相似變換和對(duì)角化

1、5.3 相似矩陣上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回補(bǔ)充例題首頁(yè)v相似矩陣與相似變換 設(shè)A B都是n階矩陣 若有可逆矩陣P 使P1APB則稱(chēng)B是A的相似矩陣 或說(shuō)矩陣A與B相似. 對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算P1AP稱(chēng)為對(duì)A進(jìn)行相似變換 可逆矩陣P稱(chēng)為把A變成B的相似變換矩陣. v相似矩陣的作用 若有可逆矩陣P使P1AP為對(duì)角陣 則AkPkP1 (A)P()P1.上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v矩陣的對(duì)角化 一個(gè)n階矩陣A能否對(duì)角化？如何尋求相似變換矩陣P 使P1AP為對(duì)角陣？ 設(shè)P1AP 其中P(p1 p2 pn) diag(1 2 n)則APP 即 A(p1 p2 pn)(p1 p2 pn)diag(1 2 n) (1p1 2p2

2、 n pn) 于是有 Apii pi (i1 2 n). 可見(jiàn)i是A的特征值 而P的列向量pi就是A的對(duì)應(yīng)于特征值i的特征向量. 反之 由上節(jié)知A恰好有n個(gè)特征值 并可對(duì)應(yīng)地求得 n 個(gè)特征向量即可構(gòu)成矩陣P 使APP， 下頁(yè)即一定存在P使得APP。那么，我們是否已經(jīng)完成了對(duì)角化呢？上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v定理4 n階矩陣A與對(duì)角陣相似(即A能對(duì)角化)的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. v推論 如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等 則A與對(duì)角陣相似. v矩陣的對(duì)角化 一個(gè)n階矩陣A能否對(duì)角化？如何尋求相似變換矩陣P 使P1AP為對(duì)角陣？ 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例1 設(shè) 問(wèn)x為何值

3、時(shí) 矩陣A能對(duì)角化？00111100 xA 解 ) 1() 1(011110|2xEA 得11 231. 矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是對(duì)應(yīng)重根231 有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 即方程(AE)x0有2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解 亦即系數(shù)矩陣AE的秩R(AE)1. 00010010110101101xxEAr 所以當(dāng)x1時(shí) R(AE)1 此時(shí)矩陣A能對(duì)角化. 因?yàn)?結(jié)束5.4 對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 一個(gè)n階方陣可以對(duì)角化的充分必要條件是具有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 而并非所有n階方陣都能對(duì)角化 但實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣（厄密矩陣）都是可以對(duì)角化的. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v定理1 對(duì)稱(chēng)陣的特征值為實(shí)數(shù)

4、. 設(shè)復(fù)數(shù)為對(duì)稱(chēng)陣A的特征值 復(fù)向量x為對(duì)應(yīng)的特征向量 即Axx x0. 證明 顯然有 xxxxx)()(AAA. 于是有 xxxxxxxxTTTTAA)()( xxxxxxxxxxTTTTTTAAA)()()(. 兩式相減 得 0)(xxT 但因x0 所以 0|121niiniiiTxxxxx 故0 即 這就說(shuō)明是實(shí)數(shù). 這就說(shuō)明是實(shí)數(shù). 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v定理1 對(duì)稱(chēng)陣的特征值為實(shí)數(shù). 顯然 當(dāng)特征值i為實(shí)數(shù)時(shí) 齊次線性方程組(AiE)x0是實(shí)系數(shù)方程組 由|AiE|0知必有實(shí)的基礎(chǔ)解系 所以對(duì)應(yīng)的特征向量可以取實(shí)向量. 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v定理1 對(duì)稱(chēng)陣的特征值為實(shí)數(shù).

5、 v定理2 設(shè)1 2是對(duì)稱(chēng)陣A的兩個(gè)特征值 p1 p2是對(duì)應(yīng)的特征向量. 若12是 則p1與p2正交. 證明 已知Ap11p1 Ap22p2 12. 因?yàn)锳對(duì)稱(chēng) 故 p1TA p1TAT (Ap1)T (1p1)T 1p1T 于是 1p1Tp2 p1TAp2 p1T(2p2) 2p1Tp2 即 (12)p1Tp20.但12 即p1與p2正交. 故p1Tp20 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v定理1 對(duì)稱(chēng)陣的特征值為實(shí)數(shù). v定理2 設(shè)1 2是對(duì)稱(chēng)陣A的兩個(gè)特征值 p1 p2是對(duì)應(yīng)的特征向量. 若12是 則p1與p2正交. v定理3 設(shè)A為n階對(duì)稱(chēng)陣 則必有正交陣P 使P1APPTAP 其中是以A的

6、n個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角矩陣. v推論 設(shè)A為n階對(duì)稱(chēng)陣 是A的特征方程的k重根 則矩陣AE的秩R(AE)nk 從而對(duì)應(yīng)特征值恰有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v矩陣對(duì)角化的步驟 (1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s 它們的重?cái)?shù)依次為k1 k2 ks(k1k2 ksn). (2)對(duì)每個(gè)ki重特征值i 求方程(AE)x0的基礎(chǔ)解系 得ki個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量. 再把它們正交化、單位化 得ki個(gè)兩兩正交的單位特征向量. 因k1k2 ksn 故總共可得n個(gè)兩兩正交的單位特征向量. (3)把這n個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣P 便有P1APPTAP. 注意中對(duì)角元的排

7、列次序應(yīng)與P中列向量的排列次序相對(duì)應(yīng). 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例1 設(shè) 求正交陣 P 使P1AP為對(duì)角陣. 011101110A 解 由|AE|(1)2(2) 將 1單位化 得 T) 1 , 1 , 1(311p. 2(1 1 0)T 3(1 0 1)T. 將 2 3正交化、單位化得 T) 0 , 1 , 1(212pT) 2 , 1 , 1 (613p. 得特征值12 231. 得基礎(chǔ)解系 1(1 1 1)T. 對(duì)應(yīng)12 解方程(A2E)x0 對(duì)應(yīng)231 解方程 (AE)x0 得基礎(chǔ)解系 并且P1APdiag(2 1 1). 于是P(p1 p2 p3)為正交陣 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首

8、頁(yè)提示 例2 設(shè) 求An. 2112A 因?yàn)锳對(duì)稱(chēng) 故A可對(duì)角化 即有可逆向量P及對(duì)角陣 解 從而AnPnP1. 于是APP1 使P1AP. 因?yàn)閨AE|(1)(3) 對(duì)應(yīng)11 解方程(AE)x0 對(duì)應(yīng)13 解方程(A3E)x0 于是有可逆矩陣P(p1 p2) 及diag(1 3) 使 P1AP 從而 或APP1 AnPnP1 所以A的特征值為11 23. 得p1(1 1)T. 得p2(1 1)T.下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)提示 nnnnn313131312111113001111121 例2 設(shè) 求An. 2112A 解 因?yàn)閨AE|(1)(3) 對(duì)應(yīng)11 解方程(AE)x0 對(duì)應(yīng)13 解方程(A3E)x0P1AP 從而 或APP1 AnPnP1 所以A的特征值為11 23. 得p1(1 1)T