高考考前數(shù)學專題輔導統(tǒng)計與概率

1、高考考前數(shù)學專題輔導統(tǒng)計與概率一、知識點歸納：(一)統(tǒng)計部分1.標準差: 方差:在頻率直方圖中計算眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)：眾數(shù)= 樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中_的橫坐標；中位數(shù) 頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該_；平均數(shù)= 頻率分布直方圖中_.2.最小二乘法求回歸直線方程： (二) 概率部分1、條件概率：（1）條件概率：設(shè)A和B為兩個事件且P(A)0，稱為在“A已發(fā)生”的條件下，B發(fā)生的條件概率 =特殊分布的分布列：二項分布：在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)k次的概率P（=k）=記作： B(n，p),則；D(X)= .3、性質(zhì)：若X是隨機變量,為常數(shù), 則是隨機變量,且（）；

2、（）二、經(jīng)典例題集錦:1.頻率分步直方圖1.為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.從符合條件的名志愿者中隨機抽樣名志愿者的年齡情況如下表所示（）頻率分布表中的、位置應(yīng)填什么數(shù)據(jù)？并在答題卡中補全頻率分布直方圖（如圖），再根據(jù)頻率分布直方圖估計這名志愿者中年齡在歲的人數(shù)； 20 25 30 35 40 45 年齡 歲（）在抽出的名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取人參加中心廣場的宣傳活動，從這人中選取名志愿者擔任主要負責人，記這名志愿者中“年齡低于歲”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望分組（單位：歲）頻數(shù)頻率合計 20 25 30 35 40 45 年齡 歲解：（）處填，處填；補

3、全頻率分布直方圖如圖所示.名志愿者中年齡在 的人數(shù)為 人 6分（）用分層抽樣的方法，從中選取人,則其中“年齡低于歲”的有人，“年齡不低于歲”的有人 故的可能取值為，； ， ， 13分要會畫頻率分布直方圖，并通過直方圖，能計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)和中位數(shù)2.幾何概型2. 行促銷活動，到商場購物消費滿100元就可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤(轉(zhuǎn)盤為十二等分的圓盤)一次進行抽獎，滿200元轉(zhuǎn)兩次，以此類推（獎金累加）；轉(zhuǎn)盤的指針落在A區(qū)域中一等獎，獎10元，落在B、C區(qū)域中二等獎，獎5元，落在其它區(qū)域則不中獎一位顧客一次購物消費268元，ABC() 求該顧客中一等獎的概率；() 記為該顧客所得的獎金數(shù)，求其分布列；()

4、求數(shù)學期望(精確到0.01)() 設(shè)該顧客中一等獎為事件 （）的可能取值為20，15，10，5，0 ，（每個1分）所以的分布列為:略（） 3古典概型1）“組合”型古典概型3.（2011西城二模理17）甲班有2名男乒乓球選手和3名女乒乓球選手，乙班有3名男乒乓球選手和1名女乒乓球選手，學校計劃從甲乙兩班各選2名選手參加體育交流活動.（）求選出的4名選手均為男選手的概率.（）記為選出的4名選手中女選手的人數(shù)，求的分布列和期望.解：（）事件表示“選出的4名選手均為男選手”.由題意知 . （）的可能取值為. ， ， . 的分布列：略2）“排列”型古典概型4. （北京2008年高考試題）甲、乙等五名奧運

5、志愿者被隨機地分到四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者（）求甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)的概率 請同學們一定要會做了（）求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率；（）設(shè)隨機變量為這五名志愿者中參加崗位服務(wù)的人數(shù)，求的分布列解：（）記甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)為事件，那么，即甲、乙兩人同時參加崗位服務(wù)的概率是（）記甲、乙兩人同時參加同一崗位服務(wù)為事件，那么，所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是（）隨機變量可能取的值為1，2事件“”是指有兩人同時參加崗位服務(wù)，則所以，的分布列:略3）摸球（綜合）問題（有放回和無放回）5. 一個盒子中裝有5張卡片，每張卡片上寫有一個數(shù)字，數(shù)字分別是1、2、3、

6、4、5，現(xiàn)從盒子中隨機抽取卡片.（）從盒子中依次抽取兩次卡片，每次抽取一張，取出的卡片不放回，求兩次取到的卡片的數(shù)字都為奇數(shù)或偶數(shù)的概率；（）若從盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一張，求恰有兩次取到卡片的數(shù)字為奇數(shù)的概率；（III）從盒子中依次抽取卡片，每次抽取一張，取出的卡片不放回，當取到記有奇數(shù)的卡片即停止抽取，否則繼續(xù)抽取卡片，求抽取次數(shù)的分布列和期望.解：（）因為1,3,5是奇數(shù)，2、4是偶數(shù)，設(shè)事件A為“兩次取到的卡片的數(shù)字都為奇數(shù)或偶數(shù)” （）設(shè)表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一張，恰有兩次取到的卡片上數(shù)字為奇數(shù)”， 由已知，每次取到的卡片上數(shù)字為奇數(shù)的概率為， 則.

7、8分（）依題意，的可能取值為. 所以的分布列為:略. 6. 某同學設(shè)計一個摸獎游戲：箱內(nèi)有紅球3個，白球4個，黑球5個每次任取一個，有放回地抽取3次為一次摸獎至少有兩個紅球為一等獎，記2分；紅、白、黑球各一個為二等獎，記1分；否則沒有獎，記0分（I）求一次摸獎中一等獎的概率；（II）求一次摸獎得分的分布列和期望解：（I）每次有放回地抽取，取到紅球的概率為；取到白球的概率為；取到黑球的概率為； 一次摸獎中一等獎的概率為 （II）設(shè)表示一次摸獎的得分，則可能的取值為0，1，2 ； 一次摸獎得分的分布列為:略期望為 注意: 必需寫7（2011年西城期末理17）一個袋中裝有個形狀大小完全相同的小球，球

8、的編號分別為.（）若從袋中每次隨機抽取1個球，有放回的抽取2次，求取出的兩個球編號之和為6的概率；（）若從袋中每次隨機抽取個球，有放回的抽取3次，求恰有次抽到號球的概率；（）若一次從袋中隨機抽取個球，記球的最大編號為，求隨機變量的分布列.解：（）設(shè)先后兩次從袋中取出球的編號為，則兩次取球的編號的一切可能結(jié)果有種， 其中和為的結(jié)果有，共種，則所求概率為. （）每次從袋中隨機抽取個球,抽到編號為的球的概率.所以，次抽取中，恰有次抽到6號球的概率為（）隨機變量所有可能的取值為. 9分， ， . 所以，隨機變量的分布列為:略4.強行終止的概率問題8、（2011東城二模理17）甲，乙兩人進行乒乓球比賽，

9、約定每局勝者得分，負者得分，比賽進行到有一人比對方多分或打滿局時停止設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負相互獨立已知第二局比賽結(jié)束時比賽停止的概率為（）求的值；（）設(shè)表示比賽停止時比賽的局數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望解：（）當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結(jié)束時比賽停止，故， 解得或 又，所以 （）依題意知的所有可能取值為2，4，6， ， ，所以隨機變量的分布列為：略所以的數(shù)學期望9. 某商場在店慶日進行抽獎促銷活動，當日在該店消費的顧客可參加抽獎抽獎箱中有大小完全相同的4個小球，分別標有字“生”“意”“興”“隆”顧客從中任意取出1個球，記下上面的字后放回箱中，再從中任取1個球，重復

10、以上操作，最多取4次，并規(guī)定若取出“隆”字球，則停止取球獲獎規(guī)則如下：依次取到標有“生”“意”“興”“隆”字的球為一等獎；不分順序取到標有“生”“意”“興”“隆”字的球，為二等獎；取到的4個球中有標有“生”“意”“興”三個字的球為三等獎（）求分別獲得一、二、三等獎的概率；（）設(shè)摸球次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望解：（）設(shè)“摸到一等獎、二等獎、三等獎”分別為事件A，B，C 1分則P(A)=， P(B) 三等獎的情況有：“生，生，意，興”；“生，意，意，興”；“生，意，興，興”三種情況P(C)（）設(shè)摸球的次數(shù)為，則 8分， ， ，（各1分）故取球次數(shù)的分布列為:略(約為2.7) 13分5.給出概率考

11、查“事件的相互獨立”10（2011西城一模理）甲、乙、丙三人獨立破譯同一份密碼，已知甲、乙、丙各自破譯出密碼的概率分別為.且他們是否破譯出密碼互不影響.若三人中只有甲破譯出密碼的概率為.（）求甲乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率；（）求的值；（）設(shè)甲、乙、丙三人中破譯出密碼的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.解：記“甲、乙、丙三人各自破譯出密碼”分別為事件，依題意有且相互獨立.（）甲、乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率為. （）設(shè)“三人中只有甲破譯出密碼”為事件，則有， 所以，. （）的所有可能取值為. 所以， = 分布列為：略所以，. 6獨立重復試驗與古典概率綜合考查11（2011朝陽一模理17

12、）在某校教師趣味投籃比賽中,比賽規(guī)則是: 每場投6個球，至少投進4個球且最后2個球都投進者獲獎；否則不獲獎. 知教師甲投進每個球的概率都是（）記教師甲在每場的6次投球中投進球的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望；（）求教師甲在一場比賽中獲獎的概率；（）已知教師乙在某場比賽中，6個球中恰好投進了4個球，求教師乙在這場比賽中獲獎的概率；教師乙在這場比賽中獲獎的概率與教師甲在一場比賽中獲獎的概率相等嗎？ 解：（）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6. 依條件可知XB(6，). ()X的分布列為：略所以=.或因為XB(6，)，所以. 即X的數(shù)學期望為4 5分 （）設(shè)教師甲在一場比賽中獲獎為事件A

13、， 則答：教師甲在一場比賽中獲獎的概率為 10分（）設(shè)教師乙在這場比賽中獲獎為事件B 則.即教師乙在這場比賽中獲獎的概率為.顯然，所以教師乙在這場比賽中獲獎的概率與教師甲在一場比賽中獲獎的概率不相等12(2011海淀一模). 某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測，每一件一等品都能通過檢測，每一件二等品通過檢測的概率為.現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6件是一等品，4件是二等品.() 隨機選取1件產(chǎn)品，求能夠通過檢測的概率；()隨機選取3件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為，求的分布列；() 隨機選取3件產(chǎn)品，求這三件產(chǎn)品都不能通過檢測的概率.解：()設(shè)隨機選取一件產(chǎn)品，能夠通過檢測的事件為 1分事件等于事件 “選

14、取一等品都通過檢測或者是選取二等品通過檢測” 2分 4分() 由題可知可能取值為0,1,2,3. ,. 8分布列：略()設(shè)隨機選取3件產(chǎn)品都不能通過檢測的事件為 10分事件等于事件“隨機選取3件產(chǎn)品都是二等品且都不能通過檢測”所以，. 13分7獨立重復試驗與“獨立事件”綜合考查13、（2011豐臺二模理16）.張先生家住H小區(qū)，他在C科技園區(qū)工作，從家開車到公司上班有L1，L2兩條路線（如圖），L1路線上有A1，A2，A3三個路口，各路口遇到紅燈的概率均為；L2路線上有B1，B2兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為，HCA1A2B1B2L1L2A3（）若走L1路線，求最多遇到1次紅燈的概率；（

15、）若走L2路線，求遇到紅燈次數(shù)的數(shù)學期望；（）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由解：（）設(shè)走L1路線最多遇到1次紅燈為A事件，則 4分所以走L1路線，最多遇到1次紅燈的概率為（）依題意，的可能取值為0，1，2 ， ， 隨機變量的分布列為：略 （）設(shè)選擇L1路線遇到紅燈次數(shù)為，隨機變量服從二項分布，所以 因為，所以選擇L2路線上班最好 14. (2011門頭溝一模理17) 為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國民眾的身體健康，要求產(chǎn)品在進入市場前必須進行兩輪核輻射檢測，只有兩輪都合格才能進行銷售，否則不能銷售.已知某產(chǎn)品第一輪檢測不合格

16、的概率為，第二輪檢測不合格的概率為，兩輪檢測是否合格相互沒有影響.（）求該產(chǎn)品不能銷售的概率；（）如果產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品可獲利40元；如果產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元（即獲利-80元）.已知一箱中有產(chǎn)品4件，記一箱產(chǎn)品獲利X元，求X的分布列，并求出均值E(X).解：（）記“該產(chǎn)品不能銷售”為事件A，則. 所以，該產(chǎn)品不能銷售的概率為. （）由已知，可知X的取值為. ， ，. 所以X的分布列為：略 E(X)8.條件概率15（2007年山東理18）設(shè)分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù),用隨機變量表示方程實根的個數(shù)(重根按一個計).(I)求方程 有實根的概率;(II) 求的分布列和數(shù)學期望

17、;(III)求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下,方程 有實根的概率.解：:（I）基本事件總數(shù)為，若使方程有實根，則，即。當時，；當時，；當時，；當時，； 當時，；當時，,目標事件個數(shù)為 因此方程 有實根的概率為(II)由題意知，則，故的分布列為：略 的數(shù)學期望(III)記“先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5”為事件M，“方程 有實根” 為事件N，則，.9.創(chuàng)新問題16.（2011年石景山期末理16）某地區(qū)舉辦科技創(chuàng)新大賽，有50件科技作品參賽，大賽組委會對這50件作品分別從“創(chuàng)新性”和“實用性”兩項進行評分，每項評分均按等級采用5分制，若設(shè)“創(chuàng)新性”得分為，“實用性”得分為，統(tǒng)計結(jié)果如下表：作品數(shù)量

18、實用性1分2分3分4分5分創(chuàng)新性1分131012分107513分210934分1605分00113（）求“創(chuàng)新性為4分且實用性為3分”的概率；（）若“實用性”得分的數(shù)學期望為，求、的值解：（）從表中可以看出，“創(chuàng)新性為分且實用性為分”的作品數(shù)量為件，“創(chuàng)新性為分且實用性為分”的概率為 4分（）由表可知“實用性”得分有分、分、分、分、分五個等級，且每個等級分別有件，件，件，件，件5分“實用性”得分的分布列為：又“實用性”得分的數(shù)學期望為，10分作品數(shù)量共有件， 解得， 17.（2011海淀查漏補缺題）某地區(qū)對12歲兒童瞬時記憶能力進行調(diào)查瞬時記憶能力包括聽覺記憶能力與視覺記憶能力.某班學生共有40人，下表為該班學生瞬時記憶能力的調(diào)查結(jié)果例如表中聽覺記憶能力為中等，且視覺記憶能力偏高的學生為3人視覺視覺記憶能力偏低中等偏高超常聽覺記憶能力偏低0751中等183偏高201超常0211由于部分數(shù)據(jù)丟失，只知道從這40位學生中隨機抽取一個，視覺記憶能力恰為中等，且聽覺記憶能力為中等或中等以上的概率為（）試確定、的值；（）從40人中任意抽取3人，求其中至少有一位具有聽覺記憶能力或視覺記憶能力超常的學生的概率；（）從40人中任意抽取3人，