義域為的定義域為(-,+),(-,+),下面求函數(shù)下面求函數(shù)f(x)f(x)的值域的值域, ,解法解法1:1:所以函數(shù)

18、所以函數(shù)f(x)f(x)的值域為的值域為(-1,1).(-1,1). 11221,11120,11,02,12220,111.11xxxxxxxxxxaafxaaaaaaaa 解法二解法二: :設(shè)設(shè)y=f(x),y=f(x),則則整理得整理得 , ,又又aax x0,0, , ,即即(y+1)(y-1)0.(y+1)(y-1)0.-1y1.-1y1.故函數(shù)故函數(shù)f(x)f(x)的值域為的值域為(-1,1).(-1,1).11xyay101yy11xxaya(2)(2)設(shè)設(shè)x x1 1,x,x2 2R,R,且且x x1 1xx2 2, ,于是于是, ,當當0a10a1時時,x,x1 1x0,)0

19、,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2),),所以所以f(x)f(x)在在R R上是減函數(shù)上是減函數(shù); ;當當a1a1時時,x,x1 1xx2 2, , f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2).).所以所以f(x)f(x)在在R R上是增函數(shù)上是增函數(shù). .綜上可知綜上可知, ,當當0a10a1a1時時,f(x),f(x)在在R R上是增函數(shù)上是增函數(shù). .1212,0.xxxxaaaa121220.11xxxxaaaa 評析評析(1)(1)求求f(x)f(x)值域時值域時, ,可借助可借助a ax x0;0;(2)(2)

20、分分0a10a1a1兩種情況兩種情況, ,利用單調(diào)性的定義證明利用單調(diào)性的定義證明. .本題中求值域的兩種方法都是求函數(shù)值域的常用方法本題中求值域的兩種方法都是求函數(shù)值域的常用方法. .解法解法1 1可以稱為可以稱為“分離常數(shù)法分離常數(shù)法”, ,利用此法求值域的函數(shù)是分式的利用此法求值域的函數(shù)是分式的形式形式, ,且分子且分子 分母的次數(shù)相同分母的次數(shù)相同, ,分離出一個常數(shù)后分離出一個常數(shù)后, ,分子變?yōu)榉肿幼優(yōu)槌?shù)常數(shù). .解法解法2 2是是利用函數(shù)的有界性利用函數(shù)的有界性, ,例如求函數(shù)例如求函數(shù) 的值域就可采用此法的值域就可采用此法. .1 sin2sinxyx名名 師師 糾糾 錯錯誤

21、區(qū)一誤區(qū)一: :忽視換元后新元的取值范圍忽視換元后新元的取值范圍典例典例1 1求函數(shù)求函數(shù) 的值域的值域. .11193xxy笑對高考第三關(guān)笑對高考第三關(guān) 成熟關(guān)成熟關(guān) 錯解錯解 令令 , ,則則, ,所以函數(shù)的值域為所以函數(shù)的值域為 ) ) 剖析剖析 上述解法錯誤的原因在于忽視了換元后新元上述解法錯誤的原因在于忽視了換元后新元t t的范圍的范圍. .事實上事實上, ,新元新元t(0,+).t(0,+).2111111,9333xxxxy () 22133ytt1t24413xt3,4 正解正解 函數(shù)函數(shù)y= ,y= ,令令t= ,t= ,則則y=ty=t2 2+t+1= ,+t+1= ,由由

22、t= ,t= ,知知t0,t0,因為函數(shù)因為函數(shù)y= y= 在在(0,+)(0,+)上為增函數(shù)上為增函數(shù), ,所以所以y1,y1,所所以函數(shù)的值域為以函數(shù)的值域為(1,+).(1,+).( )( )( ) ( )xxx 2x11111193331()3x()213t241()3x()21t2誤區(qū)二誤區(qū)二: :忽視復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合規(guī)律忽視復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合規(guī)律典例典例2 2求函數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. . 2212xxf x 錯解錯解 因為函數(shù)因為函數(shù)u=xu=x2 2-2x=(x-1)2-1,-2x=(x-1)2-1,所以所以u u在區(qū)間在區(qū)間(-,1(-,1上上是減函數(shù)是減函數(shù)

23、, ,在區(qū)間在區(qū)間1,+ )1,+ )上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,故函數(shù)故函數(shù)的減區(qū)間是的減區(qū)間是(-,1 (-,1 ，增區(qū)間是，增區(qū)間是1,+ ) 1,+ ) 2212xxfx 正解正解 設(shè)設(shè)u=xu=x2 2-2x,-2x,則則 , ,因為因為0a= 1,0a= 33-y-y+5+5-x-x, ,則下列式子成立的是則下列式子成立的是( )( )A A. . x+y0 x+y0B B. . x+y0 x+y0C C. . x-y0 x-y0 x-y0解析：由解析：由3 3x x+5+5y y33-y-y+5+5-x-x, ,得得3 3x x-5-5-x-x33-y-y-5-5y y, , .

24、.設(shè)設(shè) . .y=3y=3x x在在(-,+)(-,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù), , 在在(-,+)(-,+)上是減函數(shù)上是減函數(shù), , 在在(-,+)(-,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù). .由已知條件由已知條件, ,得得f(x)f(-y),f(x)f(-y),x-y,x+y0,x-y,x+y0,故故答案選答案選A A. .113355xyxy 135xxf x15xy135xxy解解 題題 策策 略略1 1. . 進行有理指數(shù)冪的運算進行有理指數(shù)冪的運算 求值與化簡時求值與化簡時, ,其步驟是先把根其步驟是先把根式化為分數(shù)指數(shù)冪式化為分數(shù)指數(shù)冪, ,把分式化為負指數(shù)冪把分式化為負指數(shù)冪, ,把小數(shù)

25、化為分數(shù)把小數(shù)化為分數(shù), ,再根據(jù)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行計算再根據(jù)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行計算, ,在最后結(jié)果中不要在最后結(jié)果中不要同時既有根式又有分數(shù)指數(shù)冪同時既有根式又有分數(shù)指數(shù)冪, ,也不要既有分式又有負指數(shù)也不要既有分式又有負指數(shù)冪冪. . 2 2. . 對于指數(shù)式的連等問題對于指數(shù)式的連等問題, ,常常要引進參數(shù)常常要引進參數(shù), ,用參數(shù)作為代用參數(shù)作為代換的橋梁換的橋梁. .3 3. . 指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含有字母指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含有字母, ,一般需要分類討論一般需要分類討論. .4 4. . 解題時要注意運用數(shù)學(xué)思想方法解題時要注意運用數(shù)學(xué)思想方法, ,注意運用指數(shù)函數(shù)的單注意運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及圖象調(diào)性及圖象, ,特別是解有關(guān)指數(shù)函數(shù)與其他知識的綜合題時特別是解有關(guān)指數(shù)函數(shù)與其他知識的綜合題時, ,使用數(shù)學(xué)思想方法解題會簡化