數模(差分方程模型)1.ppt

1、重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模數學建模電子教案數學建模電子教案重慶郵電大學重慶郵電大學數理學院數理學院沈世云沈世云023-重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模差分方程模型差分方程模型重慶郵電大學數理學院沈世云重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模7.1 差分方程基本知識差分方程基本知識7.2 市場經濟中的蛛網模型市場經濟中的蛛網模型7.3 減肥計劃減肥計劃節(jié)食與運動節(jié)食與運動7.4 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型7.5 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長第七章第七章 差分方程模型差

2、分方程模型重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模7.1 差分方程基本知識差分方程基本知識 1、差分方程： 差分方程反映的是關于離散變量的取值與變化規(guī)律。通過建立一個或幾個離散變量取值所滿足的平衡關系，從而建立差分方程。 差分方程就是針對要解決的目標，引入系統(tǒng)或過程中的離散變量，根據實際背景的規(guī)律、性質、平衡關系，建立離散變量所滿足的平衡關系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特別性質（平衡性、穩(wěn)定性、漸近性、振動性、周期性等），從而把握這個離散變量的變化過程的規(guī)律，進一步再結合其他分析，得到原問題的解。重慶郵電大學市級精品課程重慶郵

3、電大學市級精品課程-數學建模數學建模Fibonacci 數列數列 13世紀意大利著名數學家世紀意大利著名數學家Fibonacci在他的著作在他的著作算盤書算盤書中記載著這樣一個有趣的問題：中記載著這樣一個有趣的問題： 一對剛出生的幼兔經過一個月可長成成兔，成兔再經過一一對剛出生的幼兔經過一個月可長成成兔，成兔再經過一個月后可以繁殖出一對幼兔個月后可以繁殖出一對幼兔. 若不計兔子的死亡數，問一年之若不計兔子的死亡數，問一年之后共有多少對兔子？后共有多少對兔子？月份月份 0 1 2 3 4 5 6 7 幼兔幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 成兔成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 總數總數

4、1 1 2 3 5 8 13 21 重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模 將兔群總數記為將兔群總數記為 fn, n=0,1,2,，經過觀察可以發(fā)現(xiàn)，數列，經過觀察可以發(fā)現(xiàn)，數列fn滿足下列遞推關系：滿足下列遞推關系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2, 這個數列稱為這個數列稱為Fibonacci數列數列. Fibonacci數列是一個十分有趣數列是一個十分有趣的數列，在自然科學和數學領域中都有著廣泛的應用的數列，在自然科學和數學領域中都有著廣泛的應用. Fibonacci數列的一些實例數列的一些實例. 1. 蜜蜂的家譜蜜

5、蜂的家譜 2. 鋼琴音階的排列鋼琴音階的排列 3. 樹的分枝樹的分枝 4. 楊輝三角形楊輝三角形重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模日常的經濟問題中的差分方程模型日常的經濟問題中的差分方程模型 假如你在銀行開設了一個假如你在銀行開設了一個1000元的存款賬戶，銀行的年利元的存款賬戶，銀行的年利率為率為7%. 用用an表示表示n年后你賬戶上的存款額，那么下面的數列年后你賬戶上的存款額，那么下面的數列就是你每年的存款額：就是你每年的存款額： a0, a1, a2, a3, , an, 設設r為年利率，由于為年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款問題的數學模型

6、因此存款問題的數學模型是：是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模 從從1994年開始，我國逐步實行了大學收費制度年開始，我國逐步實行了大學收費制度. 為了保障子女為了保障子女將來的教育費用，小張夫婦從他們的兒子出生時開始，每年向將來的教育費用，小張夫婦從他們的兒子出生時開始，每年向銀行存入銀行存入x元作為家庭教育基金元作為家庭教育基金. 若銀行的年利率為若銀行的年利率為r，試寫出第，試寫出第n年后教育基金總額的表達式年后教育基金總額的表達式. 預計當子女預計當子女18歲入大學時所需的歲入大學時所需

7、的費用為費用為100000元，按年利率元，按年利率3%計算，小張夫婦每年應向銀行存計算，小張夫婦每年應向銀行存入多少元入多少元? 設設n年后教育基金總額為年后教育基金總額為an，每年向銀行存入，每年向銀行存入x元，依據復利元，依據復利率計算公式，得到家庭教育基金的數學模型為：率計算公式，得到家庭教育基金的數學模型為： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模 小李夫婦要購買二居室住房一套，共需小李夫婦要購買二居室住房一套，共需30萬元萬元. 他們已經籌他們已經籌集集10萬元，另外萬元，另外20萬元申請抵押

8、貸款萬元申請抵押貸款. 若貸款月利率為若貸款月利率為0.6%，還貸期限為還貸期限為20年，問小李夫婦每月要還多少錢？年，問小李夫婦每月要還多少錢？ 設貸款額為設貸款額為a0，每月還貸額為，每月還貸額為x，月利率為，月利率為r，第，第n個月后的欠個月后的欠款額為款額為an，則，則 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模 在上述模型中，給出了在上述模型中，給出了an+1與與an之間的遞推公式之間的遞推公式. 將它們寫成將它們寫成統(tǒng)一的形式：統(tǒng)一的

9、形式： a0=c, an+1= an+b, n=0,1,2,3,稱此類遞推關系為稱此類遞推關系為. 當當b=0時稱為齊次差分方時稱為齊次差分方程，否則稱為非齊次差分方程程，否則稱為非齊次差分方程. 對任意數列對任意數列A=a1,a2,an,，其差分算子，其差分算子 定義如下：定義如下： a1=a2-a1, a2=a3-a2, an=an+1-an, 對數列對數列A=a1,a2,an,，其一階差分的差分稱為二，其一階差分的差分稱為二階差分階差分, 記為記為 2A= ( A). 即：即： 2an= an+1- an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an 一般地，可

10、以定義一般地，可以定義n階差分階差分.重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模 一階線性差分方程一階線性差分方程 an+1= an+b 的通解是：的通解是： 對一階線性差分方程對一階線性差分方程 an+1= an+b, 若若 | |1, 則則 an逐漸遠離平衡解逐漸遠離平衡解 b/(1- ) (發(fā)散型不動點發(fā)散型不動點). 1,1, 1,bccnbann重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模0)(.)()(110tnntntxtaxtaxta則被稱為方程對應的則被稱為方程對應的 齊次線性差分方程齊次線性差分方程 。若所有的若所有的 ai(t

11、)均為與均為與t無關的常數，則稱其為無關的常數，則稱其為 常系數差分常系數差分方程方程，即，即n階常系數線性差分方程可分成階常系數線性差分方程可分成)(.110tbxaxaxatntntn（7.1） 的形式，其對應的齊次方程為的形式，其對應的齊次方程為0.110tntntnxaxaxa（7.2） )2(2)1(1tttxcxcx)1(tx)2(tx容易證明，若序列容易證明，若序列與與均為方程（均為方程（7.2）的解，則）的解，則也是方程（也是方程（7.2）的解，其）的解，其 中中c1、c2為任意常數，這說明，為任意常數，這說明，齊次方程的解構成一個齊次方程的解構成一個 線性空間線性空間（解空間

12、）。（解空間）。 此規(guī)律對于（此規(guī)律對于（7.1）也成立。）也成立。重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模 方程（方程（7.1）可用如下的代數方法求其通解：）可用如下的代數方法求其通解：（步一步一）先求解對應的特征方程）先求解對應的特征方程 0.110nnnaaa （7.3） （步二步二）根據特征根的不同情況，求齊次方）根據特征根的不同情況，求齊次方 程程(7.2）的通解的通解 情況情況1 若特征方程（若特征方程（7.3）有）有n個互不相同的實根個互不相同的實根1 , n ，則齊次方程（，則齊次方程（7.2）的通解為）的通解為tnntCC.11 (C1,Cn為任意常

13、數為任意常數)，iC情況情況2 若若 是特征方程（是特征方程（7.3）的）的k重根，通解中對應重根，通解中對應 于于的項為的項為tkktCC )(11 為任意常數，為任意常數，i=1,k。情況情況3 若特征方程（若特征方程（7.3）有單重復根）有單重復根 ia 通解中對應它們的項為通解中對應它們的項為 tttt sinCcosC21 22 為為的模，的模， arctan 為為的幅角。的幅角。 重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模情況情況4 若若ia 為特征方程（為特征方程（7.3）的）的k重復根，則通重復根，則通 解對應于它們的項為解對應于它們的項為tttttkt

14、k sin)CC(cos)CC(12k1k1k1 iC為任意常數，為任意常數，i=1,2k。 ty .若若yt為方程為方程(7.2)的的通解通解,則非齊次方程則非齊次方程 (7.1)的通解為的通解為（步三步三） 求非齊次方程求非齊次方程 (7.1)的一個特解的一個特解ttyy 求非齊次方程（求非齊次方程（7.1）的特解一般）的特解一般要用到要用到 常數變易法常數變易法，計算較繁。，計算較繁。對特殊形式對特殊形式 的的b(t)也可使用也可使用 待定待定系數法系數法。 重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模0)(6) 1(5) 2(nynyny初始條件為初始條件為y(0

15、)=2y(0)=2和和y(1)=3y(1)=3，求方程的齊次解。，求方程的齊次解。例例2.系統(tǒng)的差分方程系統(tǒng)的差分方程特征根為特征根為. 3, 221nnhCCny) 3()2()(21于是于是由初始條件由初始條件212)0(CCy21323) 1 (CCy解得：解得：1, 321CC故齊次解故齊次解nnhny3)2( 3)(0) 3)(2(652解：特征方程為解：特征方程為重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模2 2、特解、特解 特解得求法：將激勵特解得求法：將激勵x(nx(n) )代入差分方程右端得到代入差分方程右端得到自由項，特解的形式與自由項及特征根的形式有

16、關。自由項，特解的形式與自由項及特征根的形式有關。（1 1）自由項為）自由項為n nk k的多項式的多項式1 1不是特征根：不是特征根：kkkpDnDnDny110)(1 1是是K K重特征根：重特征根：)()(110kkkKpDnDnDnny重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模（2 2）自由項為）自由項為na 不是特征根，不是特征根，則特解則特解anpDany)( 是特征單根，是特征單根，則特解則特解anpaDnDny)()(21 是是k k重特征根，重特征根，則特解則特解ankkkpaDnDnDny)()(1121重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課

17、程-數學建模數學建模（3 3）自由項為正弦）自由項為正弦 或余弦或余弦 表達式表達式0cosn0201cossin)(nDnDnyp0sinn（4 4）自由項為正弦）自由項為正弦)cossin(0201nAnAn 不是特征根不是特征根0je)cossin()(0201nDnDnynp)cossin()(0201nDnDnnynkp 是特征根是特征根0je重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模例例3 3： 求下示差分方程的完全解求下示差分方程的完全解) 1()() 1(2)(nxnxnyny其中激勵函數其中激勵函數 ，且已知，且已知2)(nnx1) 1(y解：特征方程

18、：解：特征方程：02 2齊次通解：齊次通解：nc)2(將將 代入方程右端，得代入方程右端，得)(nx12)1()1()(22nnnnxnx設特解為設特解為 形式，代入方程得形式，代入方程得21DnD重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模日常的經濟問題中的差分方程模型日常的經濟問題中的差分方程模型 假如你在銀行開設了一個假如你在銀行開設了一個1000元的存款賬戶，銀行的年利元的存款賬戶，銀行的年利率為率為7%. 用用an表示表示n年后你賬

19、戶上的存款額，那么下面的數列年后你賬戶上的存款額，那么下面的數列就是你每年的存款額：就是你每年的存款額： a0, a1, a2, a3, , an, 設設r為年利率，由于為年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款問題的數學模型因此存款問題的數學模型是：是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模 從從1994年開始，我國逐步實行了大學收費制度年開始，我國逐步實行了大學收費制度. 為了保障子女為了保障子女將來的教育費用，小張夫婦從他們的兒子出生時開始，每年向將來的教育費用，小張夫婦從他們的兒子出生

20、時開始，每年向銀行存入銀行存入x元作為家庭教育基金元作為家庭教育基金. 若銀行的年利率為若銀行的年利率為r，試寫出第，試寫出第n年后教育基金總額的表達式年后教育基金總額的表達式. 預計當子女預計當子女18歲入大學時所需的歲入大學時所需的費用為費用為100000元，按年利率元，按年利率3%計算，小張夫婦每年應向銀行存計算，小張夫婦每年應向銀行存入多少元入多少元? 設設n年后教育基金總額為年后教育基金總額為an，每年向銀行存入，每年向銀行存入x元，依據復利元，依據復利率計算公式，得到家庭教育基金的數學模型為：率計算公式，得到家庭教育基金的數學模型為： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n

21、=0,1,2,3,重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模 由由 a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3, 得通解得通解: 將將 a0=x, =1+r, b=x 代入代入, 得得 c =x(1+r)/r, 因此方程的特解因此方程的特解是是:1bcannnnnnarrxrrxa1)1 (,1)1 (11 將將 a18=100000,r=0.03 代入計算出代入計算出 x=3981.39.重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模 小李夫婦要購買二居室住房一套，共需小李夫婦要購買二居室住房一套，共需30萬元萬元. 他們已經籌

22、他們已經籌集集10萬元，另外萬元，另外20萬元申請抵押貸款萬元申請抵押貸款. 若貸款月利率為若貸款月利率為0.6%，還貸期限為還貸期限為20年，問小李夫婦每月要還多少錢？年，問小李夫婦每月要還多少錢？ 設貸款額為設貸款額為a0，每月還貸額為，每月還貸額為x，月利率為，月利率為r，第，第n個月后的欠個月后的欠款額為款額為an，則，則 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模 由由 a0=200000, an+1=(1+r)an-x, n=0,1,

23、2,3,將將 =1+r, b=-x 代入得到方程的特解代入得到方程的特解:rrxraannn1)1 ()1 (0 若在第若在第N個月還清貸款，令個月還清貸款，令 aN=0, 得得:1)1 ()1 (0NNrrrax 將將 a0=200000, r =0.006, N=20*12=240 代入計算出代入計算出 x=1574.70重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模 小王看到一則廣告：商場對電腦實行分期付款銷售小王看到一則廣告：商場對電腦實行分期付款銷售. 一臺售一臺售價價8000元的電腦，可分元的電腦，可分36個月付款，每月付個月付款，每月付300元即可元即可. 同

24、時他同時他收到了銀行提供消費貸款的消息：收到了銀行提供消費貸款的消息：10000元以下的貸款，可在三元以下的貸款，可在三年內還清，年利率為年內還清，年利率為15%. 那么，他買電腦應該向銀行貸款，還那么，他買電腦應該向銀行貸款，還是直接向商店分期付款？是直接向商店分期付款？ 經過分析可知，分期付款與抵押貸款模型相同經過分析可知，分期付款與抵押貸款模型相同. 設第設第n個月后個月后的欠款額為的欠款額為an，則，則 a0=8000, an+1=(1+r)an-300, n=0,1,2,3, 貸款模型貸款模型 a0=8000, an+1=(1+0.15/12)an-x, n=0,1,2,3,重慶郵電

25、大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模7.2 市場經濟中的蛛網模型市場經濟中的蛛網模型問問 題題供大于求供大于求現(xiàn)現(xiàn)象象商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定商品數量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定當不穩(wěn)定時政府能采取什么干預手段使之穩(wěn)定價格下降價格下降減少產量減少產量增加產量增加產量價格上漲價格上漲供不應求供不應求描述商品數量與價格的變化規(guī)律描述商品數量與價格的變化規(guī)律數量與價格在振蕩數量與價格在振蕩重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模蛛蛛 網網 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k時段商品數

26、量；時段商品數量；yk第第k時段商品價格時段商品價格消費者的需求關系消費者的需求關系)(kkxfy 生產者的供應關系生產者的供應關系減函數減函數增函數增函數供應函數供應函數需求函數需求函數f與與g的交點的交點P0(x0,y0) 平衡點平衡點一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgy重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模xy0fgy0 x0P0設設x1偏離偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是穩(wěn)定平衡點是穩(wěn)定

27、平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點是不穩(wěn)定平衡點gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲線斜率曲線斜率蛛蛛 網網 模模 型型0321PPPP 重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模)(kkxfy )(1kkyhx在在P0點附近用直線近似曲線點附近用直線近似曲線)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩(wěn)定穩(wěn)定P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型與蛛網

28、模型的一致方程模型與蛛網模型的一致重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模)(00 xxyykk 商品數量減少商品數量減少1單位單位, 價格上漲幅度價格上漲幅度)(001yyxxkk 價格上漲價格上漲1單位單位, (下時段下時段)供應的增量供應的增量考察考察 , 的含義的含義 消費者對需求的敏感程度消費者對需求的敏感程度 生產者對價格的敏感程度生產者對價格的敏感程度 小小, 有利于經濟穩(wěn)定有利于經濟穩(wěn)定 小小, 有利于經濟穩(wěn)定有利于經濟穩(wěn)定結果解釋結果解釋xk第第k時段商品數量；時段商品數量；yk第第k時段商品價格時段商品價格1經濟穩(wěn)定經濟穩(wěn)定結果解釋結果解釋重慶郵電

29、大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模經濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法經濟不穩(wěn)定時政府的干預辦法1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價格不變以行政手段控制價格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經濟實力控制數量不變靠經濟實力控制數量不變xy0y0gfxy0 x0gf結果解釋結果解釋需求曲線變?yōu)樗叫枨笄€變?yōu)樗焦€變?yōu)樨Q直供應曲線變?yōu)樨Q直重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模2/ )(0101yyyxxkkk模型的推廣模型的推廣 生產者根據當前時段和前一時生產者根據當前時段和前一時段的價格決定下一時段的產量。段的價格決定

30、下一時段的產量。)(00 xxyykk生產者管理水平提高生產者管理水平提高設供應函數為設供應函數為需求函數不變需求函數不變, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二階線性常系數差分方程二階線性常系數差分方程x0為平衡點為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即研究平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件)(1kkyhx211kkkyyhx重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始條件確定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡點穩(wěn)定，即

31、平衡點穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件:12,12平衡點穩(wěn)定條件平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了122, 1模型的推廣模型的推廣重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模1、問題的分析問題的分析 由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以在此僅考慮由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以在此僅考慮母鹿的增長。鹿群的增長與鹿的死亡率和生育率密切母鹿的增長。鹿群的增長與鹿的死亡率和生育率密切相關，因為鹿的生育周期為一年，即一歲以上的母鹿相關，因為鹿的生育周期為一年，即一歲以上的母鹿可以生育，所以我們把母鹿分為兩組，一歲以下的為可以生育，所以我們把母鹿分為兩組，一歲以

32、下的為幼鹿，其余的為成年鹿。根據這樣的分組，一年以后幼鹿，其余的為成年鹿。根據這樣的分組，一年以后存活的幼鹿都為成年鹿，而這一年中出生的鹿構成新存活的幼鹿都為成年鹿，而這一年中出生的鹿構成新的幼鹿。從以上的分析，我們可把觀測的時間間隔取的幼鹿。從以上的分析，我們可把觀測的時間間隔取為一年。為一年。2、模型假設、模型假設）動物的數量足夠大，故可以用連續(xù)的方法來度量。）動物的數量足夠大，故可以用連續(xù)的方法來度量。 ）只考慮母鹿，并將其分為兩組，一歲以下為幼鹿）只考慮母鹿，并將其分為兩組，一歲以下為幼鹿組，其余為成年鹿組。組，其余為成年鹿組。 7.3 簡單的鹿群增長問題簡單的鹿群增長問題重慶郵電大學

33、市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模 ）把時間離散化，每年觀測一次，即環(huán)境因素、生育、死亡）把時間離散化，每年觀測一次，即環(huán)境因素、生育、死亡方式等每年重復發(fā)生。方式等每年重復發(fā)生。 ）不考慮飽和狀態(tài)，即在所考慮的時間段內，種群的增長幾）不考慮飽和狀態(tài)，即在所考慮的時間段內，種群的增長幾乎不受自然資源的制約。乎不受自然資源的制約。 ）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡數與鹿的總數成正比。）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡數與鹿的總數成正比。）鹿的生育數與鹿的總數成正比。）鹿的生育數與鹿的總數成正比。3、模型的建立與求解、模型的建立與求解分別以分別以nx和和ny表示第表示第n年幼鹿和

34、成年鹿的數量。年幼鹿和成年鹿的數量。 一年后，幼鹿存活的數量與一年后，幼鹿存活的數量與nx之比叫做幼鹿的存活率。之比叫做幼鹿的存活率。 由假設，每年的存活率是一常數，分別以由假設，每年的存活率是一常數，分別以1b和和2b表示幼鹿和成年鹿的存活率。表示幼鹿和成年鹿的存活率。 重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模 因為年長的幼鹿在這一年之內可能超過一歲，因而有生因為年長的幼鹿在這一年之內可能超過一歲，因而有生育能力。根據假設，生育率也是常數，育能力。根據假設，生育率也是常數， 分別以1a和2a表示幼鹿和成年鹿的生育率。表示幼鹿和成年鹿的生育率。 假設剛出生的幼鹿在哺乳

35、期的存活率為假設剛出生的幼鹿在哺乳期的存活率為s。一年以后，原來的幼鹿可生育幼鹿數為一年以后，原來的幼鹿可生育幼鹿數為nxa1 成年鹿可生育的幼鹿數為成年鹿可生育的幼鹿數為nya2 由于哺乳期的新生幼鹿的存活率為s， 所以一年以后新的幼鹿數：所以一年以后新的幼鹿數： 11(asxnsyaxnn)2nnysaxa21 (7.2.1)一年以后，原來的幼鹿存活數為一年以后，原來的幼鹿存活數為nxb1 原來的成年鹿的存活數為原來的成年鹿的存活數為nyb2 所以新的成年鹿的數目是所以新的成年鹿的數目是nnnybxby211 (7.2.2)重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模

36、(7.2.1).(7.2.2)聯(lián)立起來，即得下面的線性差分方程組：聯(lián)立起來，即得下面的線性差分方程組： nnnnnnybxbyysaxsax211211 (7.2.3)或用矩陣表示為：或用矩陣表示為： 11nnyx2121bbsasannyx (7.2.4) 這是一個一步方程，令這是一個一步方程，令 nunnyx， A=2121bbsasa則則(7.2.4)式可表示為式可表示為 nnAuu1 (7.2.5) 重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模于是可推出：于是可推出： 0uAunn或 nnyx=00yxAn n0 (7.2.6) 如果知道開始時幼鹿數量如果知道開始

37、時幼鹿數量0 x和成年鹿的數量和成年鹿的數量0y，由，由(7.2.6)可算出第可算出第n年的鹿的總數。年的鹿的總數。 為了給出解的一般表達式，先把矩陣為了給出解的一般表達式，先把矩陣A對角化：對角化： 令令 EA=0即即 02121bbsasa得特征方程：得特征方程：0)()(1221212babasbsa (7.2.7)重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模其判別式為其判別式為 )(4)(1221221babasbsa =122214)(asabsa 由于由于s,12,ba 都是大于零的，所以判別式都是大于零的，所以判別式 0，1和和2矩陣矩陣A可以對角化?？梢詫?/p>

38、角化。 特征方程特征方程(7.2.7)有兩個相異的實根有兩個相異的實根，這保證了，這保證了 對于特征根1，從下面的線性方程組，從下面的線性方程組 121211bbsasayx=00可解得特征向量可解得特征向量Tbb),(1211 同理可解得對應于特征根同理可解得對應于特征根2的特征向的特征向量量Tbb),(1222重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模所以可得矩陣 P112221bbbb 使得21100APPA112221bbbb21001112221bbbb即于是得 nA112221bbbbnn21001112221bbbb將上式代入(7.2.6)式00yxAnn

39、nyx=重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模nnyx=112221bbbbnn21001112221bbbb00yx記 21cc=1112221bbbb00yx (7.2.8)所以 nnyx=112221bbbbnn210021cc =nnnnbbbb2111222121)()(21cc 重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模 由此可得： nnnnnnbcbcybcbcx21211122221211)()( n0 故解得：, 1, 1, 1)(, 1)(,322222231211113210322222223121, 12113210b

40、cbcyyyybcbcxxxx (7.2.9) 現(xiàn)在利用公式現(xiàn)在利用公式(7.2.9)對下面的一組數據對下面的一組數據 0 x0.8（千頭） 1a0.3 1b0.62 s0.8 0y1 （千頭） 2a1.5 2b0.75重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模計算今后6年鹿的總數。為此，將以上數據代入(7.2.7),解得39446. 1404458. 021將數據代入(7.2.8)得4798. 1133107. 021cc最后由(7.2.9)得011. 7,03. 5,602. 3,596. 2,829. 1,392. 1,621xxx746. 6,837. 4,47

41、1. 3,482. 2,798. 1,246. 1,621yyy重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模 4、模型評價、模型評價 該模型的假設中，沒有考慮資源的制約，所以當該模型的假設中，沒有考慮資源的制約，所以當鹿群的增長接近飽和狀態(tài)時，該模型失效。如果考慮鹿群的增長接近飽和狀態(tài)時，該模型失效。如果考慮自然資源的制約，則模型假設中的第條不成立，這自然資源的制約，則模型假設中的第條不成立，這時生育率與食物的獲取有關。時生育率與食物的獲取有關。重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模7.4 減肥計劃減肥計劃節(jié)食與運動節(jié)食與運動背背景景 多數減肥

42、食品達不到減肥目標，或不能維持多數減肥食品達不到減肥目標，或不能維持 通過控制飲食和適當的運動，在不傷害身體通過控制飲食和適當的運動，在不傷害身體的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標的前提下，達到減輕體重并維持下去的目標分分析析 體重變化由體內能量守恒破壞引起體重變化由體內能量守恒破壞引起 飲食（吸收熱量）引起體重增加飲食（吸收熱量）引起體重增加 代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少 體重指數體重指數BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模模型假

43、設模型假設1）體重增加正比于吸收的熱量）體重增加正比于吸收的熱量每每8000千卡增加體重千卡增加體重1千克；千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重）代謝引起的體重減少正比于體重每周每公斤體重消耗每周每公斤體重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而異因人而異), 相當于相當于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關；形式有關； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于千克，每周吸收熱量不要小于1000

44、0千卡。千卡。重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模某甲體重某甲體重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡熱量，千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。千克。第一階段：每周減肥第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達到下限（少，直至達到下限（10000千卡）；千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達到目標 2）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。）若要加快進程，第二階段增加運動，試安排計劃。1）在不運動的情況下安排一個兩階段計

45、劃。）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃。減肥計劃減肥計劃3）給出達到目標后維持體重的方案。）給出達到目標后維持體重的方案。重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克 /(80001 確定某甲的代謝消耗系數確定某甲的代謝消耗系數即每周每千克體重消耗即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)體重體重c(k) 第第k周吸收熱量周吸收熱量 代謝消耗系數代謝消耗系數(因人而異因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收每周吸收20000千卡千卡

46、 w=100千克不變千克不變wcww025. 0100800020000wc重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模 第一階段第一階段: w(k)每周減每周減1千克千克, c(k)減至下限減至下限10000千卡千卡1) 1()(kwkwk20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw第一階段第一階段10周周, 每周減每周減1千克，第千克，第10周末體重周末體重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收熱量為吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩

47、階段減肥計劃1)(1)1(kwkc10000mC重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模)1 ()1 (1 )()1 ()(1nmnCkwnkw 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 代入得以10000,80001,025. 0mC5050)(975. 0)(kwnkwnmmnCCkw)()1 (1）不運動情況的兩階段減肥計劃）不運動情況的兩階段減肥計劃)() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)()1 () 1(重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模nnkwkw求，要求

48、已知75)(,90)(50)5090(975.075n 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 5050)(975.0)(kwnkwn第二階段第二階段19周周, 每周吸收熱量保持每周吸收熱量保持10000千卡千卡, 體重按體重按 減少至減少至75千克。千克。)19, 2 , 1(50975. 040)(nnwn19975. 0lg)40/25lg(n重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模)028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取運動運動 t=24 (每周每周跳舞跳舞8小時或自行車小時或自行車10小時小時),

49、 14周即可。周即可。2）第二階段增加運動的減肥計劃）第二階段增加運動的減肥計劃根據資料每小時每千克體重消耗的熱量根據資料每小時每千克體重消耗的熱量 (千卡千卡): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行車自行車(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周運動每周運動時間時間(小時小時)()() 1()() 1(kwtkckwkw基本基本模型模型6 .44)6 .4490(972. 075n14nmmnCCkwnkw)()1()(重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模3）達到目標體重）達到目標體重75千克后維持不變的方案千克后維

50、持不變的方案)()() 1()() 1(kwtkckwkw每周吸收熱量每周吸收熱量c(k)保持某常數保持某常數C，使體重，使體重w不變不變wtCww)(wtC)()(1500075025. 08000千卡C 不運動不運動)(1680075028. 08000千卡C 運動運動(內容同前內容同前)重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk7.3 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式連續(xù)形式的阻滯增長模型的阻滯增長模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是穩(wěn)定平衡點穩(wěn)定平衡點(與

51、與r大小無關大小無關)離散離散形式形式x(t) 某種群某種群 t 時刻的數量時刻的數量(人口人口)yk 某種群第某種群第k代的數量代的數量(人口人口)若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N討論平衡點的穩(wěn)定性，即討論平衡點的穩(wěn)定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點是平衡點重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模kkyNrrx) 1( 1rb記) 1 ()1 (1Nyryyykkkk離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性離散形式阻滯增長模型的平衡點及其穩(wěn)定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一階一階(非線性非線性)差分方程差分

52、方程 (1)的平衡點的平衡點y*=N討論討論 x* 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性變量變量代換代換(2)的平衡點的平衡點brrx111*重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模(1)的平衡點的平衡點 x*代數方程代數方程 x=f(x)的根的根穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似線性方程的近似線性方程x*也是也是(2)的平衡點的平衡點1)(* xfx*是是(2)和和(1)的穩(wěn)定平衡點的穩(wěn)定平衡點1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不穩(wěn)定平衡點的不穩(wěn)定平衡點補充知識補充知識一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡點及穩(wěn)定性

53、的平衡點及穩(wěn)定性重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡點及其穩(wěn)定性的平衡點及其穩(wěn)定性平衡點平衡點bx11*穩(wěn)定性穩(wěn)定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（單調增）0 x1x1x2xx* 穩(wěn)定穩(wěn)定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不不穩(wěn)定穩(wěn)定另一平衡另一平衡點為點為 x=01 rb1)0(bf不穩(wěn)定不穩(wěn)定b 2重慶郵電大學市級精品課程重慶郵電大學市級精品課程-數學建模數學建模3)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1