解析函數(shù)的羅朗(Laurent)展式與孤立奇點(diǎn)第五章第二節(jié)

1、5.2 解析函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)解析函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)5.2.1孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類5.2.2孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)孤立奇點(diǎn)的性質(zhì)1. 可去奇點(diǎn)的性質(zhì)可去奇點(diǎn)的性質(zhì)2. 極點(diǎn)的性質(zhì)極點(diǎn)的性質(zhì)3. 本性奇點(diǎn)的性質(zhì)本性奇點(diǎn)的性質(zhì)5.2.3 Picard定理定理5.3.4 Schwarz引理引理 定義5.2 如果f(z)在點(diǎn)a的某一去心鄰域K-a:0|z-a|0).考慮f(z)在點(diǎn)a的主要部分,)()( nnazcazcazc221(3)推出(1):設(shè)當(dāng)aK-az| 0|z-a|a 時(shí))(0 : ),()()(Rz-andaficnn 210211)( )()(02212111nnnnMMdafic0

2、nc注：注：a為可去奇點(diǎn)時(shí)，補(bǔ)充為可去奇點(diǎn)時(shí)，補(bǔ)充 f(z)=c0,則則a就成為就成為f(z)的解析點(diǎn)了。的解析點(diǎn)了。2.極點(diǎn)的性質(zhì)極點(diǎn)的性質(zhì));()(01 mmmcazcazc定理定理5.4 如果如果f(z)以以a為孤立點(diǎn)為孤立點(diǎn),則則a為為f(z)的的m階極點(diǎn)階極點(diǎn)(1)f(z)在a點(diǎn)的 主要部分為或：(2)f(z)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)能表成其中(z) 在點(diǎn)a鄰域內(nèi)解析,且(a)0mazzzf)()()()()( (3) 或zfzg1以以a為為m階零點(diǎn)階零點(diǎn)(可去奇點(diǎn)a要當(dāng)作解析點(diǎn)看,只要令g(a)=0). azcazcazczfmmmm111)()()()( )(10azcc,)()()

3、()()(mmmmazzazazcc 1證 (1)(2): 設(shè)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)有其中：.)(0mca )()()(azcczmm1顯然在點(diǎn)a的鄰域內(nèi)解析,且 (2)推出(3):設(shè)在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)有),()()()()()(zazzazzfzgmm1)()(zz10)(a其中在點(diǎn)a的某去心鄰域內(nèi)解析,且(由例1.28)因此a為g(z)的可去奇點(diǎn),作為解析點(diǎn)來看,只要令g(a)=0,a就為g(z)的m級零點(diǎn).)()(zfzg1)()()(zazzgm (3)推出(1):如果以點(diǎn)a為m級零點(diǎn),則在點(diǎn)a的某鄰域內(nèi)定理定理4.17其中 在此鄰域內(nèi)解析,且 .這樣一來)(z0)(a.)()()(z

4、azzfm11 )()()(azcczmm11因1/(z) 在點(diǎn)a某鄰域內(nèi)解析(例1.28),則可展成泰勒級數(shù)，設(shè)為：于是f(z)在點(diǎn)a的主要部分就是).)()()()(01111 acazcazcazcmmmmm 定理定理5.5 f(z)的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)a為極點(diǎn)的充要為極點(diǎn)的充要條件是條件是)(limzfaz.)(lim )()(lim不不存存在在，即即有有限限數(shù)數(shù)廣義zfbzfazaz 定理5.6 f(z)的孤立奇點(diǎn)a為本性奇點(diǎn)3.本性奇點(diǎn)的性質(zhì)本性奇點(diǎn)的性質(zhì) 證明：(反證法)若a不是f(z)的本性奇點(diǎn) a是f(z)的可去奇點(diǎn) a是f(z)的極點(diǎn) )()(limbzfaz)(limzf

5、az.)(lim存存在在廣義若zfazbzfaz)(lim a是f(z)的可去奇點(diǎn) a是f(z)的極點(diǎn) 矛盾！矛盾！的本性奇點(diǎn)1不是若)()(azfz 定理5.7 若z=a為f(z)之一本性奇點(diǎn),且在點(diǎn)a的充分小去心鄰域內(nèi)不為零,則z=a亦必為)(zf1的本性奇點(diǎn).證 （反證法）若z=a為 (z)的可去奇點(diǎn)(解析點(diǎn)),都與假設(shè)都與假設(shè)若z=a為 (z)的極點(diǎn)的極點(diǎn)a為f(z)的可去奇點(diǎn))()(limbzaz00bba為f(z)的可去奇點(diǎn)a為f(z)的極點(diǎn))(limzaz0)(limzfaz矛盾！矛盾！例 3 設(shè)zzfe)(15，試 求)(zf在 復(fù) 平 面 上的 奇 點(diǎn) ， 并 判 定 其 類

6、 別 解 首 先，求)(zf的 奇 點(diǎn) )(zf的 奇 點(diǎn) 出自 方 程0e1z的 解 解 方 程 得 )1(Ln z,2, 1,0,i ) 12(kk 若 設(shè)),2,1,0(i )12(kkzk，則 易 知kz為)(zf的 孤 立 奇 點(diǎn) 另 外 ， 因 0)e1 (,0)e1 (kkzzzzzz 所 以 ， 由 零 點(diǎn) 的 定 義 知kz為ze1 的 一 級零 點(diǎn) 從 而 知),2,1,0(kzk均 為)(zf的 一 級 極 點(diǎn) .)(limAzfnazn 定理5.8 如果a為f(z)的本性奇點(diǎn),則對于任何常數(shù)A,不管它是有限數(shù)還是無窮,都有一個(gè)收斂與a的點(diǎn)列zn,使得換句話說,在本性奇點(diǎn)

7、的無論怎樣小的去心鄰域內(nèi),函數(shù)f(z)可以取任意接近于預(yù)先給定的任何數(shù)值(有限的或無窮的).5.2.3 Picard(畢卡畢卡)定理定理證 (1) 在 A的情形,定理是正確的.因?yàn)楹瘮?shù)f(z)的模在a的任何去心鄰域內(nèi)都是無界的.)(limAzfnazn.A否則,a必為f(z)的可去奇點(diǎn). (2)現(xiàn)在設(shè)Azfz)()(1.這樣,由定理5.7,函數(shù).)(limnazzgn在K-a內(nèi)解析,且以a為本性奇點(diǎn)(因a為f(z)的本性奇由此推出 可能有這種情形發(fā)生,在點(diǎn)a的任意小的鄰域內(nèi)有這樣一點(diǎn)z存在,使f(z)=A.定理得證 因此,我們可以假定,在點(diǎn)a的充分小去心鄰域K-a內(nèi)f(z)A點(diǎn)).根據(jù)前面(1

8、)段的結(jié)果,必定有一個(gè)趨向a的點(diǎn)列zn存在,使得用下列例子來驗(yàn)證定理用下列例子來驗(yàn)證定理5.8成立成立例例5.91( )sinfzzA=()sin()e()2 nnnnizfzinneniA2211sinArc sin()Ln1ln12 nAAzziiAAiziAAni例5.101( ) zfze1()() nnnzfzennA=A=0A, A1()0() nnnzfzenn11 =1,2.ln2()znneAziAn if zA 定理定理5.9(畢卡畢卡(大大)定理定理) 如果如果a為為f(z)的本的本性奇點(diǎn)性奇點(diǎn),則對于每一個(gè)則對于每一個(gè)A,除掉可能一個(gè)值除掉可能一個(gè)值A(chǔ)=A0外外,必有趨

9、于必有趨于a的無限點(diǎn)列的無限點(diǎn)列zn使使f(zn)=A (n=1,2,). 席瓦爾茲席瓦爾茲(Schwarz)引理引理 如果函數(shù)如果函數(shù)f(z)在在單位圓單位圓|z|1內(nèi)解析內(nèi)解析,并且滿足條件并且滿足條件 f(0)=0,|f(z)|1(|z|1),則在單位圓則在單位圓|z|1內(nèi)恒有內(nèi)恒有|f(z)|z|,)且有且有 |f /(0)|1.5.2.4 Schwarz引理引理如果上式等號成立如果上式等號成立,或在圓或在圓|z|1內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)z00處前一式等號成立處前一式等號成立,則則(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng))其中其中為一實(shí)常數(shù)為一實(shí)常數(shù).),|(|)(1zzezfi 證 設(shè)).1|(|)(221 zzczczf),0()()(21 zzcczzfz)0( )0(1fc )(zrzzfrzrzzz1)(|max|max0| )(| )(|. 1|