newCh3_連續(xù)型隨機變量及分布

1、引子引子 前面我們學習過離散隨機變量的分布率，離散隨前面我們學習過離散隨機變量的分布率，離散隨機變量的取值有有限個或者可列個，但實際問題機變量的取值有有限個或者可列個，但實際問題很多情況并不能用離散隨機變量描述，比如幾何很多情況并不能用離散隨機變量描述，比如幾何概型問題，如何刻畫它的概型問題，如何刻畫它的概率規(guī)律概率規(guī)律呢？呢？區(qū)間描述方法區(qū)間描述方法一、分布函數(shù)一、分布函數(shù) 設設X隨機變量，隨機變量， 對任意實數(shù)對任意實數(shù)x， 事件事件X x的概率的概率P X x稱為隨機變量稱為隨機變量X的的分布函數(shù)分布函數(shù)。記為記為F(x)，即，即F(x)P X x。易知，對任意實數(shù)易知，對任意實數(shù)a ,

2、 b (a b)有：有： P a X bPX bPX a F(b)F(a)。把隨機變量把隨機變量X的值看成數(shù)軸上點的坐標，那么的值看成數(shù)軸上點的坐標，那么X表示表示數(shù)軸上的一個隨機點，分布數(shù)軸上的一個隨機點，分布F(x)表示隨機點落在區(qū)間表示隨機點落在區(qū)間 上的概率上的概率(, x 設隨機變量設隨機變量X具分布律具分布律 X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3試求出試求出X的分布函數(shù)的分布函數(shù)。 設陀螺頂面圓周長為單位，現(xiàn)在其上從設陀螺頂面圓周長為單位，現(xiàn)在其上從01均勻刻度，若讓均勻刻度，若讓X表示陀螺靜止時其頂面圓周表示陀螺靜止時其頂面圓周與地面的接觸點，則與地面的接觸點，則X是隨機變

3、量，求是隨機變量，求X的分的分布函數(shù)布函數(shù) 分布函數(shù)的性質分布函數(shù)的性質1. 單調不減性：單調不減性：若若x1 x2, 則則F(x1) F(x2);2. 非負規(guī)范性：非負規(guī)范性：對任意實數(shù)對任意實數(shù) x，0 F(x) 1，且且 )(lim)(xFFx )(lim)(xFFx01 3. 右連續(xù)性：右連續(xù)性：對任意實數(shù)對任意實數(shù) x0， )(lim) 0(00 xFxFxx).(0 xF 反之，具有上述三個性質的實函數(shù)，必反之，具有上述三個性質的實函數(shù)，必是某個隨機變量的分布函數(shù)。是某個隨機變量的分布函數(shù)。故該三個性質是分布函數(shù)的故該三個性質是分布函數(shù)的充分必要性質充分必要性質。00:(), ()

4、?P XxP Xx問如何用分布函數(shù)表示 一般的，對離散型隨機變量一般的，對離散型隨機變量 XPX= xk pk, k1, 2, 其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為 )(xXPxF xxkkkp:二、一維連續(xù)性隨機變量及其分布二、一維連續(xù)性隨機變量及其分布1、密度函數(shù)、密度函數(shù)（1） 對于隨機變量對于隨機變量X，若存在非負可積函數(shù)，若存在非負可積函數(shù) f (x)，(- x + )，使對任意實數(shù)，使對任意實數(shù) x，都有，都有 xduufxXPxF)()()(則稱則稱 X 為為連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量，簡稱簡稱概率密度概率密度或或密度函數(shù)。密度函數(shù)。 f (x)為為X的的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)，記為記為

5、 X f (x) , (- x + )（2）. 密度函數(shù)的性質密度函數(shù)的性質(1) f (x) 0，(- x )；.1)( dxxf(2)性質性質(1)、(2)是密度函數(shù)的是密度函數(shù)的充要充要性質；性質；(3) 若若 x是是 f (x)的連續(xù)點，的連續(xù)點，.)()(dxxdFxf f (x)0 x1()( )baP aXbf u du (4) 設設 X 是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為 其它020242xxxcxf；求：常數(shù)c1XP 已知已知 r.v. X的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為： .,1,1,ln,1,0)(exexxxxF. )()3(; 2)2(; 30)1

6、(:xfXPXP 求求： 對對 b R，若，若X f (x)，(- x 0的的指數(shù)分布指數(shù)分布。 0,00,1)(xxexFx指數(shù)分布常用來作為各種指數(shù)分布常用來作為各種“壽命壽命”分布的近似。分布的近似。( )E指數(shù)分布的性質：指數(shù)分布的性質： s 0，t 0： sXtsXP,sXPsXtsXP sXPtsXP stsee )(te tXPsXtsXP )(1tF tXP (0, ),( ),()(0),() 1- () 1tttttXtXP tYP YtP XeP YtP Yte 時間故障數(shù)服從則首次出現(xiàn)故障的時間這時即(3). 正態(tài)分布正態(tài)分布(分布分布)若若正態(tài)分布有三個特性：正態(tài)分布

7、有三個特性：(i) 單峰對稱單峰對稱 21記為記為N , 可表為可表為XN),(2 ),(2 其中其中 0 ， 為實數(shù)，則稱為實數(shù)，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為( ， )的的正態(tài)分布正態(tài)分布, 2 其圖形關于直線其圖形關于直線 x = 對稱；對稱； f ( )max f (x) xexfXx,21)(222)( (ii) 的大小直接影響概率的分布的大小直接影響概率的分布 越小，曲線越陡峻，概率分布越集中，曲越小，曲線越陡峻，概率分布越集中，曲線又高又瘦。線又高又瘦。 越大，曲線越平坦，概率分布越分散，曲越大，曲線越平坦，概率分布越分散，曲線又矮又胖；線又矮又胖； xf (x)o1(iii) 有兩

8、個拐點有兩個拐點);(,( f)(,( f(4). 標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布可表為可表為N(0, 1)。為了區(qū)別于一般的正態(tài)分布，其密度函數(shù)表示為為了區(qū)別于一般的正態(tài)分布，其密度函數(shù)表示為.,21)(22 xexx分布函數(shù)表示為分布函數(shù)表示為 xdtexXPxxt,)(2212參數(shù)參數(shù) 的正態(tài)分布稱為的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布，1,02 N(0, 1)的性質：的性質：(1) (x)1 ( x)； XN(0, 1)。F(x)PX x xXP).( x Pa X bPa X b Pa X z = ，0 1則稱則稱 z 為標準正態(tài)分布的為標準正態(tài)分布的上上 分位點分位點。x)(x 0z

9、PX z =1， 1)(z即即第二節(jié)第二節(jié) 二維連續(xù)型隨機變量及其分布二維連續(xù)型隨機變量及其分布1. 聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)設設(X , Y )是二維隨機變量，是二維隨機變量，(x , y ) R2, 則稱則稱F(x , y )=PX x , Y y 為為(X , Y )的的分布函數(shù)分布函數(shù)，或，或 X與與Y 的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)。對于對于(x1, y1), (x2, y2) R2, (x1 x2， y1y2 ),則則P x1 X x2 , y1 Y y2 F(x2 , y2)F( x1, y2 )F (x2, y1) F (x1, y1).一、一、 聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)聯(lián)合分

10、布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)幾何意義：幾何意義：聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) F( x, y )具有如下性質：具有如下性質：(1)非負規(guī)范非負規(guī)范對任意對任意( x, y ) R2 ,0 F( x, y ) 1,且且F(+ , + )1;F( , ) ),(limyxFyx0,F(x, ) ),(limyxFy0,F( , y )= ),(limyxFx0。(2)單調不減單調不減對任意對任意 y R, 當當 x1 x2時，時， F( x1, y ) F( x2 , y )； 對任意對任意 x R, 當當 y1 y2時，時， F(x , y1 ) F(x , y2 ).(3)右連續(xù)右連續(xù)對任意對任意 y R

11、 ,);,(),(lim), 0(000yxFyxFyxFxx 對任意對任意 x R ,).,(),(lim)0,(000yxFyxFyxFyy (4)矩形不等式矩形不等式對于任意對于任意( x1, y1 ), ( x2, y2 ) R2, ( x1 x2， y1 y2 ),F( x2 , y2 )F( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 )F ( x1 , y1 ) 0. 反之，任一滿足上述四個性質的二元函數(shù)反之，任一滿足上述四個性質的二元函數(shù)F( x , y )都可以作為某個二維隨機變量都可以作為某個二維隨機變量(X , Y )的分的分布函數(shù)。布函數(shù)。2. 邊緣分布邊緣分布FX(x

12、)F (x, + ),(limyxFy PX x PX x，Y + 稱為二維隨機變量稱為二維隨機變量(X , Y )關于關于X的的邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)；FY( y)F (+ , y),(limyxFx PY y PX 0、 0、| |1，則稱，則稱(X , Y )服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , , , , 的二維正態(tài)分布，可的二維正態(tài)分布，可記為記為1 2 1 2 1 2 1 2 三三 邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)設設(X , Y ) f (x , y ), (x , y ) R2, 則稱則稱 dyyxfxfX),()(為為(X , Y )關于關于X的的邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)；同理，稱同理，稱 d

13、xyxfyfY),()(為為(X , Y )關于關于Y的的邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)。xyxy oXY設二維連續(xù)型隨機變量，的聯(lián)合密度函數(shù)為00yxexyf xy ，其它XY試求： 及 的邊緣密度函數(shù) 已知二元已知二元 r.v.(X , Y ) N( ) 求邊緣概率密度函數(shù)。求邊緣概率密度函數(shù)。,121),()()(2)()1(212212222212121212 yyxxeyxf ,222121 即若即若(X，Y ) N( )，則則X N( )，Y N( )。 ,222121211, 222, 四四 條件密度函數(shù)條件密度函數(shù)|( , )1 (),( )( , )2 (),( )X YYY XX

14、f x yfx yYyXfyf x yfy xXxYfx）稱為下的條件密度函數(shù)）稱為下 的條件密度函數(shù)XY設二維連續(xù)型隨機變量，的聯(lián)合密度函數(shù)為00yxexyf xy ，其它,YyX試求：下的條件密度函數(shù)五五 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性1. 隨機變量相互獨立的一般定義隨機變量相互獨立的一般定義 設設X1，X2，Xn為為n 個隨機變量，若個隨機變量，若對任意對任意( x1, x2, , xn ) Rn，有，有PX1 x1, , Xn xn PX1 x1PXn xn 即即 F(x1, x2, , xn)FX1(x1)FX2(x2)FXn(xn ),則稱則稱X1，X2，Xn 相互獨立相互獨立。

15、2. 隨機變量相互獨立的等價定義隨機變量相互獨立的等價定義 設設(X, Y ) f (x, y), (x, y) R2, fX(x), fY(y)分別為分別為X與與Y的邊緣密度，則的邊緣密度，則X與與Y 相互獨立相互獨立等價等價于于 f (x, y) fX(x) fY(y)，對任意，對任意(x, y) R2幾乎處處成立幾乎處處成立。的密度函數(shù)為，設二維隨機變量YX其它，02010312yxxyxyxf是否相互獨立？與試判斷隨機變量YX221212(,),0.XNXY若則與相 互 獨 立定 理2211222221212212()()() ()122(1)1( , )21,xxyyf x ye 注

16、：上述可以推廣到上述可以推廣到 n維連續(xù)型隨機變量的情形維連續(xù)型隨機變量的情形: 設設X1，X2，Xn為為n 個連續(xù)型隨機變個連續(xù)型隨機變量，若對任意的量，若對任意的( x1, x2, , xn ) Rn， f (x1, x2, , xn ) fX1(x1) fX2(x2) fXn(xn )幾乎處處成立，則稱幾乎處處成立，則稱X1，X2，Xn相互獨立相互獨立。 設設(X1,X2, , Xn )與與(Y1, Y2,，Yn )相互獨相互獨立，則立，則Xi (i=1, 2, , m )與與Yj ( j=1, 2, , n )相互獨相互獨立；又若立；又若h , g是連續(xù)函數(shù)，則是連續(xù)函數(shù)，則h(X1,X2, , Xn )與與g( Y1, Y2,，Yn )相互獨立。相互獨立。六六 連續(xù)型隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)連續(xù)型隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)1. 一維變量的情形一維變量的情形(1) 一般方法一般方法若若X f(x), - x z1 PX1 z, , Xn z1PX1 z