第二章2.2.2 第1課時

1、2.2.2橢圓的簡單幾何性質第1課時橢圓的簡單幾何性質標準方程標準方程 (ab0)(ab0) (ab0)(ab0)圖形圖形范圍范圍_2222xy1ab2222yx1ab-axa,-byb-axa,-byb-bxb,-aya-bxb,-aya橢圓的簡單幾何性質橢圓的簡單幾何性質標準方程標準方程 (ab0)(ab0) (ab0)(ab0)對稱性對稱性對稱軸對稱軸:_;:_;對稱中心對稱中心:_:_焦點焦點F F1 1_,F_,F2 2 _ _F F1 1 _ ,F_ ,F2 2 _焦距焦距|F|F1 1F F2 2|=_|=_|F|F1 1F F2 2|=_|=_頂點頂點A A1 1_,A_,A2

2、 2 _;_;B B1 1 _,B_,B2 2 _A A1 1 _,A_,A2 2 _;_;B B1 1 _,B_,B2 2 _軸長軸長長軸長軸|A|A1 1A A2 2|=_;|=_;短軸短軸|B|B1 1B B2 2|=_|=_長軸長軸|A|A1 1A A2 2|=_;|=_;短軸短軸|B|B1 1B B2 2|=_|=_離心率離心率e=e=_e=_e=_坐標軸坐標軸(0,0)(0,0)(-c,0)(-c,0)(c,0)(c,0)(0,-c)(0,-c)(0,c)(0,c)2c2c2c2c(-a,0)(-a,0)(a,0)(a,0)(0,-b)(0,-b)(0,b)(0,b)(0,-a)(

3、0,-a)(0,a)(0,a)(-b,0)(-b,0)(b,0)(b,0)2a2a2b2b2a2a2b2b(0,1)(0,1)(0,1)(0,1)2222xy1ab2222yx1abcaca判斷判斷:(:(正確的打正確的打“”,”,錯誤的打錯誤的打“”)”)(1)(1)橢圓的頂點是橢圓與坐標軸的交點橢圓的頂點是橢圓與坐標軸的交點.(.() )(2)(2)橢圓上的點到焦點的距離的最大值為橢圓上的點到焦點的距離的最大值為a+ca+c.(.() )(3)(3)橢圓的離心率橢圓的離心率e e越接近于越接近于1,1,橢圓越圓橢圓越圓.(.() )提示提示: :(1)(1)錯誤錯誤. .只有橢圓方程是標準

4、方程時只有橢圓方程是標準方程時, ,此說法才正確此說法才正確, ,而而此處并未說明是標準方程此處并未說明是標準方程, ,故不正確故不正確. .(2)(2)正確正確. .橢圓上的點到焦點的距離的最大值為橢圓上的點到焦點的距離的最大值為a+ca+c, ,最小值為最小值為a-c.a-c.(3)(3)錯誤錯誤. .離心率離心率e e越接近于越接近于1,1,即即c c越大越大, ,這時這時b b越小越小, ,橢圓越扁橢圓越扁. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3)【知識點撥【知識點撥】對橢圓幾何性質的六點說明對橢圓幾何性質的六點說明(1)(1)橢圓的焦點決定了橢圓的位置橢圓的焦點決定了橢

5、圓的位置. .在在ab0ab0時時, ,方程方程的焦點在的焦點在x x軸上軸上, ,方程方程 的焦點在的焦點在y y軸上軸上. .(2)(2)橢圓的范圍決定了橢圓的大小橢圓的范圍決定了橢圓的大小, ,即橢圓即橢圓 位于四位于四條直線條直線x=x=a,ya,y= =b b圍成的矩形內圍成的矩形內. .2222xy1ab2222yx1ab2222xy1ab(3)(3)橢圓的離心率刻畫了橢圓的扁平程度橢圓的離心率刻畫了橢圓的扁平程度, ,具體影響如下具體影響如下: :(4)(4)橢圓是軸對稱與中心對稱圖形橢圓是軸對稱與中心對稱圖形, ,具體如下具體如下: :(5)(5)橢圓的長軸和短軸都是線段橢圓的

6、長軸和短軸都是線段, ,并不是直線并不是直線, ,所以它們有長度所以它們有長度, ,長軸長是長軸長是2a,2a,短軸長是短軸長是2b.2b.(6)(6)在橢圓中在橢圓中,a,b,c,a,b,c都具有實際的具體意義都具有實際的具體意義, ,其中其中a a長半軸長長半軸長, ,b b短半軸長短半軸長, ,c c半焦距半焦距. .它們之間的關系是它們之間的關系是a a2 2-b-b2 2=c=c2 2. .類型類型 一一 利用標準方程研究幾何性質利用標準方程研究幾何性質 【典型例題【典型例題】1.(20131.(2013北京高二檢測北京高二檢測) )橢圓橢圓x x2 2+8y+8y2 2=1=1的短

7、軸的端點坐標的短軸的端點坐標是是( () )A.(0,- ),(0, )A.(0,- ),(0, )B.(-1,0),(1,0)B.(-1,0),(1,0)C.(2 ,0),(-2 ,0)C.(2 ,0),(-2 ,0)D.(0,2 ),(0,-2 )D.(0,2 ),(0,-2 )2.2.設橢圓方程為設橢圓方程為mxmx2 2+4y+4y2 2=4m(m0)=4m(m0)的離心率為的離心率為 , ,試求橢圓試求橢圓的長軸的長和短軸的長、焦點坐標及頂點坐標的長軸的長和短軸的長、焦點坐標及頂點坐標. .2424222212【解題探究【解題探究】1.1.題題1 1中的方程是標準形式嗎中的方程是標準

8、形式嗎? ?如何在標準形式如何在標準形式下區(qū)分焦點所在的坐標軸下區(qū)分焦點所在的坐標軸? ?2.2.題題2 2中的方程首先應如何處理中的方程首先應如何處理? ?能判斷出焦點的位置嗎能判斷出焦點的位置嗎? ?探究提示探究提示: :1.1.題題1 1中的方程不是橢圓的標準形式中的方程不是橢圓的標準形式, ,標準形式是標準形式是(mn(mn且且m0,n0).m0,n0).當當mn0mn0時時, ,焦點在焦點在x x軸上軸上, ,當當nm0nm0時時, ,焦點在焦點在y y軸上軸上. .2.2.首先把此方程化成標準形式首先把此方程化成標準形式, ,因為不確定焦點的位置因為不確定焦點的位置, ,故需要討論

9、處理故需要討論處理. .22xy1mn【解析【解析】1.1.選選A.A.把方程化為標準形式得把方程化為標準形式得焦點在焦點在x x軸上軸上,b,b2 2= ,b= ,b= , ,故橢圓短軸的端點坐標為故橢圓短軸的端點坐標為(0,(0, ). ).22xy1,1181824242.2.橢圓方程可化為橢圓方程可化為(1)(1)當當0m40m4m4時時,a= ,b=2,c= ,a= ,b=2,c= ,e= e= 解得解得m=m=a= c=a= c=橢圓的長軸的長和短軸的長分別為橢圓的長軸的長和短軸的長分別為 ,4,4,焦點坐標為焦點坐標為F F1 1( ),F( ),F2 2( ),( ),頂點坐標

10、為頂點坐標為A A1 1( ),( ),A A2 2 ( ),( ),B B1 1(-2,0),B(-2,0),B2 2(2,0).(2,0).mm4cm41,a2m163,4 3,32 3,38 332 30,32 30,34 30,34 30,3【拓展提升【拓展提升】確定橢圓的幾何性質的四個步驟確定橢圓的幾何性質的四個步驟(1)(1)化標準化標準: :把橢圓方程化成標準形式把橢圓方程化成標準形式. .(2)(2)定位置定位置: :根據(jù)標準方程分母大小確定焦點位置根據(jù)標準方程分母大小確定焦點位置. .(3)(3)求參數(shù)求參數(shù): :寫出寫出a,ba,b的值的值, ,并求出并求出c c的值的值.

11、 .(4)(4)寫性質寫性質: :按要求寫出橢圓的簡單幾何性質按要求寫出橢圓的簡單幾何性質. .【變式訓練【變式訓練】求橢圓求橢圓64x64x2 2+25y+25y2 2=400=400的長軸長、短軸長、焦距、的長軸長、短軸長、焦距、離心率、焦點和頂點坐標離心率、焦點和頂點坐標. .【解析【解析】橢圓的方程可化為橢圓的方程可化為16 ,16 ,焦點在焦點在y y軸上軸上, ,并且長半軸長并且長半軸長a=4,a=4,短半軸長短半軸長b=b=半焦距半焦距長軸長長軸長2a=8,2a=8,短軸長短軸長2b=5,2b=5,焦距焦距2c= .2c= .離心率離心率e= ,e= ,焦點坐標為焦點坐標為(0,

12、- ),(0, ),(0,- ),(0, ),頂點坐標為頂點坐標為(- ,0),( ,0),(0,-4),(0,4).(- ,0),( ,0),(0,-4),(0,4).22xy1,251642545,2222539cab16,4239c39a83923925252類型類型 二二 利用幾何性質求標準方程利用幾何性質求標準方程【典型例題【典型例題】1.(20131.(2013宜春高二檢測宜春高二檢測) )焦距為焦距為6,6,離心率離心率e= ,e= ,焦點在焦點在x x軸上軸上的橢圓的標準方程是的橢圓的標準方程是( () )A. B.A. B.C. D.C. D.2.(20132.(2013大理

13、高二檢測大理高二檢測) )已知橢圓的長軸長是短軸長的已知橢圓的長軸長是短軸長的2 2倍倍, ,且經(jīng)過點且經(jīng)過點A(2,0),A(2,0),求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程. .22xy14522xy1162522xy15422xy1251635【解題探究【解題探究】1.1.如果只給離心率的值如果只給離心率的值, ,方程能夠確定嗎方程能夠確定嗎? ?2.2.題題2 2中橢圓的焦點的位置是確定的嗎中橢圓的焦點的位置是確定的嗎? ?探究提示探究提示: :1.1.方程不能確定方程不能確定. .離心率的值只決定扁平程度離心率的值只決定扁平程度, ,不能確定橢圓不能確定橢圓的方程的方程. .2.2.題中給

14、出的條件只是定量條件題中給出的條件只是定量條件, ,并不能確定焦點位置并不能確定焦點位置, ,所以所以解題時應分情況討論解題時應分情況討論. .【解析【解析】1.1.選選D.D.由條件知由條件知2c=62c=6且且 解得解得c=3,a=5,c=3,a=5,從而從而b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=16.=16.又又橢圓焦點在橢圓焦點在x x軸上軸上, ,所以橢圓的標準所以橢圓的標準方程為方程為2.2.若橢圓的焦點在若橢圓的焦點在x x軸上軸上, ,設橢圓方程為設橢圓方程為 (ab0),(ab0),橢圓過點橢圓過點A(2,0), =1,a=2.A(2,0), =1,a=2.2a=22a=

15、22b,b=1,2b,b=1,方程為方程為 +y+y2 2=1.=1.若橢圓的焦點在若橢圓的焦點在y y軸上軸上, ,設橢圓方程為設橢圓方程為 =1(ab0),=1(ab0),c3,a522xy1.25162222xy1ab24a2x42222yxab橢圓過點橢圓過點A(2,0),A(2,0),b=2,b=2,由由2a=22a=22b,a=4,2b,a=4,方程為方程為綜上所述綜上所述, ,橢圓的標準方程為橢圓的標準方程為 +y+y2 2=1=1或或 =1.=1.222041,ab22yx1.1642x422yx164【互動探究【互動探究】1.1.題題1 1中中, ,把把“焦點在焦點在x x軸

16、上軸上”去掉去掉, ,結果如何結果如何? ?【解析【解析】焦點可能在焦點可能在x x軸上軸上, ,也可能在也可能在y y軸上軸上, ,由于由于a=5,ba=5,b2 2=16,=16,故標準方程為故標準方程為 或或22xy1251622yx1.25162.2.題題2 2中中, ,把把“經(jīng)過點經(jīng)過點A(2,0)”A(2,0)”改為改為“焦點為焦點為(2,0)”,(2,0)”,結果如何結果如何? ?【解析【解析】焦點為焦點為(2,0),(2,0),橢圓的焦點在橢圓的焦點在x x軸上且軸上且c=2,c=2,由條件知由條件知2a=22a=22b,2b,a=2b.a=2b.又又a a2 2-b-b2 2

17、=c=c2 2, ,(2b)(2b)2 2-b-b2 2=4,=4,即即b b2 2= ,a= ,a2 2= ,= ,橢圓的標準方程為橢圓的標準方程為4316322xy1.16433【拓展提升【拓展提升】1.1.根據(jù)幾何性質求橢圓方程的兩個關鍵根據(jù)幾何性質求橢圓方程的兩個關鍵2.2.求橢圓標準方程的一般方法及步驟求橢圓標準方程的一般方法及步驟(1)(1)基本方法基本方法: :待定系數(shù)法待定系數(shù)法. .(2)(2)一般步驟一般步驟: :類型類型 三三 與離心率有關的問題與離心率有關的問題 【典型例題【典型例題】1.(20131.(2013大理高二檢測大理高二檢測) )橢圓橢圓 的離心率為的離心率

18、為( () )22xy11681132A. B. C. D.32322.(20122.(2012江西高考江西高考) )橢圓橢圓 (ab0)(ab0)的左、右頂點的左、右頂點分別是分別是A,B,A,B,左、右焦點分別是左、右焦點分別是F F1 1,F,F2 2. .若若|AF|AF1 1|,|F|,|F1 1F F2 2|,|F|,|F1 1B|B|成等比數(shù)列成等比數(shù)列, ,則此橢圓的離心率為則此橢圓的離心率為( () )A.A. B. B. C.C. D. -2 D. -23.3.橢圓橢圓 (ab0)(ab0)的右頂點是的右頂點是A(a,0),A(a,0),其上存在一點其上存在一點P,P,使使

19、APO=90APO=90, ,求橢圓的離心率的取值范圍求橢圓的離心率的取值范圍. .2222xy1ay1ab【解題探究【解題探究】1.1.利用公式求離心率的關鍵是什么利用公式求離心率的關鍵是什么? ?2.2.橢圓的長軸上的頂點到焦點的距離如何表示橢圓的長軸上的頂點到焦點的距離如何表示? ?3.3.求離心率的取值范圍的關鍵是什么求離心率的取值范圍的關鍵是什么? ?探究提示探究提示: :1.1.利用公式求離心率的關鍵是準確確定利用公式求離心率的關鍵是準確確定a a和和c c的值的值. .2.2.長軸的頂點到相應焦點的距離為長軸的頂點到相應焦點的距離為a-c,a-c,到另一

20、側焦點的距離為到另一側焦點的距離為a+ca+c. .3.3.求離心率的取值范圍的關鍵是建立求離心率的取值范圍的關鍵是建立a,b,ca,b,c的齊次不等關系式的齊次不等關系式. .【解析【解析】1.1.選選D.D.方程方程 中中,a,a2 2=16,c=16,c2 2=16-8=8,=16-8=8,離心率離心率2.2.選選B.B.因為因為A,BA,B為左、右頂點為左、右頂點,F,F1 1,F,F2 2為左、右焦點為左、右焦點, ,所以所以|AF|AF1 1|=a-c,|F|=a-c,|F1 1F F2 2|=2c,|BF|=2c,|BF1 1|=a+c|=a+c. .又因為又因為|AF|AF1

21、1|,|F|,|F1 1F F2 2|,|,|BF|BF1 1| |成等比數(shù)列成等比數(shù)列, ,所以所以(a+c)(a-c(a+c)(a-c)=4c)=4c2 2, ,即即a a2 2=5c=5c2 2, ,所以離心率所以離心率e=e=22xy1168c2 22e.a425.53.3.設設P(x,yP(x,y),),由由APO=90APO=90知知:P:P點在以點在以OAOA為直徑的圓上為直徑的圓上. .圓的方程是圓的方程是:(x- ):(x- )2 2+y+y2 2=( )=( )2 2y y2 2=ax-x=ax-x2 2 又又P P點在橢圓上點在橢圓上, ,故故: : 把把代入代入得得:

22、: (a(a2 2-b-b2 2)x)x2 2-a-a3 3x+ax+a2 2b b2 2=0.=0.a2a22222xy1ab2222xaxx1ab故故(x-a)(a(x-a)(a2 2-b-b2 2)x-ab)x-ab2 2=0,=0,xa,x0 xa,x0 又又0 xa,0 xa,0 a0 a2b2b2 2aa2 2a a2 22ce又又0e1,0e1,故所求的橢圓離心率的取值范圍是故所求的橢圓離心率的取值范圍是 e1.e4,k+44,但當?shù)攌0k0時時,k+44,k+40,m=4.4,m0,m=4.解得解得e=e=2ym32522123.23.3.橢圓橢圓25x25x2 2+9y+9

23、y2 2=225=225的長軸長、短軸長、離心率依次是的長軸長、短軸長、離心率依次是( () )A.5,3,0.8A.5,3,0.8 B.10,6,0.8 B.10,6,0.8C.5,3,0.6C.5,3,0.6 D.10,6,0.6 D.10,6,0.6【解析【解析】選選B.B.把橢圓的方程寫成標準形式為把橢圓的方程寫成標準形式為 知知a=5,b=3,c=4.a=5,b=3,c=4.2a=10,2b=6, =0.8.2a=10,2b=6, =0.8.22xy1,925ca4.4.橢圓橢圓6x6x2 2+5y+5y2 2=30=30上的點到其焦點的距離的最大值是上的點到其焦點的距離的最大值是, ,最小值是最小值是. .