阿波羅尼斯圓問題

1、阿波羅尼斯圓問題一【問題背景】蘇教版數(shù)學(xué)必修 2P.112第12題：1已知點M (x, y)與兩個定點0(0,0), A(3,0)的距離之比為，那么點M的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？畫出滿足條件的點M所構(gòu)成的曲線.二、【阿波羅尼斯圓】在平面軌跡一書中，曾公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(Apollonius研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：到兩定點距離之比等于已知數(shù)的動點軌跡為直線或圓.如圖，點A, B為兩定點，動點 P滿足PAPB ,1時，動點P的軌跡為圓,則1時，動點P的軌跡為直線；當(dāng)后世稱之為阿波羅尼斯圓.證：設(shè)AB 2m (m 0),PAPB 以AB中點為原點，直線 AB為x軸建立

2、平面直角坐標(biāo)系，則 A ( m,0), B (m,0) 又設(shè) C (x, y),則由 PA PB得.(x m)2 y2 (x m)2 y2 ,兩邊平方并化簡整理得(21)2 2X2 2m（1）x （2 2 22、1）y m（1），1時，x 0，軌跡為線段AB的垂直平分線;2 11 時，（xm）2y24 2m2TF，軌跡為以點（hm,O）為圓心,2 1長為半徑的圓.上述課本習(xí)題的一般化情形就是阿波羅尼斯定理.三、【范例】例1 滿足條件AB 2, AC2BC的三角形ABC的面積的最大值是解：以AB中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（ 1,0）,B (1,0)，設(shè) C(x，y)，由

3、AC,2 BC 得（x 1）2 y2平方化簡整理得y2x2 6x 1 (x 3)2 8 8 , y 2/2，則S abc 1 2y 2 2 , S abc 的最大值是 2、2 .2變式在 ABC中，邊BC的中點為D，若AB 2,BC -2AD，貝U ABC的面積的最大值是.解:以AB中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A ( 1,0), B (1,0), 由BD CD,BC 2AD知，AD 2BD , D的軌跡為阿波羅尼斯圓，方程為22x 1 y(x 3)2 y 8，設(shè)C(x,y) , BC的中點為D得D( ,)，所以點C的軌跡方程為2 2(3)(y)2 8，即(x 5)2y2 3

4、2 ,2 2S abc $2 y y .< 324 2，故 S abc 的最大值是 4'： 2 .例2 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，設(shè)點A(1,0), B(3,0), C(0,a), D(0, a 2)，若存在點P，使得PA . 2PB, PC PD，則實數(shù)a的取值范圍是 .解：設(shè) P(x,y), 則,(x 1)2 y22 (x 飛)2一y2 ,整理得(x 5)2 y2 8，即動點P在以(5,0)為圓心，2-, 2為半徑的圓上運動.另一方面，由PC PD知動點P在線段CD的垂直平分線y a 1上運動，因而問題就轉(zhuǎn)化為直線y a 1與圓(x 5)2 y28有交點，所以a 1 22，

5、故實數(shù)a的取值范圍是22 1,22 1.例3在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點A 0,3，直線I: y 2x 4設(shè)圓的半徑為1 , 圓心在I上若圓C上存在點M，使MA 2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍2 2解：設(shè) C a,2a4 ，則圓方程為x ay 2a 41又設(shè)M (xo, yo),QMA 2MO2xYo 3 $ 4xo24y。2,即2xyo214讀萬卷書行萬里路32 2 2 2這說明M既在圓x a y 2a 41上，又在圓x2 y 14上，因而這兩個圓必有交點，即兩圓相交或相切，1 2 22 1.a 02a 4 ( 1)2 1 ,解得0 a1212，即a的取值范圍是0,.552 2例4

6、已知O O: x y 1和點M(4,2) (1) 過點M向O O引切線I，求直線I的方程；(2) 求以點M為圓心，且被直線 y 2x 1截得的弦長為4的O M的方程;(3 )設(shè)P為(2)中0 M上任一點，過點 P向O O引切線，切點為 Q.試探究：平面內(nèi)是PQ否存在一定點R，使得為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，PR請說明理由|4k218 V19解：(1)設(shè)切線I方程為y 2 k(x 4)，易得 1，解得kJk2 115、8 Vi?切線I方程為y 2(x 4).15(2)圓心到直線y 2x 1的距離為 巧，設(shè)圓的半徑為r，則r 2 22 C 5)2 92 2 OM的方程為

7、(x 4) (y 2)9(3)假設(shè)存在這樣的點R(a,b)，點P的坐標(biāo)為(x, y)，相應(yīng)的定值為，根據(jù)題意可得PQ.(x a) (y b)2 2 2/2 2 2 . 2. “、即 x y 1 (x y2 ax 2by a b )(*),又點 P在圓上 (x 4)2 (y 2)29，即 x2 y2 8x 4y 11，代入(*)式得:2 2 28x 4y 12(8 2a)x (4 2b)y (a b 11)2 (8 2a) 8若系數(shù)對應(yīng)相等，則等式恒成立，2 (4 2b) 42 (a2 b2 11)12f解得 a 2,b 1, 2或a , b ,0 ,553PQ；可以找到這樣的定點 R，使得 為

8、定值.如點R的坐標(biāo)為(2,1)時，比值為 2 ;PR點R的坐標(biāo)為(2 ,丄)時，比值為5 510四、【練習(xí)】1 如圖，在等腰 ABC中，已知AB AC , B( 1,0),AC邊的中點為D(2,0)，點C的軌跡所包圍的圖形的面積等于 解：TAB 2AD ,所以點A的軌跡是阿波羅尼斯圓，易知其 方程為(x 3) y 4,設(shè)C(x,y)，由AC邊的中點為D(2,0)知A(4x, y)，所以C的軌跡方程為(4 x 3)2( y)24，即(x 1)24，面積為42.如圖，已知平面平面 ，A、B是平面 與平面CB占P八、 5的交線上的兩個定點，DA,AD 4, BC 8, AB使得 APD BPC，求,CB ，且 DA6，在平面上有-PAB的面積的最大值.個動解：將空間幾何體中的線、面、角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)點P所滿足的幾何條件.,AD4DADAPA,在 Rt PAD 中，tan APD -APAPBC8同理tan BPCBPBPAPD BPC BP 2AP，這樣就轉(zhuǎn)化為題 3的題型.在平面 上，以線段 AB的中點為原點，AB所在的直線為 x軸,建立平面直角坐標(biāo)系，則A( 3,0), B(3,