陳暢之原子物理學(xué)第四講：薛定諤方程以及氫原子精細(xì)結(jié)構(gòu)的涵義,電子自旋,原子殼層結(jié)構(gòu)

1、(類類)氫原子的量子力學(xué)處理氫原子的量子力學(xué)處理氫原子的薛定諤方程電子在原子核的庫侖場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)： rZeU024定態(tài)薛定諤方程： )()(420222rErre氫原子問題是球?qū)ΨQ問題，通常采用球坐標(biāo)系： cossinrx sinsinry cosrz )(1222rrrr)(sinsin12r2222sin1r氫原子在球坐標(biāo)下的定態(tài)薛定諤方程： )(12222rrrr)(sinsin12rsin12222rErZe024),(r角動(dòng)量量子化角動(dòng)量量子化類氫原子中電子的軌道角動(dòng)量大小為（跟原子核電量類氫原子中電子的軌道角動(dòng)量大小為（跟原子核電量Z Z無關(guān)）無關(guān)）1Ll l角動(dòng)量的空間量子化角動(dòng)量的

2、空間量子化 解方程得出電子的軌道角動(dòng)量在解方程得出電子的軌道角動(dòng)量在Z方向的分量是方向的分量是量子數(shù)量子數(shù)ml 決定軌道角動(dòng)量在決定軌道角動(dòng)量在Z Z方向投影方向投影zlLm對(duì)同一個(gè)對(duì)同一個(gè) l 角動(dòng)量角動(dòng)量Z方向分量可能有方向分量可能有 2l+1個(gè)不同值個(gè)不同值角量子數(shù)角量子數(shù)l決定電子的軌道角動(dòng)量決定電子的軌道角動(dòng)量 的大小的大小 L薛定諤方程得出兩個(gè)兩個(gè)結(jié)論結(jié)論！0,1,2,()1ln0,1,2,lml軌道角動(dòng)量軌道角動(dòng)量大小量子化大小量子化原子中電子處在原子中電子處在n n能級(jí)的能級(jí)的等價(jià)的軌道角動(dòng)量等價(jià)的軌道角動(dòng)量大小為大小為1Ll l角量子數(shù)角量子數(shù)l決定電子的決定電子的軌道角動(dòng)量

3、軌道角動(dòng)量 的大小的大小 L0,1,2,()1ln關(guān)于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)相關(guān)知識(shí)的回顧角速度每秒鐘轉(zhuǎn)過的角度叫做點(diǎn)一個(gè)繞著中心公轉(zhuǎn)的質(zhì)m線方向！方向沿著公轉(zhuǎn)平面的法則這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量,20mvRmRJL什么是軌道角動(dòng)量？對(duì)應(yīng)著行星公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)比如，n=2，第一激發(fā)態(tài)，對(duì)應(yīng)的能量大約-3.4eV,亞軌道有2個(gè)，亞軌道l=0,取名s軌道，對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量L=0，亞軌道l=1,取名p軌道角動(dòng)量大小L= ！氫原子核內(nèi)部電子運(yùn)動(dòng)的等效的軌道角動(dòng)量也可類比行星的公轉(zhuǎn)角動(dòng)量，但是大小是非連續(xù)取值的！角量子數(shù)l來自于薛定諤方程求解過程條件限制的必然結(jié)果！)(6 .132eVn21Ll l對(duì)于同一個(gè)總能級(jí)量子數(shù)第n個(gè)軌道,會(huì)有對(duì)

4、應(yīng)的n個(gè)亞軌道，這些亞軌道對(duì)應(yīng)的總能量大致相等，都大約等于 ，但是軌道角動(dòng)量大小卻不一定相同，而且跟n無關(guān)，與原子核的電量質(zhì)量無關(guān)！比如，n=1，基態(tài)對(duì)應(yīng)能量大約-13.6eV,亞軌道只有一個(gè)，對(duì)應(yīng)的軌道量子數(shù)l=0,取名s軌道，對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量L=0！)(6 .132eVnkjihgfdpsnl. .1, , , , , , 3 , 2 , 1 , 0名字比如，n=4，第三激發(fā)態(tài)，對(duì)應(yīng)的能量大約-0.85eV,亞軌道有4個(gè)，亞軌道l=0,取名s軌道，對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量L=0，亞軌道l=1,取名p軌道角動(dòng)量大小L= ！l=2,取名d軌道，L= ；l=3,取名f 軌道，L= ！比如，n=3，對(duì)應(yīng)能量大約-

5、1.51eV,亞軌道只有3個(gè)，對(duì)應(yīng)的軌道量子數(shù)l=0,取名s軌道，對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量L=0！l=1,取名p軌道軌道角動(dòng)量大小L= ！ l=2,取名d軌道，L= ；氫原子核內(nèi)部電子運(yùn)動(dòng)的等效的軌道角動(dòng)量也可類比行星的公轉(zhuǎn)角動(dòng)量，但是電子軌道角動(dòng)量大小是非連續(xù)取值的！角量子數(shù)l來自于薛定諤方程求解過程條件限制的必然結(jié)果！2661Ll l212kjihgfdpsnl. .1, , , , , , 3 , 2 , 1 , 0名字其實(shí)，不同的角動(dòng)量大小對(duì)能級(jí)的能量值有細(xì)微其實(shí)，不同的角動(dòng)量大小對(duì)能級(jí)的能量值有細(xì)微影響影響1926年，年，海森堡海森堡解得氫原子的能量為解得氫原子的能量為能量與能量與主量子數(shù)主量子

6、數(shù) n和和公轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的公轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的l 能量能量有有關(guān)關(guān) n = 1 ，2 ，3 ，l=0,1,n-113714),(6 .13)(43216 .136 .13022242,celnEneVlnnnEln天才神童，德國(guó)海森堡，1901-1976,20歲博士畢業(yè)（曾經(jīng)為納粹原子彈負(fù)責(zé)人）s,p,d,f,g,h,i,j.-0,1,2,3,4,5,6,7. 玻爾模型氫原子能級(jí)圖 海森堡求出的氫原子能級(jí)圖),(6.132,lnEnElneV/En=1),(6.132,lnEnElnl只有一個(gè)取值 l=0, s亞能級(jí)-13.6-E(1,0)n=2l有兩個(gè)取值,0和1l=0, s亞能級(jí)-3.40-E(2,0)l

7、=1, p亞能級(jí)-3.40-E(2,1)n=3l=0, s亞能級(jí)l=1, p亞能級(jí)l=2, d亞能級(jí)l有3個(gè)取值,0和1和2-1.51-E(3,0)-1.51-E(3,1)-1.51-E(3,2)海森堡氫原子能級(jí)躍遷示意圖3d3p3s2p2s1s但是海森堡的理論計(jì)算出來的能級(jí)對(duì)應(yīng)的計(jì)算的發(fā)射光子頻率與光譜精確測(cè)量的時(shí)候略有誤差！氫原內(nèi)電子的躍遷規(guī)則：l=1，對(duì)n沒有限制關(guān)于氫原子內(nèi)部電子的軌道角動(dòng)量的方向問題（即等效于公轉(zhuǎn)平面的法線方向）宏觀太陽系運(yùn)動(dòng)中的軌道角動(dòng)量即為公轉(zhuǎn)角動(dòng)量，可以連續(xù)取值的，方向是公轉(zhuǎn)平面的法線方向！右手螺旋法則！mvrmrIL2角速度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公轉(zhuǎn)角動(dòng)量大小比如，n=2，

8、第一激發(fā)態(tài)，亞能級(jí)有2個(gè)，亞能級(jí)l=0,取名s軌道，對(duì)應(yīng)的L=0，能量值-3.40-E(2,0) eV亞能級(jí)l=1,取名p軌道角動(dòng)量大小L= ！這時(shí)的角動(dòng)量的指向方向和一個(gè)特定方向z之間的夾角只能取3個(gè)值45度，90度，和135度！所以對(duì)應(yīng)的z方向的投影l(fā)z也就只有3個(gè)值 ，但是這三個(gè)方向?qū)?yīng)的能量大小是一樣的都是-3.40-E(2,1)eVLz0z2L但是電子繞原子核運(yùn)動(dòng)形成角動(dòng)量的方向并不是跟宏觀一樣，方向只能取特定值?。ǚ较蛄孔踊┒疫@些特定值跟l有關(guān),可能存在的方向?yàn)?l+1個(gè)！比如，n=1，亞能級(jí)只有一個(gè)，對(duì)應(yīng)的軌道量子數(shù)l=0,取名s亞能級(jí)，對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量L=0！所以不存在方向問題

9、！對(duì)應(yīng)的能量值為-13.6-E(1,0) eV2) 1, 0 , 1(2, 0 LzLz02 2 z0,1,2 lm zlLm6 L磁量子數(shù)磁量子數(shù)ml有有5種取值種取值即角動(dòng)量在即角動(dòng)量在z 軸上投影大小僅能取軸上投影大小僅能取分立的分立的5種取值種取值 LZ=Lcos軌道等效角動(dòng)量大小，對(duì)于個(gè)亞軌道，第二激發(fā)態(tài)下有又比如，dlln22, 1 ,03,32(21)6 L 但是對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量方向卻只能跟特定方向有分離的特定的（2*2+1）個(gè)，即5個(gè)夾角！35.5度，66.5度，90度，115度，144.5度！雖然在n=3對(duì)應(yīng)的亞能級(jí)l=2也就是d能級(jí)對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量可能的方向有5個(gè)，但這五個(gè)方向的運(yùn)

10、動(dòng)狀態(tài)中的電子對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量大小都是 ，而且這五個(gè)方向?qū)?yīng)的能量都完全一樣大小，是【-1.51-E(3,2)】eV2(21)6 L 0, 2lmdl軌道，2, 2lmdl軌道，2, 2lmdl軌道，eV/E6 .1340. 351. 1海森堡求出的氫原子能級(jí)圖n=1),(6.132,lnEnElnl只有一個(gè)取值 l=0, s亞能級(jí)-13.6-E(1,0)n=2l有兩個(gè)取值,0和1l=0, s亞能級(jí)（1個(gè)方向）1個(gè)方向-3.40-E(2,0)l=1, p亞能級(jí)（3個(gè)方向）-3.40-E(2,1)n=3l=0, s亞能級(jí)（1個(gè)方向）l=1, p亞能級(jí)（3個(gè)方向）l=2, d亞能級(jí)（5個(gè)方向）l有3個(gè)

11、取值,0和1和2-1.51-E(3,0)-1.51-E(3,1)-1.51-E(3,2)4321)1371(6 .13),(24lnnlnE同一種n,l，對(duì)應(yīng)著同樣的能量，但是存在2l+1個(gè)公轉(zhuǎn)的法線量子化方向，為了描述這些分離的法線方向，用 ml=(-l,-l+1,.0,1,2,l) 數(shù)字表示這些方向！小結(jié)：電子運(yùn)動(dòng)的小結(jié)：電子運(yùn)動(dòng)的軌道角動(dòng)量軌道角動(dòng)量（公轉(zhuǎn)）（公轉(zhuǎn)）原子中電子處在原子中電子處在n n能級(jí)的能級(jí)的等價(jià)的軌道角動(dòng)量有等價(jià)的軌道角動(dòng)量有n n個(gè)，大小大小為為1Ll l角量子數(shù)角量子數(shù)l決定電子的決定電子的軌道角動(dòng)量軌道角動(dòng)量 的大小的大小 L0,1,2,()1lnlmllzzl

12、ll,.1, 0,),.1, 0(12量子數(shù)對(duì)應(yīng)的投影量子數(shù)，磁方向的投影在個(gè)，對(duì)應(yīng)的角動(dòng)量方向有不同)(,(6 .132eVlnEnlnl亞能級(jí)的能量能級(jí)的第但是對(duì)氫原子，對(duì)應(yīng)第！量大小，與原子核無關(guān)亞軌道對(duì)應(yīng)不同的角動(dòng)不同狄拉克方程和電子的自旋1928年狄拉克把相對(duì)論引進(jìn)了量子力學(xué)，建立了相對(duì)論形式的薛定諤方程，也就是著名的狄拉克方程。這一方程具有兩個(gè)特點(diǎn)：一是滿足相對(duì)論的所有要求，適用于運(yùn)動(dòng)速度無論多快電子；二是它能自動(dòng)地導(dǎo)出電子自旋的結(jié)論。其實(shí)，在狄拉克方程推導(dǎo)電子具有自旋的三年前.1925年，為了解釋一個(gè)重要的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，當(dāng)時(shí)埃倫菲斯特埃倫菲斯特 宏觀中的剛體自旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的自旋角動(dòng)量

13、SmvRmRS21212的自旋角動(dòng)量對(duì)圓盤或陀螺繞中心軸電子自旋向上電子自旋向下 狄拉克方程推出了一個(gè)結(jié)論，所有的電子都聚具備相同大小 的自旋角動(dòng)量S= ！) 1( ssS21s自旋角動(dòng)量：而且，自旋的軸的方向，也就是自旋角動(dòng)量的方向只有兩個(gè)取向,與一個(gè)特定方向的夾角只能取55度和125度！沒有其他值！從而投影到z軸方向的分量Sz只有兩個(gè)值，為了描述這兩個(gè)方向，用ms=1/2量子數(shù)來表達(dá)Sz022z23S21,21量子力學(xué)求解出的23太陽系各大行星的自旋方向水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 冥王星0.1度 177度 23度 25度 3度 27度 95度 30度 120度z電子

14、自旋 Cz55度 125度 55度 125度 55度 125度電子自旋向上電子自旋向下一個(gè)電子既擁有類似公轉(zhuǎn)形成的角動(dòng)量L，叫做軌道角動(dòng)量L ，大小量子化，方向也是量子化的，又有自轉(zhuǎn)形成的角動(dòng)量S，大小和方向也是量子化的，這兩個(gè)矢量L和和S共同作用，相互影響，形成了一個(gè)總角動(dòng)量J,這個(gè)過程叫做耦合,不是簡(jiǎn)單的經(jīng)典力學(xué)中的矢量合成！js10,;2110,22對(duì)對(duì)ljljll ) 1( ssS) 1( llL)() 1(必須大于零jjjJs, p,d, f, g.S,P,D,F,G.0,1,2,3,4.舉例說明： 氫原子，n=1,只有一個(gè)亞能級(jí)s能級(jí)，即l=0， 軌道角動(dòng)量為0，自旋角動(dòng)量S為 總

15、角動(dòng)量J大小也只有一個(gè)，總角動(dòng)量量子數(shù)j為 0+1/2和0-1/2, (j必須大于零)所以j=1/2所以總角動(dòng)量23) 121(21) 1(ss23) 121(21) 1(jjJ軌道量子數(shù) ls, p,d, f, g.S,P,D,F,G.0,1,2,3,4.軌道量子數(shù) ls, p,d, f, g.S,P,D,F,G.0,1,2,3,4.對(duì)于氫原子而言不同的總角動(dòng)量J對(duì)應(yīng)的能級(jí)大小又有不同，這是原子內(nèi)部磁場(chǎng)有關(guān)，狄拉克精確計(jì)算得到：13714),(6 .13)(43216 .136 .13022242,cejnEneVjnnnEjn 玻爾模型氫原子能級(jí)圖海森堡eV/E1n基態(tài)6 .132n3n4

16、0. 351. 1)(6 .132eVnEnn=1l只有一個(gè)取值 l=0, s亞能級(jí)n=2l有兩個(gè)取值,0和1l=0, s亞能級(jí)角動(dòng)量大小0l=1, p亞能級(jí)n=3l=0, s亞能級(jí)l=1, p亞能級(jí)l=2, d亞能級(jí)l有3個(gè)取值,0和1和21s態(tài)2s態(tài)2p態(tài)3s態(tài)3p態(tài)3d態(tài)狄拉克),(6 .132,jnEnEjnj=1/2j=1/2j=1/2j=3/2j=1/2j=1/2j=3/2j=3/2j=5/2n=1l只有一個(gè)取值 l=0, s亞能級(jí)n=2l=0, s亞能級(jí)l=1, p亞能級(jí)n=3l=0, s亞能級(jí)l=1, p亞能級(jí)l=2, d亞能級(jí)1s態(tài)2s態(tài)2p態(tài)3s態(tài)3p態(tài)3d態(tài)j=1/2j=

17、1/2j=1/2j=3/2j=1/2j=1/2j=3/2j=5/210, 1lj 氫原子單電子躍遷規(guī)則必須同時(shí)滿足j=3/2H七種躍遷，五條譜線：10, 1lj 氫原子單電子躍遷規(guī)則必須同時(shí)滿足關(guān)于單電子總角動(dòng)量J的量子化方向問題21,21) 1(lljjjJ21,21,21,21,21, 0jzjmjjslmJJ則在某特定方向投影亞能級(jí)，例如，來表示在此方向的投影用表示這個(gè)角度，方向取特定角度，為了同樣也是只能繞著一個(gè)25,23,21,21,23,25,25,23,21,21,23,256,2523,21,21,23,23,21,21,234,23, 223,21,21,23,23,21,2

18、1,2342321,21,21,212,21, 1jzjzjzjzjmjJjmjJjdlmjjmjjplmJJ個(gè)在某特定方向投影則個(gè)在某特定方向投影則亞能級(jí)對(duì)于個(gè)影時(shí)，則在某特定方向投個(gè)則在某特定方向投影亞能級(jí)，例如，來表示在此方向的投影用表示這個(gè)角度，方向取特定角度，為了同樣也是只能繞著一個(gè)J的大小影響能級(jí)大小，但是J的方向跟能量無關(guān)！n=1l只有一個(gè)取值 l=0, s亞能級(jí)n=2l=0, s亞能級(jí)l=1, p亞能級(jí)n=3l=0, s亞能級(jí)l=1, p亞能級(jí)l=2, d亞能級(jí)1s態(tài)2s態(tài)2p態(tài)3s態(tài)3p態(tài)3d態(tài)j=1/2j=1/2j=1/2j=3/2j=1/2j=1/2j=3/2j=5/2j

19、=3/221sjnL1 2S1/22 2S1/22 2P1/22 2P3/23 2S1/23 2P1/23 2P3/23 2D5/23 2D3/22個(gè)方向2個(gè)方向2個(gè)方向4個(gè)方向2個(gè)方向2個(gè)方向4個(gè)方向4個(gè)方向6個(gè)方向同一個(gè)n,每個(gè)j對(duì)應(yīng)著2j+1個(gè)可能的角動(dòng)量方向，但是對(duì)應(yīng)的能級(jí)能量是一樣的,只由n,j決定！),(6 .132,jnEnEjnn=1l只有一個(gè)取值 l=0, s亞能級(jí)n=2l=0, s亞能級(jí)l=1, p亞能級(jí)n=3l=0, s亞能級(jí)l=1, p亞能級(jí)l=2, d亞能級(jí)1s態(tài)2s態(tài)2p態(tài)3s態(tài)3p態(tài)3d態(tài)j=1/2j=1/2j=1/2j=3/2j=1/2j=1/2j=3/2j=5

20、/2j=3/21 2S1/22 2S1/22 2P1/22 2P3/23 2S1/23 2P1/23 2P3/23 2D5/23 2D3/22個(gè)方向2個(gè)方向2個(gè)方向4個(gè)方向2個(gè)方向2個(gè)方向4個(gè)方向4個(gè)方向6個(gè)方向, , ,jnj m(1,0,1/2,-1/2)(1,0,1/2,+1/2)(2,0,1/2,-1/2)(2,0,1/2,+1/2)能量最低原理能量最低原理 同一主殼層中（同一主殼層中（n相同而相同而 不同）不同）E(ns)E(np)E(nd)3）12 23 34 3 45 4 56 4 5 67 5 6 7ss ps ps d ps d ps f d ps f d p 泡泡 利利Wo

21、lfgang Pauli 奧地利人奧地利人 1900-1958獲獲1945年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)泡利泡利 不相容原理不相容原理n=1l只有一個(gè)取值 l=0, s亞能級(jí)n=2l=0, s亞能級(jí)l=1, p亞能級(jí)n=3l=0, s亞能級(jí)l=1, p亞能級(jí)l=2, d亞能級(jí)1s態(tài)2s態(tài)2p態(tài)3s態(tài)3p態(tài)3d態(tài)j=1/2j=1/2j=1/2j=3/2j=1/2j=1/2j=3/2j=5/2j=3/21 2S1/22 2S1/22 2P1/22 2P3/23 2S1/23 2P1/23 2P3/23 2D5/23 2D3/22個(gè)方向2個(gè)方向2個(gè)方向4個(gè)方向2個(gè)方向2個(gè)方向4個(gè)方向4個(gè)方向6個(gè)方

22、向, , ,jnj m(1,0,1/2,-1/2)(1,0,1/2,+1/2)(2,0,1/2,-1/2)(2,0,1/2,+1/2)KLM殼層殼層 各殼層可以容納的最多電子數(shù)各殼層可以容納的最多電子數(shù)56殼層名稱殼層名稱最多電最多電子數(shù)子數(shù) 2n2支殼層支殼層最多電最多電子數(shù)子數(shù) 2(2 +1)1 234KLMNOP28183250720 0 10 1 2 3 0 1 2 3 4 50 1 20 1 2 3 4s s ps p ds p d fs p d f g hs p d f g 2 2 6 2 6 10 2 6 1014 2 6 10 14 18 2 6 10 141832 n元素周期表的形成元素周期表的形成1s11s2 第一周期第一周