阿貝爾和伽羅瓦的比較

1、阿貝爾和伽羅瓦的比較今天我要向大家介紹兩位朋友一一阿貝爾和伽羅瓦1阿貝爾與伽羅瓦的不同點1.1兩人的個人基本情況比較1 . 2數(shù)學(xué)研究的成就不同阿貝爾證明對一般的四次以上的程沒有代數(shù)解.伽羅瓦解決了什么樣的程有代數(shù)解，即程有根式解的充 要條件.1 . 3運氣不同“阿貝爾最終畢竟還是幸運的，他回挪威后一年里，歐洲 大陸的數(shù)學(xué)界漸漸了解了他.繼失蹤的那篇主要論文之后， 阿貝爾又寫過若干篇類似的論文，都在克雷勒雜志上發(fā)表 了.這些論文將阿貝爾的名字傳遍歐洲所有重要的數(shù)學(xué)中 心，他業(yè)已成為眾所矚目的優(yōu)秀數(shù)學(xué)家之一.遺憾的是，他 處境閉塞，孤陋寡聞，對此情況竟無所知.”但是伽羅瓦的重大創(chuàng)作在生前始終沒有

2、機(jī)會發(fā)表.1 . 4成果的廣泛性不同阿貝爾在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)，主要表現(xiàn)在程論、無窮級數(shù)和 橢圓函數(shù)等面.即除了代數(shù)程論之外，阿貝爾還從事分析面 的研究.所以說阿貝爾是多產(chǎn)的.但是伽羅瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群論 徹底解決了根式求解代數(shù)程的問題，而且由此發(fā)展了一整套 關(guān)于群和域的理論.即伽羅瓦的成果重在代數(shù)程論.1 . 5成就的影響不同“阿貝爾的一系列工作為后人留下豐厚的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，為群論、域論和橢圓函數(shù)論的研究開拓了道路.他的數(shù)學(xué)思想至 今深刻地影響著其他數(shù)學(xué)分支.C.埃爾米特(Hermite)曾這樣評價阿貝爾的功績：阿貝爾留下的一些思想，可供數(shù)學(xué)家 們工作150年“伽羅瓦最主要的成就是

3、提出了群的概念， 并用群論徹底 解決了根式求解代數(shù)程的問題，而且由此發(fā)展了一整套關(guān)于 群和域的理論，為了紀(jì)念他，人們稱之為伽羅瓦理論.正是 這套理論創(chuàng)立了抽象代數(shù)學(xué)，把代數(shù)學(xué)的研究推向了一個新 的里程.正是這套理論為數(shù)學(xué)研究工作提供了新的數(shù)學(xué)工 具一群論.它對數(shù)學(xué)分析、幾學(xué)的發(fā)展有很大影響，并標(biāo)志 著數(shù)學(xué)發(fā)展現(xiàn)代階段的開始.”1 . 6心理狀況不同阿貝爾一一“從滿懷希望到漸生疑慮終至完全失望，阿貝爾在巴黎空等了將近一年.他寄居的那家房東又特別吝嗇刻 薄，每天只供給他兩頓飯，卻收取昂貴的租金.一天，他感 到身體很不舒暢，經(jīng)醫(yī)生檢查，診斷為肺病，盡管他頑強(qiáng)地 不相信，但實情是他確已心力交瘁了.阿貝

4、爾只好拖著病弱 的身體，懷著一顆飽嘗冷遇而孤寂的心告別巴黎回國.”伽羅瓦一一“對事業(yè)必勝的信念激勵著年輕的伽羅瓦.雖然他的論文一再被丟失，得不到應(yīng)有的支持，但他并沒有灰 心，他堅信他的科研成果，不僅一次又一次地想辦法傳播出 去，還進(jìn)一步向更廣的領(lǐng)域探索.”2阿貝爾與伽羅瓦的相同點與聯(lián)系2 . 1都遇到了好老師，受到好老師的指導(dǎo)幫助15歲(1817)時，他幸運地遇到一位優(yōu)秀數(shù)學(xué)教師B. M .霍爾姆博(Holmbo .后者在數(shù)學(xué)上的最大貢獻(xiàn)也正 是發(fā)現(xiàn)并培養(yǎng)了這位數(shù)學(xué)天才.良師耐心細(xì)致的教誨，喚起 了他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愿望，使他對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣.”“但在第三年(1826)，伽羅瓦對修辭學(xué)沒有下足夠的功

5、 夫，因而只得重讀一年.在這次挫折之后，他被批準(zhǔn)選學(xué)第 一門數(shù)學(xué)課.這門課由 H . J.韋尼耶(Vernier)講授，他喚起 了伽羅瓦的數(shù)學(xué)才能，使他對數(shù)學(xué)發(fā)生了濃厚的興趣.”1828年10月，伽羅瓦從初級數(shù)學(xué)班升到L. P. E.里查德(Richard)的數(shù)學(xué)專業(yè)班.里查德是一位年輕而富有才華的教 授，并且具有發(fā)掘科學(xué)英才的敏銳判斷力和高度責(zé)任感.他認(rèn)為伽羅瓦是最有數(shù)學(xué)天賦的人物，只宜在數(shù)學(xué)的尖端領(lǐng)域中工作.”2 . 2都大量閱讀了大師的著作16歲那年，他遇了一個能賞識其才能的老師霍姆伯(Holmboe )介紹他閱讀牛頓、歐拉、拉格朗日、高斯的著 作.大師們不同凡響的創(chuàng)造性法和成果，一下子

6、開闊了阿貝 爾的視野，把他的精神提升到一個嶄新的境界，他很快被推 進(jìn)到當(dāng)時數(shù)學(xué)研究的前沿陣地.后來他感慨地在筆記中寫下 這樣的話：要想在數(shù)學(xué)上取得進(jìn)展，就應(yīng)該閱讀大師的而不 是他們的門徒的著作.”“他很快地學(xué)完了通常規(guī)定的課程，并求教于當(dāng)時的數(shù)學(xué) 大師.他如饑似渴地閱讀了A?M?勒讓德的著作幾原理和T丄拉格朗日的代數(shù)程的解法、解析函數(shù)論、微積 分學(xué)教程.接著他又研究了 L.歐拉(Euler)、C. F.高斯(Gauss) 和A . L.柯西(Cauchy)的著作，為自己打下了堅實的數(shù)學(xué)基 礎(chǔ).由于他刻苦學(xué)習(xí)，能著重領(lǐng)會和掌握其中的數(shù)學(xué)思維法， 因此，這些功課的學(xué)習(xí)，使他思路開闊，科學(xué)創(chuàng)造的思維

7、能 力得到了訓(xùn)練和提高.他的中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)班的老師里查德說伽羅瓦只宜在數(shù)學(xué)的尖端領(lǐng)域工作.”2 . 3都是很早就顯示數(shù)學(xué)面的才華“幼時，他(阿貝爾)就顯露出數(shù)學(xué)上的才能.”“在父母的熏下，伽羅瓦童年時代就表現(xiàn)出有才能、認(rèn)真、熱心等良好的品格2 . 4同樣是坎坷的人生.開始他們的觀點都不為人所理解重視“阿貝爾終于在1825年8月獲得公費，開始其歷時兩年的大陸之行.躊躇滿志的阿貝爾自費印刷了證明五次程不可解的論文，把它作為自己晉謁大陸大數(shù)學(xué) 家們，特別是高斯的科學(xué)護(hù)照.他相信高斯將能認(rèn)識他工作 的價值而超出常規(guī)地接見.但看來高斯并未重視這篇論文， 因為人們在高斯死后的遺物中發(fā)現(xiàn)阿貝爾寄給他的小冊子

8、還沒有裁開.柏林是阿貝爾旅行的第一站.他在那里滯留了將近一年時間.雖然等候高斯召見的期望終于落空，這一 年卻是他一生中最幸運、 成果最豐碩的時期.1826年7月， 阿貝爾抵達(dá)巴黎.他見到了那里所有出名的數(shù)學(xué)家，他們?nèi)?都彬彬有禮地接待他，然而卻沒有一個人愿意仔細(xì)傾聽他談 論自己的工作.在這些社會名流的高貴天平上，這個外表靦 腆、衣著寒酸、來自僻遠(yuǎn)落后的年輕人能有多少分量呢？他 通過正常渠道將論文提交法國科學(xué)院.科學(xué)院秘書傅立葉讀 了論文的引言，然后委托勒讓得和柯西負(fù)責(zé)審查.柯西把稿 件帶回家中，究竟放在什么地，竟記不起來了.直到兩年以 后阿貝爾已經(jīng)去世，失蹤的論文原稿才重新找到，而論文的 正式

9、發(fā)表，則遷延了 12年之久. 從滿懷希望到漸生疑慮終 至完全失望，阿貝爾在巴黎空等了將近一年.”1829年，伽羅瓦在他中學(xué)最后一年快要結(jié)束時，把關(guān) 于群論初步研究結(jié)果的論文提交給法國科學(xué)院，科學(xué)院委托 當(dāng)時法國最杰出的數(shù)學(xué)家柯西作為這些論文的鑒定人.在 1830年1月18日柯西曾計劃對伽羅瓦的研究成果在科學(xué)院舉行一次全面的意見聽取會.他在一封信中寫道：今天我應(yīng)當(dāng)向科學(xué)院提交一份關(guān)于年輕的伽羅瓦的工作報告但因 病在家，我很遺憾未能出席今天的會議，希望你安排我參加 下次會議，討論已指明的議題.然而，第二當(dāng)柯西向科學(xué)院 宣讀他自己的一篇論文時，并未介紹伽羅瓦的著作，這是一 個非常微妙的事故'

10、.1830年2月，伽羅瓦將他的研究成果 比較詳細(xì)地寫成論文交上去了，以參加科學(xué)院的數(shù)學(xué)大獎評 選，希望能夠獲獎.論文寄給當(dāng)時科學(xué)院終身秘書傅立葉， 但傅立葉在當(dāng)年5月去世了，在他的遺物中未能發(fā)現(xiàn)伽羅瓦 的手稿.就這樣，伽羅瓦遞交的兩次數(shù)學(xué)論文都被遺失 了. 1831年1月，伽羅瓦在尋求確定程的可解性這個問題上， 又得到一個結(jié)論，他寫成論文提交給法國科學(xué)院.這篇論文 是伽羅瓦關(guān)于群論的重要著作，當(dāng)時負(fù)責(zé)審查的數(shù)學(xué)家泊阿 松為理解這篇論文絞盡腦汁.傳說泊阿松將這篇論文看了四 個月，最后結(jié)論居然是完全不能理解.盡管借助于拉格朗日 已證明的一個結(jié)果可以表明伽羅瓦所要證明的論斷是正確 的，但最后他還是建

11、議科學(xué)院否定它.”本文為全文原貌未安裝PDF瀏覽器用戶請先下載安裝原版全文初都以為自2. 5都犯了同樣的錯誤，就是他最己解出了一般的五次程，可是后來發(fā)現(xiàn)了錯誤，但他們都能很快意識到了這一點，并重新研究“接著他研究一般五次程問題.開始，他曾錯誤地認(rèn)為自己得到了一 個解.霍姆伯建議他寄給丹麥的一位著名數(shù)學(xué)家審閱，幸虧 審閱者在打算認(rèn)真檢查以前，要求提供進(jìn)一步的細(xì)節(jié)，這使 阿貝爾有可能自己來發(fā)現(xiàn)并修正錯誤.這次失敗給了他非常 有益的啟發(fā)，他開始懷疑，一般五次程究竟是否可解？問題 的轉(zhuǎn)換開拓了新的探索向，他終于成功地證明了要像較低次 程那樣用根式解一般五次程是不可能的.”“據(jù)伽羅瓦說，他在1828年犯

12、了和N . H.阿貝爾(Abel) 在8年前犯的同樣錯誤，以為自己解出了一般的五次程.但 他很快意識到了這一點，并重新研究程理論，他堅持不懈， 直到成功地用群論闡明了這個帶普遍性的問題.”2 . 6都能在不為人重視的情況下，堅信自己努力讓人理解 參看第4點的材料.2 . 7在新觀點的論述中都犯了一個錯誤：論述過于簡潔維爾對為什么這位年輕數(shù)學(xué)家會被他的長輩 們拒絕，以及他本人的努力怎樣使伽羅瓦重新受到注意做了 反思：過分地追求簡潔是導(dǎo)致這一缺憾的原因.人們在處 理像純粹代數(shù)這樣抽象和神秘的事物時，應(yīng)該首先盡力避免 這樣做.事實上，當(dāng)你試圖引尋讀者遠(yuǎn)離習(xí)以為常的思路進(jìn) 入較為困惑的領(lǐng)域時，清晰性是

13、絕對必需的，就像笛卡兒說 過的那樣：“在討論超前的問題時務(wù)必空前地清晰1824年，他證明了五次或五次以上的代數(shù)程沒有一般 的用根式求解的公式.該證明寫進(jìn)了“論代數(shù)程一一證明一般 五次程的不可解性”的著名論文中，從而結(jié)束了一般代數(shù)程求 根式通解的企圖.他深知其結(jié)果的重要性，決定先以小冊子 形式自費出版它.為了節(jié)省經(jīng)費，他把小冊子壓縮到6頁，敘述很簡潔，以致多學(xué)者難以讀懂.“數(shù)學(xué)子”高斯也不相信 一個青年能用這么短的篇幅，解決連他本人都尚未解決的難 題.”2 . 8重視愛的人“阿貝爾已自知將不久于人世，這時，他唯一牽掛的是他 女友凱姆普的前途，為此，他寫信給最親近的朋友基爾豪 (Kiel-hau)

14、，要求基爾豪在他死后娶凱姆普為妻.盡管基爾豪 與凱姆普以前從未覿面，為了讓阿貝爾能死而瞑目他們照 他的遺愿做了.臨終的幾天，凱姆普堅持只要自己一個人照 看阿貝爾，她要獨占這最后的時刻”1832年3月16日伽羅瓦獲釋后不久，年輕氣盛的伽羅 瓦為了一個舞女，卷入了一場他所謂的“愛情與榮譽(yù)”的決 斗.伽羅瓦非常清楚對手的槍法很好，自己難以擺脫死亡的 命運，所以連夜給朋友寫信，倉促地把自己生平的數(shù)學(xué)研究心得扼要寫出，并附以論文手稿.”2 . 9他們都是近世代數(shù)的開創(chuàng)者2 .10壽命很短，貢獻(xiàn)很大3從我們的這兩位數(shù)學(xué)家的遭遇中，我們可以得到的啟 示3 . 1關(guān)于生命、身體健康的思考“從滿懷希望到漸生疑慮

15、終至完全失望， 阿貝爾在巴黎空 等了將近一年.一天，他感到身體很不舒暢，經(jīng)醫(yī)生檢查， 診斷為肺病，盡管他頑強(qiáng)地不相信，但實情是他確已心力交 瘁了.阿貝爾只好拖著病弱的身體，懷著一顆飽嘗冷遇而孤 寂的心告別巴黎回國.” 1832年3月16日伽羅瓦獲釋后不 久，年輕氣盛的伽羅瓦為了一個舞女，卷入了一場他所謂的愛情與榮譽(yù)的決斗伽羅瓦非常清楚對手的槍法很好，自己難以擺脫死亡的命運，所以連夜給朋友寫信，倉促地把自己 生平的數(shù)學(xué)研究心得扼要寫出，并附以論文手稿.”從這兩段話，我們可以關(guān)于生命的一點思考：珍惜生命，關(guān)愛自己.工作固然重要，但是身體健康也很重要.阿 貝爾因為工作而“心力交瘁”，弄得身體“病弱”

16、，我認(rèn)為這是不 對的.身體是自己的，工作再忙也要好好照顧自己！而伽羅 瓦“為了一個舞女”即使知道“自己難以擺脫死亡的命運”還是“卷入了一場他所謂的愛情與榮譽(yù)的決斗”我不知道他是怎 樣看待生命的？失去了生命，又談愛情呢？失去了一份愛， 我們有沒有必要為此不要了自己的生命？3 . 2多讀書，尤其是讀大師的著作從阿貝爾與伽羅瓦的經(jīng)歷中，我們可以看到他們都讀了 很多書，尤其是數(shù)學(xué)大師的著作.所以我想，一個人都是想 在某領(lǐng)域上取得成功必須看很多該領(lǐng)域的書，學(xué)習(xí)很多該領(lǐng) 域的東西，尤其是讀該領(lǐng)域大師的著作.3 . 3堅定自己的信念，相信自己的能力從阿貝爾與伽羅瓦的經(jīng)歷中，我們可以看到他們的觀點 開始時都不

17、為人理解，但是他們都堅定自己的信念，相信自 己的能力.這給我們的啟發(fā)是在走向成功的道路上，即使別 人不相信不理解你時，你都要堅定自己的信念，相信自己的 能力.這樣才能成功.3 . 4關(guān)于教師的影響、教育、課程的思考從阿貝爾與伽羅瓦的經(jīng)歷中，我們可以看到他們的老師 對他們產(chǎn)生了很大的影響，尤其是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣上的影 響很大.這讓我想到了，在教育中教師的作用是很大的.教師應(yīng) 該在兒童教學(xué)中擔(dān)任起啟發(fā)者、引導(dǎo)者等角色.“他一開始就對那些不談推理法而只注重形式和技巧問 題的教科書感到厭倦，于是，他毅然拋開教科書”這讓我想起了英國的數(shù)學(xué)教育之柯克克洛夫特(W.H.Cockcroft )報告中一些容：“

18、即必須針對中學(xué)生的各種能力水平設(shè)計不同的數(shù)學(xué)課 程.”“在每一教學(xué)階段，學(xué)生都可以在其能力可的圍擴(kuò)充與加 深自己的數(shù)學(xué)知識.在中學(xué)學(xué)習(xí)一開始就要特別注意有天賦 的學(xué)生的教育，要給他們提供足夠的數(shù)學(xué)容，否則這部分學(xué) 生就會對數(shù)學(xué)失去興趣并在以后很難恢復(fù).”“報告”還提倡高年級學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)專業(yè)文獻(xiàn)，培養(yǎng)獨立 研究數(shù)學(xué)的能力.“考試的結(jié)果不應(yīng)對學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心有所傷害.” 這就是要求我們的數(shù)學(xué)要有為不同的學(xué)生設(shè)計不同的 課程，不能損害學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還要提倡學(xué)生閱讀數(shù) 學(xué)大師的著作.3 . 5寫書語言的思考維爾對為什么這位年輕數(shù)學(xué)家會被他的長輩們拒絕，以 及他本人的努力怎樣使伽羅瓦重新受到注意做了反思： 分地追求