中科大量子力學(xué)散射

1、Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering1Chapter.6 散散 射射scatteringChapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering2散射過程：散射過程：Zds靶粒子的處在位置稱為散射中心。 方向準直的均勻單能粒子由遠處沿方向準直的均勻單能粒子由遠處沿z z軸方軸方向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝各方向散射開去，此過程稱為各方向散射開去，此過程稱為散射過程散射過程。散。散射后的粒子可用探測器測量。射后的粒子可用探測器測量。一一 散射截面散射截面Chapter.6

2、.ScatteringChapter.6 .Scattering3散射角散射角：入射粒子受靶粒子勢場的作用，其：入射粒子受靶粒子勢場的作用，其運動方向偏離入射方向的角度。運動方向偏離入射方向的角度。彈性散射彈性散射：若在散射過程中，入射粒子和靶：若在散射過程中，入射粒子和靶粒子的內(nèi)部狀態(tài)都不發(fā)生變化，則稱彈性散粒子的內(nèi)部狀態(tài)都不發(fā)生變化，則稱彈性散射，否則稱為非彈性散射。射，否則稱為非彈性散射。入射粒子流密度入射粒子流密度N N ：單位時間內(nèi)通過與入射單位時間內(nèi)通過與入射粒子運動方向垂直的單位面積的入射粒子數(shù)，粒子運動方向垂直的單位面積的入射粒子數(shù)，用于描述入射粒子流強度的物理量，故又稱用于描

3、述入射粒子流強度的物理量，故又稱為入射粒子流強度。為入射粒子流強度。 散射截面：散射截面：一一 散射截面散射截面 ( (續(xù)續(xù)1)1)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering4設(shè)單位時間內(nèi)散射到（設(shè)單位時間內(nèi)散射到（ ， ）方向面積元）方向面積元dsds上（立體角上（立體角d d 內(nèi)）的粒子數(shù)為內(nèi)）的粒子數(shù)為dndn，顯然顯然2dsdndr 綜合之，則有：綜合之，則有：或或 （1 1）Ndqdn),(dn NdnNd比例系數(shù)比例系數(shù)q(q( ， ) )的性質(zhì)：的性質(zhì)：q(q( ， ) )與入射粒子和靶粒子（散射場）的與入射粒子和靶粒子（散射場）的性質(zhì)，

4、它們之間的相互作用，以及入射粒子性質(zhì)，它們之間的相互作用，以及入射粒子的動能有關(guān)，是的動能有關(guān)，是 ， 的函數(shù)的函數(shù)一一 散射截面散射截面 ( (續(xù)續(xù)2)2)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering5q(q( ， ) )具有面積的量具有面積的量綱綱2LNddnq故稱故稱q(q( ， ) )為微分散射截面，簡稱為截面為微分散射截面，簡稱為截面或角分布或角分布 如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截如果在垂直于入射粒子流的入射方向取截面面積面面積q(q( ， ) )，則單位時間內(nèi)通過此截面的則單位時間內(nèi)通過此截面的粒子數(shù)恰好散射到粒子數(shù)恰好散射到( ( ，

5、 ) )方向的單位立體角方向的單位立體角內(nèi)。內(nèi)。ddnNq),(（2）一一 散射截面散射截面 ( (續(xù)續(xù)3)3)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering6總散射截面：總散射截面：ddqdqQsin),(),(020 注注 由（由（2 2）式知，由于）式知，由于N N、 可通過實可通過實驗測定，故而求得驗測定，故而求得 。dn d( , )q 量子力學(xué)的任務(wù)是從理論上計算出量子力學(xué)的任務(wù)是從理論上計算出 ，以便于同實驗比較，從而反過來研究粒子間以便于同實驗比較，從而反過來研究粒子間的相互作用以及其它問題。的相互作用以及其它問題。( , )q 一一 散射

6、截面散射截面 ( (續(xù)續(xù)4)4)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering7 二、散射振幅二、散射振幅 現(xiàn)在考慮量子力學(xué)對散射體系的描述。設(shè)現(xiàn)在考慮量子力學(xué)對散射體系的描述。設(shè)靶粒子的質(zhì)量遠大于散射粒子的質(zhì)量，在碰靶粒子的質(zhì)量遠大于散射粒子的質(zhì)量，在碰撞過程中，靶粒子可視為靜止。撞過程中，靶粒子可視為靜止。取散射中心取散射中心A A為坐標原點，散射粒子體系的為坐標原點，散射粒子體系的定態(tài)定態(tài)SchrSchrdingerdinger方程方程ErU)(222)(2)(2222rUrVEk（4）令令方程（方程（4 4）改寫為）改寫為Chapter.6 .Sc

7、atteringChapter.6 .Scattering80)(22rVk（5）由于實驗觀測是在遠離靶的地方進行的，由于實驗觀測是在遠離靶的地方進行的，從微觀角度看，可以認為從微觀角度看，可以認為 ，因此，在計，因此，在計算算 時，僅需考慮時，僅需考慮 處的散射粒子的處的散射粒子的行為，即僅需考慮行為，即僅需考慮 處的散射體系的波處的散射體系的波函數(shù)。函數(shù)。rr),(qr 設(shè)設(shè) 時，時， ，方程（，方程（5 5）變?yōu)椋┳優(yōu)閞0)(rV022k（6）令令（7 7）r 二、散射振幅二、散射振幅 ( (續(xù)續(xù)1)1)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering

8、9將（將（6 6）式寫成）式寫成 022222rLkr在在 的情形下，此方程簡化為的情形下，此方程簡化為 r0222kr此方程類似一維波動方程。我們知道，對于此方程類似一維波動方程。我們知道，對于一維勢壘或勢阱的散射情況一維勢壘或勢阱的散射情況（8 8）ikxikxkAeBexikxkcex 二、散射振幅二、散射振幅 ( (續(xù)續(xù)2)2)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering10ikrefr),(),(ikrefr),(),(方程（方程（8 8）有兩個特解）有兩個特解式中式中 為入射波或透射波，為入射波或透射波， 為散射波，為散射波，波只沿一方向散射

9、。波只沿一方向散射。ikxeikxe 對于三維情形，波可沿各方向散射。三維對于三維情形，波可沿各方向散射。三維散射時，在散射時，在 處的粒子的波函數(shù)應(yīng)為入處的粒子的波函數(shù)應(yīng)為入射波和散射波之和。射波和散射波之和。r 二、散射振幅二、散射振幅 ( (續(xù)續(xù)3)3)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering11因此因此 refrikr),(),(2refrikr),(),(2 代表由散射中心向外傳播的球面散射波，代表由散射中心向外傳播的球面散射波， 代表向散射中心會聚的球面波，不是散射代表向散射中心會聚的球面波，不是散射波，應(yīng)略去。波，應(yīng)略去。22 在在 處

10、，散射粒子的波函數(shù)是入射平處，散射粒子的波函數(shù)是入射平面波面波 和球面散射波和球面散射波 之和。即之和。即r1ikze2（9）( )( , )ikrikzerAefr r 二、散射振幅二、散射振幅 ( (續(xù)續(xù)4)4)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering12散射波的幾率流密度散射波的幾率流密度*1111111()22ziiJikikzzkN 入射波幾率密度（即入射粒子流密度）入射波幾率密度（即入射粒子流密度）為方便起見，取入射平面波為方便起見，取入射平面波 的系數(shù)的系數(shù) ，這表明這表明 ，入射粒子束單位體積中的粒，入射粒子束單位體積中的粒子數(shù)為子數(shù)

11、為1 1。1|21ikxe1A （1010） 二、散射振幅二、散射振幅 ( (續(xù)續(xù)5)5)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering13222*2*22| ),(|2frrriJr單位時間內(nèi)，在沿單位時間內(nèi)，在沿 方向方向d d 立體角內(nèi)立體角內(nèi)出現(xiàn)的粒子數(shù)為出現(xiàn)的粒子數(shù)為 ),(222| ( , )| ( , )|rdnJ dsfdsrfNd （13）2| ),(|),(fq比較（比較（1 1）式與（）式與（1212），得到），得到（1212）（1111） 二、散射振幅二、散射振幅 ( (續(xù)續(xù)6)6)Chapter.6 .ScatteringChap

12、ter.6 .Scattering14 下面介紹兩種求散射振幅或散射截面的方下面介紹兩種求散射振幅或散射截面的方法：分波法，玻恩近似方法。法：分波法，玻恩近似方法。 分波法是準確的求散射理論問題的方法，即分波法是準確的求散射理論問題的方法，即準確的散射理論。準確的散射理論。由此可知，若知道了由此可知，若知道了 ，即可求得，即可求得 ， 稱為散射振幅。所以，對于能量給定的入稱為散射振幅。所以，對于能量給定的入射粒子，速率射粒子，速率 給定，于是，入射粒子流密度給定，于是，入射粒子流密度 給定，只要知道了散射振幅給定，只要知道了散射振幅 ，也就，也就能求出微分散射截面。能求出微分散射截面。 的具體

13、形式通過的具體形式通過求求SchrSchrdingerdinger方程（方程（5 5）的解并要求在）的解并要求在 時具有漸近形式（時具有漸近形式（9 9）而得出。）而得出。( , )f ( , )q ( , )f v( , )f( , )f rN v 二、散射振幅二、散射振幅 ( (續(xù)續(xù)7)7)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering1522( )0kV r 取沿粒子入射方向并通過散射中心的軸線取沿粒子入射方向并通過散射中心的軸線為極軸為極軸z z，顯然顯然 與與 無關(guān)，按照無關(guān)，按照3.3.3.3.的討的討論，對于具有確定能量的粒子，方程（論，對于

14、具有確定能量的粒子，方程（3-13-1）的特解為的特解為( )( , )llmR r Y 討論粒子在中心力場中的散射。討論粒子在中心力場中的散射。（3-13-1）粒子在輳力場中的勢能為粒子在輳力場中的勢能為 ，狀態(tài)方程，狀態(tài)方程)(rU由于現(xiàn)在由于現(xiàn)在 與與 無關(guān)無關(guān)( (m=0)m=0)，所以，方程（所以，方程（1 1）的特解可寫成的特解可寫成 三、分波法三、分波法Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering16( ) (cos )llR r P方程（方程（3-13-1）的通解為所有特解的線性迭加）的通解為所有特解的線性迭加 ( , )( ) (cos

15、 )lllrR r P（3-2）（3-23-2）代入（）代入（3-13-1），得徑向方程），得徑向方程 為待定的徑向波函數(shù)，每個特解稱為一為待定的徑向波函數(shù)，每個特解稱為一個分波，個分波， 稱為第稱為第 個分波，通常稱個分波，通常稱 的分波分別為的分波分別為s s, , p p, , d d, , f f分波分波)(cos)(llPrR lR rl0,1,2,3,l 22221(1)( )( )0lldRdl lrkV rR rdrdrrr（3-3） 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)1)1)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering17222( )(

16、)0lld U rk U rdr2222(1)( )( )0lld Ul lkV rU rdrr令( )( )llU rR rr代入上方程（3-43-4）考慮方程（考慮方程（3-43-4）在）在 情況下的極限解情況下的極限解r令令 方程（方程（3-43-4）的極限形式）的極限形式r由此求得：由此求得： ( )sin()lllU rAkr1( )sin2lllAR rkrlkr（3-53-5）r 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)2)2)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering18為了后面的方便起見，這里引入了兩個新的為了后面的方便起見，這里引入了兩個新

17、的常數(shù)常數(shù),2lllllAkA將（將（3-53-5）代入（）代入（3-23-2），得到方程（），得到方程（3-13-1）在）在 情形下通解的漸近形式情形下通解的漸近形式r11()()220(cos )2lli krli krllllAeePikr 01( , )sin(cos )2llllArkrlPkrr（3-6） 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)3)3)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering19 另一方面，按上節(jié)的討論，在遠離散射中另一方面，按上節(jié)的討論，在遠離散射中心處，粒子的波函數(shù)心處，粒子的波函數(shù)cos0(21)( ) (cos )ikz

18、ikrlllleeli j kr P21)21()21(lkrilkrieeikr( , )( )ikrikzerefrr（3-73-7）（3-83-8）式中式中j jl l( (krkr) )是球貝塞爾函數(shù)是球貝塞爾函數(shù)將平面波將平面波 按球面波展開按球面波展開ikze1211( )( )sin22llj krJkrkrlkrkrr（3-9） 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)4)4)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering20利用（利用（3-83-8）、（）、（3-93-9），可將（），可將（3-73-7）寫成）寫成（3-10） 11()()220

19、(2 1)( , )( ) (cos )2ikrli krli krlLlelirfeePrikr r（3-63-6）和（）和（3-103-10）兩式右邊應(yīng)相等，即）兩式右邊應(yīng)相等，即)(cos2)21()21(0llkrilkrillPeeikrAllcos2) 12 ()()21()21(0LlkrilkrillikrPeeikrilref分別比較等式兩邊分別比較等式兩邊 和和 前邊的系數(shù)，得前邊的系數(shù)，得 ikreikre 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)5)5)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering2111()2200(cos )2( )(

20、21)(cos )lili lllllllAePikfli eP11()2200(cos )(21)(cos )lili lllllllAePli ePl lllldPP122sin)(cos)(cos0lillileileAl21)21() 12 (（3-12）（3-11）可以得到可以得到用用 乘以（乘以（1212）式，再對）式，再對 從從 積分，并利用積分，并利用LegradrerLegradrer多項式的正交性多項式的正交性)(coslP0 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)6)6)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering22即即 （3-133-

21、13）)21() 12() 12(llliilleleilA將此結(jié)果代入（將此結(jié)果代入（3-113-11）式）式)(cos) 12()(2)(cos) 12(020lllilPlikfPell)(cos) 1( ) 12(21)(21lilPelikfl)(cos)() 12(211liiilPeeeliklll)(cossin) 12(10llilPelkl（3-14） 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)7)7)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering23可見，求散射振幅可見，求散射振幅f f( ( ) )的問題歸結(jié)為求的問題歸結(jié)為求 ，求求 的具體

22、值關(guān)鍵是解徑向波函數(shù)的具體值關(guān)鍵是解徑向波函數(shù) 的方的方程（程（3-33-3）ll R r 由（3-8），（3-9）知， 是入射平面波的第 個分波的位相；由（3-6）知， 是散射波第 個分波的位相。所以， 是入射波經(jīng)散射后第 個分波的位相移動（相移）。lllkr21lkr21llll 的物理意義：的物理意義： l 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)8)8)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering24微分散射截面微分散射截面（3-15）212sin)(cos) 12(1| )(|)(llillePlkfqdqdqQsin)(2)(dPPellklllli

23、llllsin)(cos)(cossinsin) 12)(12 (20)(002 l lllilllellkll122sinsin) 12)(12(2)(002lllk202sin) 12(4總散射截面總散射截面 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)9)9)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering25即即 （3-163-16）0llQQ式中式中 （3-173-17）lllkQ22sin) 12(4是第是第 個分波的散射截面。個分波的散射截面。l由上述看們看出：求散射振幅由上述看們看出：求散射振幅 的的問題歸問題歸結(jié)為求相移結(jié)為求相移 ，而而 的獲得，需要

24、根據(jù)的獲得，需要根據(jù) 的具體情況解徑向方程（的具體情況解徑向方程（3-33-3）求）求 ，然后然后取其漸近解，并寫為取其漸近解，并寫為ll U r f lR r1( )sin2lllR rkrk rr 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)10)10)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering26即可得到第即可得到第 個分波的相移，由于每個分波個分波的相移，由于每個分波都將產(chǎn)生相移都將產(chǎn)生相移 ，所以，必須尋找各個分波所以，必須尋找各個分波的相移來計算散射截面，這種方法稱為分波的相移來計算散射截面，這種方法稱為分波法。法。ll光 學(xué) 定 理光 學(xué) 定 理)

25、0(Im4fkQ（證明見后）（證明見后） 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)11)11)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering27 分波法求散射截面是一個無窮級數(shù)的問分波法求散射截面是一個無窮級數(shù)的問題。從原則上講，分波法是散射問題的普遍題。從原則上講，分波法是散射問題的普遍方法。但實際上，依次計算級數(shù)中的各項是方法。但實際上，依次計算級數(shù)中的各項是相當復(fù)雜的，有時也是不可能的，所以只能相當復(fù)雜的，有時也是不可能的，所以只能在一定的條件下計算級數(shù)中的前幾項，達到在一定的條件下計算級數(shù)中的前幾項，達到一定精確度即可。一定精確度即可。分波法的適用范圍分波

26、法的適用范圍 散射主要發(fā)生在勢場的作用范圍內(nèi)，若以散射主要發(fā)生在勢場的作用范圍內(nèi)，若以散射中心為心，以散射中心為心，以 為半徑的球表示這個范圍，為半徑的球表示這個范圍，則則 時，散射效果就可以忽略不計了。時，散射效果就可以忽略不計了。r aa 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)12)12)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering28由于入射波的第由于入射波的第 個分波的徑向函數(shù)個分波的徑向函數(shù) 的的第一極大值位于第一極大值位于 附近，當附近，當 較大時，較大時，愈大，愈大，klr lj(kr)llr( )0lj krr愈快，如果愈快，如果 的第一極大值

27、位于的第一極大值位于 ，即即 時，在時，在 內(nèi)，內(nèi)， 的值很小。的值很小。亦即第亦即第 個分波受勢場的影響很小，散射影個分波受勢場的影響很小，散射影響可以忽略，只有第響可以忽略，只有第 個分波之前的各分波個分波之前的各分波必須考慮。所以，我們把分波法適用的條件必須考慮。所以，我們把分波法適用的條件lj(kr)0klrlj(kr)lkar all 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)13)13)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering29寫成寫成 ，而，而 的分波不必考慮，的分波不必考慮， 愈小，則需計算的項數(shù)愈小，當愈小，則需計算的項數(shù)愈小，當 時，時，

28、 ，這時僅需計算一個相移這時僅需計算一個相移 即足夠了，即足夠了， 足夠小，意味著入射粒子的動能較低，所足夠小，意味著入射粒子的動能較低，所以分波法適用于低能散射，以分波法適用于低能散射， 的分波散射的分波散射截面可以略去。截面可以略去。kal kal ka1ka 0l0kakal 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)14)14)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering30說明說明 已知已知 時，可用分波法求出低能散射的時，可用分波法求出低能散射的相移和散射截面，在原子核及基本粒子問題相移和散射截面，在原子核及基本粒子問題中，作用力不清楚，也即不知道中，

29、作用力不清楚，也即不知道 的具體的具體形式，這時，我們可先由實驗測定散射截面形式，這時，我們可先由實驗測定散射截面和相移，然后確定勢場和力的形式和性質(zhì)，和相移，然后確定勢場和力的形式和性質(zhì)，這是研究原子核及基本粒子常用的一種方法。這是研究原子核及基本粒子常用的一種方法。 U r U r 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)15)15)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering31思考題：思考題：什么是分波法？什么是分波法？分波法是說入射平面波分波法是說入射平面波e eikzikz按球面波展開按球面波展開cos0(21)() (cos )ikzikrllll

30、eeli j kr P222221( )22( )(1)( ) 0ddRrEU rl lrRrr drdrr 展開式中的每一項稱為一個分波，每個分波展開式中的每一項稱為一個分波，每個分波在中心力場的影響下，各自產(chǎn)生一個相移在中心力場的影響下，各自產(chǎn)生一個相移 。而而 的獲得需根據(jù)的獲得需根據(jù) 的具體形式解徑向方程的具體形式解徑向方程ll U r 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)16)16)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering32求出求出 ，然后取其漸近解，并寫成然后取其漸近解，并寫成 lR r11( )sin2llR rkrlkr r即可得到第即

31、可得到第 個分波的相移，由于每個分波都個分波的相移，由于每個分波都將產(chǎn)生相移將產(chǎn)生相移 ，所以，計算散射截面時須尋找所以，計算散射截面時須尋找各個分波的相移，各個分波的相移，這種方法稱為分波法。這種方法稱為分波法。ll 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)17)17)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering33分波法應(yīng)用舉例分波法應(yīng)用舉例ararUrU0)(0ex.ex. 球方勢阱和球方勢壘的低能散射。球方勢阱和球方勢壘的低能散射。粒子的勢能粒子的勢能: : 是勢阱或勢壘的深度或高度。設(shè)入射粒子是勢阱或勢壘的深度或高度。設(shè)入射粒子能量很小，其德布羅意波長

32、比勢場作用范圍大能量很小，其德布羅意波長比勢場作用范圍大很多（質(zhì)子和中子的低能散射可以近似地歸結(jié)很多（質(zhì)子和中子的低能散射可以近似地歸結(jié)為這種情況），求粒子的散射截面。為這種情況），求粒子的散射截面。0USolve:Solve: 粒子的徑向方程粒子的徑向方程2222( )1( 1)( )( ) 0lldR rdl lrkV rR rr drdrr （1 1） 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)18)18)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering34其中其中 22222( ),( )EU rkV r（2）ararkUrUrV0|2)(2)(20202對于

33、球方勢阱對于球方勢阱 為粒子的能量，為粒子的能量， 為粒子在靶粒子中心力為粒子在靶粒子中心力場中的勢能。場中的勢能。E U r00U （2）ararkUrUrV0|2)(2)(20202因粒子波長因粒子波長11aakak hk所以僅需討論所以僅需討論s s波的散射波的散射 ，據(jù)此及（據(jù)此及（2 2）式，可將方程（式，可將方程（1 1）寫成）寫成0l 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)19)19)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering3522002( )1( )0dR rdrk R rrar drdr22002( )1( )0dR rdrk R rra

34、r drdr其中其中 2022kkkrrurR)()(00（4）（3）令令則（則（3 3），（），（4 4）可寫成）可寫成0)()(02202rukdrrud（5） 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)20)20)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering360)()(02202rukdrrud00( )sin()u rAk rra00( )sin()urBkrra（6）其解為其解為（7）（8）arrkrArR)sin()(00arkrrBrR)sin()(00于是于是（9）（10）因因 在在 處有限，必須有處有限，必須有rrurR)()(000r 0)

35、0(0u所以所以00 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)21)21)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering37在在 處，處， 及及 連續(xù)，因此，連續(xù)，因此， 及及 在在 處連續(xù)。由（處連續(xù)。由（7 7），（），（8 8）式得式得)(0rR0( )dR rdr)(0ru0( )du rdraktgkkatgk1)(10kaaktgkkarctg0r ar a總散射截面總散射截面（1111）0220sin4kQQQll224sinkQarctgtgkakakk（1212）由此求得相移由此求得相移即即 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)22)22)Chapt

36、er.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering3811000akatgkkakaaktgkk2002202022144sin4akatgkakkQ在粒子能量很低在粒子能量很低 的情況下，的情況下， 。利用利用 時，時， ，有有 ) 0( k0kk 1xarctgx x（1313）（1414）對于球方勢壘對于球方勢壘 。00U這時，用這時，用 代替以上討論中的代替以上討論中的 ，在粒子能在粒子能量很低量很低 的情況下，（的情況下，（1313）變?yōu)椋┳優(yōu)?ik0k) 0( k1000akathkka（1515） 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)23)23)Chapter

37、.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering39（1414）寫為）寫為200214akathkaQ0k100000akakakakeeeeathk24 aQ（1616）當當 時時 ，由于，由于代入（代入（1616）式，得）式，得0U 低能粒子經(jīng)無限高勢壘場的散射，其散射截面等低能粒子經(jīng)無限高勢壘場的散射，其散射截面等于半徑為于半徑為 的球面面積，它與經(jīng)典情況不同，在經(jīng)的球面面積，它與經(jīng)典情況不同，在經(jīng)典情況下，總散射截面就是作為散射中心的半徑為典情況下，總散射截面就是作為散射中心的半徑為 的硬球的最大截面面積的硬球的最大截面面積 ，它是量子力學(xué)計算的，它是量子力學(xué)計算

38、的結(jié)果的結(jié)果的 。2()aaa1 4 三、分波法三、分波法 ( (續(xù)續(xù)24)24)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering40四四. .玻恩近似玻恩近似 分波法僅適用于討論低能粒子的散射問題，分波法僅適用于討論低能粒子的散射問題，當入射粒子的能量很高時，采用分波法計算散當入射粒子的能量很高時，采用分波法計算散射截面就不恰當了，對于高能入射粒子而言，射截面就不恰當了，對于高能入射粒子而言，勢能勢能 可看作是微擾，體系的哈密頓算符為可看作是微擾，體系的哈密頓算符為 )(rUHHH0其中，其中， 是粒子的動能（自由粒子的哈是粒子的動能（自由粒子的哈密頓量）

39、，其本征函數(shù)取箱歸一化的動量本密頓量），其本征函數(shù)取箱歸一化的動量本征函數(shù)征函數(shù)220pH rk ikeL23pk， 波矢量Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering41粒子與散射力場的相互作用能：粒子與散射力場的相互作用能：)(rUH 這里，采用箱歸一化意味著體積這里，采用箱歸一化意味著體積L L3 3內(nèi)只有內(nèi)只有一個粒子。于是，入射粒子流密度一個粒子。于是，入射粒子流密度d3( , )( , )dnqNdqL d 單位時間內(nèi)，散射到單位時間內(nèi)，散射到 方向立體角方向立體角 內(nèi)的內(nèi)的粒子數(shù)粒子數(shù)3 LN),(（1）另一方面，入射粒子由于受到靶粒子力場

40、的另一方面，入射粒子由于受到靶粒子力場的微擾作用，從動量為微擾作用，從動量為 的初態(tài)的初態(tài) 躍遷到動躍遷到動量量 的末態(tài)的末態(tài) ，即即k)(rkk)(rk四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)1)1)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering42kkk|)(rk)(rk對于彈性散射，動能守恒對于彈性散射，動能守恒單位時間內(nèi)，粒子從初態(tài)單位時間內(nèi)，粒子從初態(tài) 躍遷到動量大躍遷到動量大小為小為 ，方向為，方向為 的立體角的立體角 內(nèi)所有末內(nèi)所有末態(tài)上的幾率，即躍遷幾率態(tài)上的幾率，即躍遷幾率 )(rkkp),(d躍遷距陣元躍遷距陣元dmHkk)(22（2 2

41、）*( )( )kkkkHU rr d derULrkki)(3)(（3 3）四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)2)2)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering43 為動量大小為為動量大小為 方向角為方向角為 的末態(tài)的末態(tài)數(shù)目（態(tài)密度）數(shù)目（態(tài)密度）)(mk),(kLm32)(（4）將（將（3 3）、（）、（4 4）代入（）代入（2 2）式，得出）式，得出 23()23( )4i kk rkLU r edd（5 5）此式在數(shù)量上即表示單位時間內(nèi)躍遷到立體角此式在數(shù)量上即表示單位時間內(nèi)躍遷到立體角d d 內(nèi)的粒子數(shù)內(nèi)的粒子數(shù)23()2 3( )4i

42、 k k rkdnLU r edd （6 6）四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)3)3)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering442)(422)(4),( derUqrkki比較（比較（1 1），（），（6 6）式，并注意到）式，并注意到 ，立，立即可得即可得 kv（7 7）式中絕對值內(nèi)保留負號是因為用格林函數(shù)法算式中絕對值內(nèi)保留負號是因為用格林函數(shù)法算出的散射振幅出的散射振幅 有一負號。引入矢量有一負號。引入矢量),(fkkK2sin2kK kkkKkderUderUrKirkki )()()(其中其中 是散射角，是散射角， 是散射引起動量的

43、變化，是散射引起動量的變化，于是于是K（8 8）四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)4)4)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering45取取 的方向為球坐標的極軸方向，的方向為球坐標的極軸方向， 為方位為方位角，則可簡化積分角，則可簡化積分 K,2cos2000( )( )siniK riKrU r edU r r dredd 0)sin()(4drKrrrUK20422)sin()(4),(drKrrrUKq（9 9）因而因而（1010）此式即為玻恩近似表達式，若勢能此式即為玻恩近似表達式，若勢能 已知，計算已知，計算積分后就可以求出微分散射截面

44、，所以，應(yīng)用玻恩積分后就可以求出微分散射截面，所以，應(yīng)用玻恩近似法計算微分散射截面時，主要難點在于給出近似法計算微分散射截面時，主要難點在于給出 的具體形式后，如何計算積分的具體形式后，如何計算積分 。0( )sinrU rKrdr U r U r四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)5)5)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering46 下面給出幾種常見的較復(fù)雜的作用勢能及對應(yīng)的下面給出幾種常見的較復(fù)雜的作用勢能及對應(yīng)的積分公式。積分公式。222 22 2022 20403002200202sin()()sin()( )4sin()sin2ararK

45、aa ra rararaKU ereKr drakKeU ereKr drU raeKUeKr drraKUKrdrrr四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)6)6)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering47玻恩近似法應(yīng)用舉例玻恩近似法應(yīng)用舉例Ex.1玻恩近似法的適用范圍：玻恩近似法的適用范圍： 玻恩近似法只適用于粒子的高能散射，它玻恩近似法只適用于粒子的高能散射，它與分波法（適用于低能散射）相互補充，作與分波法（適用于低能散射）相互補充，作為解決散射問題的兩種主要方法。為解決散射問題的兩種主要方法。eZ 計算高速帶電粒子計算高速帶電粒子 ，被中性

46、原子內(nèi)部，被中性原子內(nèi)部屏蔽庫侖場屏蔽庫侖場 散射，求散射截面。散射，求散射截面。arsereZZrU2)(SolveSolve：高速帶電粒子屬高能粒子，故高速帶電粒子屬高能粒子，故20422)sin()(4)(drKrrrUKq四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)7)7)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering48222242 404sin()rsaZ Z eeKr drK22242422142aKKKeZZs當入射粒子的能量很大，散射角當入射粒子的能量很大，散射角 較大時較大時2sin12Kaka22244422)1 (42KaaeZZs（1）

47、2sin2kK 其中其中（2 2）（3）所以上式可近似寫成所以上式可近似寫成四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)8)8)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering4922224224444444441( )()16sin2ssZ Z eZ Z eaqKak2csc4442422seZZ（4） 此式稱為此式稱為RutherfordRutherford散射公式散射公式。首先由盧瑟福用。首先由盧瑟福用經(jīng)典方法計算庫侖散射（不考慮屏蔽作用）得出。這經(jīng)典方法計算庫侖散射（不考慮屏蔽作用）得出。這說明式（說明式（3 3）是經(jīng)典力學(xué)方法可以適用的條件。式（）是經(jīng)典

48、力學(xué)方法可以適用的條件。式（4 4）表明要求散射角比較大，能量比較大，這時散射要在表明要求散射角比較大，能量比較大，這時散射要在原子核附近發(fā)生，即入射粒子深入到原子內(nèi)部，因而原子核附近發(fā)生，即入射粒子深入到原子內(nèi)部，因而核外電子不起屏蔽作用。當核外電子不起屏蔽作用。當 角很小時，條件（角很小時，條件（3 3）不能滿足，不能滿足，RutherfordRutherford公式不能成立，此時需用（公式不能成立，此時需用（1 1）式。式。 四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)9)9)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering50EX.2Solve Solve

49、 為一般起見，先考慮為一般起見，先考慮 分波的相移，分波的相移， 再取特殊情況再取特殊情況 分波的相移。分波的相移。0)() 1()(22)(122222rRrllrUErRdrdrdrdr 粒子受到勢能為粒子受到勢能為 的場的散射，的場的散射， 求求s s分波的微分散射截面。分波的微分散射截面。2)(rarUls根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件 1( )sin2lllAR krkrlkr r （1 1）解徑向函數(shù)解徑向函數(shù) 滿足的徑向方程滿足的徑向方程 lR r令令 20222,2aVEk四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)10)10)Chapter.6 .ScatteringChapter.6

50、.Scattering510)() 1(1220222rRrllrVkRdrdrdrdr0)() 1(2)(022222rRVllrkRdrdrrRdrdr)(1)(1)(ukrukrrRkr又令又令（2 2）所以（所以（2 2）式可以寫成）式可以寫成于是（于是（3 3）式又可寫成）式又可寫成222202( )1( )( ) 02dudulVudd02221Vl（3 3）令令四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)11)11)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering52上式是上式是 階貝塞爾方程，其解為階貝塞爾方程，其解為 ，因此因此22222( )(

51、 )( ) 0dduuudd)(JJkrrR1)(但當?shù)?時，時， 0r)(krJ所以在所以在 附近附近0r)(1)(krJkrrR由由 r21( )cos24J krkrkr（4 4）四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)12)12)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering532421sin2krkr421sin2krkr21( )sin24R rkrkrr（5 5）比較（比較（1 1）式和（）式和（5 5）式，則有）式，則有)(24ll21) 12(4l02212) 12(4Vll222212) 12(4all四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (

52、續(xù)續(xù)13)13)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering542811400al將將 值代入微分散射截面的表達式值代入微分散射截面的表達式0202sin)(cos) 12(1)(lilllePlkq立即可得到立即可得到s s分波的微分散射截面分波的微分散射截面令令20020sin)(cos1)(0iePkq022sin1k28114sin122aks s分波散射截面分波散射截面dqQl)(028114sin422ak四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)14)14)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering55

53、EX.3EX.3慢速粒子受到勢能為慢速粒子受到勢能為 的場的散射，的場的散射，若若 ， ，求散射截面。，求散射截面。0( )0UraU rra當當0UE 00U由徑向波函數(shù)由徑向波函數(shù) 所滿足的徑向方程所滿足的徑向方程 lR r0)() 1()(22122222rRrllrUERdrdrdrdr當當 時時0l 0)()(2212222rRrUERdrdrdrdr（1）令rrurR)()(（2）Solve: Solve: 由于是慢速粒子散射，對于低能散射由于是慢速粒子散射，對于低能散射只需考慮只需考慮 分波。分波。s四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)15)15)Chapter.6 .Scat

54、teringChapter.6 .Scattering56222( )2( )( )0d u rEU ru rdr將 代入以上方程ararUrU0)(0（3）20222)(2,2EUkEk并令并令 （4 4）arrukdrrud0)()(222arrukdrrud0)()(222（6）（5）areBeArurkrk)(arkrCru)sin()(0四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)16)16)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering57 areBeArrrurRrkrk)(1)()(arkrrCrrurR)sin()()(0當當 應(yīng)有限，則要求應(yīng)

55、有限，則要求 0,( )rR r0BAarrkshrAeerArRrkrk)()(在在 處，處， 和和 連續(xù)連續(xù)drrdR)(0r R r兩式相除，得兩式相除，得 akAshkaC)sin(0akchkAkakC)cos(0akthkkkatg)(0四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)17)17)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering58總散射截面總散射截面akthkkarctgka0akthkkarctgkak22sin40220sin4kQQ(7)討論：當粒子的能量 時， 0UE020202)(2kUEUk1kk100akathkkaathk

56、kkkaakthkkka000如果粒子能量很低如果粒子能量很低 的情況下的情況下 (0)k 四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)18)18)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering5911000akathkka20202204sin4kkQQ200214akathka100000akakakakeeeeathk24 aQ2aQ如果如果 時，時， ，于是有，于是有0U0k在這種情況下，總散射截面等于半徑為在這種情況下，總散射截面等于半徑為 的球的球面面積。它與經(jīng)典情況不同，在經(jīng)典情況下面面積。它與經(jīng)典情況不同，在經(jīng)典情況下 a四四. .玻恩近似玻恩近

57、似 ( (續(xù)續(xù)19)19)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering60EX.4EX.4只考慮只考慮s s分波，求慢速粒子受到勢場分波，求慢速粒子受到勢場 的場散射時的散射截面的場散射時的散射截面4)(rarUSolve:Solve: 根據(jù)邊界條件根據(jù)邊界條件1( )sin2lllAR krkrlkrr 解徑向方程：解徑向方程：0)() 1()(22)(122222rRrllrUErRdrdrdrdrll令222Ek4042212)(2)(rVrarUrV則上方程簡寫為：則上方程簡寫為：0)() 1()(1240222rRrllrVkrRdrdrdrd

58、rll四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)20)20)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering610)(21)()(2202222lllulrVddudud)(1)(llurRkr令令代入上方程，有代入上方程，有只考慮只考慮s s分波，分波， ，由于由于 ， ，以上方程在以上方程在 時的漸近形式為時的漸近形式為020rVrr0l 0)(21)()(22222llluddudud此為此為 階貝塞爾方程，其解為階貝塞爾方程，其解為21)(21J四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)21)21)Chapter.6 .ScatteringChapter.6

59、 .Scattering62由于由于 ， ，所以有限解為，所以有限解為0)(21J)(21J于是于是krkrsin20121( )()R rJkrkrr21cos2 24krkrr0sin40220kQ比較（比較（1 1）和（）和（2 2）兩式，并注意?。ǎ﹥墒?，并注意取（1 1）式）式中的中的 等于等于0 0，則，則00l四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)22)22)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering63EX.5用玻恩近似法求粒子在勢能場用玻恩近似法求粒子在勢能場 中散射的散射截面中散射的散射截面220)(raeUrUSolve:Solv

60、e: 根據(jù)微分散射截面公式根據(jù)微分散射截面公式20422sin)(4),(RrdrrrUKq于是將于是將 代入上式，積分代入上式，積分220)(raeUrU000sinsin)(22KrdrreUKrdrrrUra2 22 2002200sincos22a ra rUKUeKreKrdraa224220212aKeaaKU224304aKeaKU四四. .玻恩近似玻恩近似 ( (續(xù)續(xù)23)23)Chapter.6 .ScatteringChapter.6 .Scattering64222462204),(aKeaUq2 sin2Kk222206422sin2( , )exp4kUqaa )co