ve數(shù)字信號(hào)處理ch

1、第3章頻域中的離散時(shí)間信號(hào)l 主要內(nèi)容l 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換l 離散時(shí)間傅里葉變換的存在及其性質(zhì)l 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)的轉(zhuǎn)換3.1 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換l 3.1.1 定義連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻域表示由連續(xù)時(shí)間傅里葉變換（CTFT）給出：CTFT通常稱(chēng)為連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉譜（ Fourier Spectrum），簡(jiǎn)稱(chēng)譜（Spectrum）。3.1 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換連續(xù)時(shí)間信號(hào)也可以通過(guò)逆傅里葉（Fourier Intergral）從其CTFT恢復(fù)。CTFT變換對(duì)表示為3.1 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換l W 是一個(gè)實(shí)數(shù)，表示連續(xù)時(shí)間的角頻率變量為弧度/秒。，在范圍-¥ < W

2、 < ¥Wl CTFT通常都是角頻率內(nèi)的復(fù)函數(shù)。l CTFT可用極坐標(biāo)表示為其中3.1 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換Xa ( jW)稱(chēng)為幅度譜（Magnitude Spectrum）z，qa ( jW) 稱(chēng)為相位譜（Phase Spectrum），兩者都是 W 的實(shí)函數(shù)。l 一般來(lái)說(shuō)，若連續(xù)時(shí)間函數(shù)滿(mǎn)足狄利克雷（Dirichlet）條件：（a） 在任何一個(gè)有限的區(qū)間內(nèi)，信號(hào)具有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，且極值數(shù)目有限；（b） 信號(hào)絕對(duì)可積，即則CTFT存在。3.1 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換l 在滿(mǎn)足狄利克雷條件時(shí)，上式等號(hào)右邊的t 值外的所有其他 t在除了哪些使信號(hào)不連續(xù)的值收斂于 xa (t) 。Xa

3、 ( jW) < ¥l 容易證明，若 xa (t) 絕對(duì)可積，則3.1 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換l 3.1.2 能量密度譜一個(gè)有限能量的連續(xù)時(shí)間信號(hào) xa (t) 的總能量表示為*x (t)CTFT將上式中的用其逆表示來(lái)代替，如a下式的方括號(hào)所以3.1 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換交換上式的順序，可得進(jìn)一步可得該式就是著名的有限能量的連續(xù)時(shí)間信號(hào)的帕塞瓦爾（Parseval Theorem）定理。3.1 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換l 3.1.2能量密度譜被積函數(shù) X ( jW) 2稱(chēng)為連續(xù)時(shí)間信號(hào) x(t) 的能量aa密度譜，通常用表示 Sxx (W)，且有Wa £ W £ Wb信

4、號(hào) xa (t) 在頻率范圍上的總能量e，可通過(guò)對(duì) S(W) 在該范圍內(nèi)的得到x,rxx3.1 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換l 3.1.3 帶限連續(xù)時(shí)間信號(hào)全頻帶有限能量的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，其頻譜占有整個(gè)頻率范圍，即 -¥ £ W £ ¥，而對(duì)于帶限連續(xù)時(shí)間信號(hào)，它的頻譜則被限制在上述頻率范圍的一部分。理想的帶限信號(hào)在有限頻率范圍 Wa £ W £ Wb 之外為零，即3.1 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換l 然而，實(shí)際中不可能產(chǎn)生理想的帶限信號(hào)，為了實(shí)用，保證帶限信號(hào)在其頻率范圍之外的能量足夠小就夠了。l 帶限（Band limited）信號(hào)根據(jù)絕大部分信號(hào)能

5、量集中的頻段來(lái)分類(lèi):Ø 低通（Lowpass）信號(hào)的頻譜所占的頻率范圍是0 £ W £ W p，其中W p 稱(chēng)為信號(hào)的帶寬；Ø 高通（Highpass）信號(hào)的頻譜所占的頻率范圍是0 < W p £ W < ¥ ，其中信號(hào)的帶寬是從到；Ø 帶通（Bandpass）信號(hào)的頻譜所占的頻率范圍是，其中信號(hào)的帶寬 WH- WL。0 < WL £ W £ WH < ¥3.2 離散時(shí)間傅里葉變換l 3.2.1 定義序列xn的離散時(shí)間傅里葉變換（Discrete- time Fourie

6、r Transform，DTFT）X (e jw ) 定義為其中 w-¥ < w < ¥是范圍內(nèi)的連續(xù)變量。需要注意的是 å xne- jwn，也可能不收斂；無(wú)限項(xiàng)序列既可能收斂3.2 離散時(shí)間傅里葉變換當(dāng)該式對(duì)所有w 均收斂時(shí)，DTFTX (e jw )存在。是 w 的一個(gè)周期函數(shù)，周與CTFT不同，X (e jw )期為 2p 。3.2 離散時(shí)間傅里葉變換離散傅里葉逆變換（IDTFT）采用如下傅里葉表示范圍可以在任意一段2p 范圍內(nèi)Ø 雖然上式進(jìn)行，但在實(shí)際應(yīng)用中常選擇范圍-p ,p ；Ø IDTFT可解釋為形如 1e jwnd

7、w的無(wú)窮小復(fù)指數(shù)2p信號(hào)在從-p 到p 的歸一化角頻率范圍內(nèi)以復(fù)常數(shù)X (e jw的線性組合。3.2 離散時(shí)間傅里葉變換為使符號(hào)上表示簡(jiǎn)便，我們運(yùn)用以下符號(hào)表示序列 xn的 X (e jw ) 。同樣，采用運(yùn)算符號(hào)表示 X (e jw ) 的逆傅里葉變換 。這樣，一個(gè)離散時(shí)間傅里葉變換對(duì)可表示為3.2 離散時(shí)間傅里葉變換l 3.2.2 基本性質(zhì)傅里葉變換X (e jw ) 都是實(shí)變量w 的復(fù)函數(shù)，可表示成直角坐標(biāo)形式j(luò)wjwjw其中，X re (e) 和Xim (e) 分別是 X (e) 的實(shí)部（Real Part）和虛部（Imaginary Part），它們都是w 的實(shí)函數(shù)。3.2 離散時(shí)間

8、傅里葉變換X (e jw ) 也可以表示為X (e jw ) 稱(chēng)為幅度函數(shù)（Magnitude Function）¾，也稱(chēng)為幅度譜；Ø q (w) 稱(chēng)為相位函數(shù)（Phase Function），也稱(chēng)為相位譜；Ø 在許多應(yīng)用中，也稱(chēng)傅里葉變換為傅里葉譜。3.2 離散時(shí)間傅里葉變換X (e jw )的直角坐標(biāo)形式和極坐標(biāo)形式之間的關(guān)系為3.2 離散時(shí)間傅里葉變換和CTFT一樣，DTFT的相位函數(shù)也不是唯一的。若用q (w) + 2p k 替換q (w) ，其中k 為任意整數(shù)，可得除非另作說(shuō)明，否則我們假定相位函數(shù)被限定在以下值域中稱(chēng)為主值區(qū)間3.2 離散時(shí)間傅里葉變換

9、相位展開(kāi)Ø 某些序列的DTFT相位函數(shù)顯示出2p 的不連續(xù)；Ø 在某些情況下希望獲得角頻率w 的連續(xù)相位函數(shù)，這個(gè)時(shí)候就需要對(duì)2p 不連續(xù)的相位函數(shù)進(jìn)行處理；Ø 消除相位不連續(xù)的處理過(guò)程稱(chēng)為展開(kāi)（ Unwrapping），經(jīng)過(guò)展開(kāi)處理的相位函數(shù)表示為 qc (w) 。3.2 離散時(shí)間傅里葉變換l 例3.5樣本序列的離散時(shí)間傅里葉變換l 例3.6 指數(shù)序列的離散時(shí)間傅里葉變換考慮一個(gè)因果序列，X (e jw )表示為3.2 離散時(shí)間傅里葉變換3.2 離散時(shí)間傅里葉變換l 3.2.3 對(duì)稱(chēng)關(guān)系3.2 離散時(shí)間傅里葉變換3.2 離散時(shí)間傅里葉變換l 3.2.4 收斂條件

10、若收斂，則認(rèn)為令中的級(jí)數(shù)在一定意義上x(chóng)n 的傅里葉變換 X (e jw ) 存在。的部分和，則對(duì)X (e jw )表示上式中的復(fù)指數(shù)的一致收斂，有3.2 離散時(shí)間傅里葉變換若xn 是絕對(duì)可和序列，即那么對(duì)所有w 值都能保證X (e jw )存在。絕對(duì)可和是序列的傅里葉變換存在的充分條件。3.2 離散時(shí)間傅里葉變換對(duì)例3.6中的序列由于，因此滿(mǎn)足絕對(duì)可和，其DTFT收斂于然而，有限能量序列并不一定是絕對(duì)可和的例2.9 序列= p 2其能量63.2 離散時(shí)間傅里葉變換為了將能量有限序列用DTFT表示，這里定義均方收斂（Mean-Square Convergence）Ø 對(duì)于每個(gè)w 值，隨

11、著 K ® ¥ ，誤差e (w) = X (e jw ) - X(e jw ) 的總能量必定趨近于0；KØ 在這種情況下，當(dāng) K ® ¥ ，X (e jw )并不一定是jwXK (e) 的極限，DTFT也不再有界。3.2 離散時(shí)間傅里葉變換l 例3.8 考慮的DTFTjwHLP (e)的IDTFT表示為3.2 離散時(shí)間傅里葉變換當(dāng) n = 0 時(shí)因此，相應(yīng)有計(jì)算序列的能量3.2 離散時(shí)間傅里葉變換hLP n是一個(gè)有限能量序列，但不是絕對(duì)可和。因此，(e jw ) ，但在對(duì)于所有的值并不一致收斂到 HLP(e jw ) 。均方意義下收斂到 HLP

12、例3.8中討論的序列hLP n的均方收斂特性可以通過(guò)分析不同值下的函數(shù)K3.2 離散時(shí)間傅里葉變換3.2 離散時(shí)間傅里葉變換曲線上點(diǎn) w = w 的兩wØ 從該圖可以看出，Hj(e)LPc邊附近存在波紋，而這與上式中的 K 值無(wú)關(guān)。波紋的數(shù)量隨著 K 值的增大而增加，最大波紋的高度對(duì)于所有 K 值都一致；Ø 隨著K 值趨近于無(wú)窮，p(e jw ) 2 dw = 0òH(e jw ) - HlimLPLP,KK ®¥(e jw ) ；條件成立，表-明p(e jw ) 收斂到 HHLPLP,K(e jw ) 的振蕩行為在不連續(xù)點(diǎn)處以均方意義H

13、90;LP,K逼近H(e jw ) ，這就是通常所說(shuō)的吉布斯（LPGibbs）現(xiàn)象。3.2 離散時(shí)間傅里葉變換l Dirac函數(shù)Ø 對(duì)于既不是絕對(duì)可和也不是平方可和的某些特定序列，也可以定義其傅里葉變；Ø 例如階躍序列，正弦序列和復(fù)指數(shù)序列；Ø 對(duì)于這類(lèi)序列可以通過(guò)Dirac函數(shù)使得傅里葉變換存在。3.2 離散時(shí)間傅里葉變換d (w)是w的函數(shù)，它具有無(wú)限高度、零寬度和面積。定義為d (w)也可以定義為趨近于0的極限形式面積沖激函數(shù)pD (w)在D其中性質(zhì)3.2 離散時(shí)間傅里葉變換l 例3.9 復(fù)指數(shù)序列的傅里葉變換其中w0為實(shí)數(shù)其傅里葉變換為其中d (w)是關(guān)于

14、 w 的沖激函數(shù)，且-p £ w0 上式等號(hào)右邊的函數(shù)是關(guān)于 w的周期為 2p 周期函數(shù)，稱(chēng)為周期沖激串（Periodic Impulse Train）。< p的3.2 離散時(shí)間傅里葉變換l 表3.3 常用的離散時(shí)間傅里葉變換對(duì)3.2 離散時(shí)間傅里葉變換l 3.2.5 DTFT的強(qiáng)度傅里葉變換X (e jw )的強(qiáng)度的測(cè)度由其范數(shù)給出。X (e jw )的p范數(shù)定義為經(jīng)常用到的p值有1，2或¥。1范數(shù)：均值2范數(shù)：RMS¥范數(shù)：3.3 離散時(shí)間傅里葉變換定理3.3 離散時(shí)間傅里葉變換定理l 例3.13 利用頻域微分定理計(jì)算傅里葉變換的DTFT。求序列令 xn

15、 = a n mn, a< 1，則有可得 xn 的傅里葉變換利用表3.4中給出的傅里葉變換的微分性質(zhì)，可得到nxn的傅里葉變換3.3 離散時(shí)間傅里葉變換定理再利用表3.4中的傅里葉變換的線性定理，可得到 yn的傅里葉變換3.3 離散時(shí)間傅里葉變換定理l 例3.11 由差分方程定義的序列的傅里葉變換求序列vn的傅里葉變換V (e jw )，vn由下式給出d n « 1我們知道根據(jù)DTFT的時(shí)移性質(zhì)d n -1 « e- jwvn -1 « e- jwV (e jw )3.3 離散時(shí)間傅里葉變換定理再利用DTFT的線性性質(zhì)求解上式，可得3.3 離散時(shí)間傅里葉變換

16、定理l 利用DTFT進(jìn)行線性卷積Ø 卷積定理的含義：要計(jì)算兩個(gè)序列g(shù)n和hn的線性卷積 yn，可以先分別計(jì)算它們的傅里葉變換G(ejw )和H (e jw )，形成乘積Y (e jw ) = G(e jw )H (e jw )，然后計(jì)算該乘積的傅里葉逆變換。Ø 在某些應(yīng)用中，尤其是無(wú)限長(zhǎng)序列的情況下， 基于DTFT的方法可能比直接計(jì)算卷積更為方便。3.3 離散時(shí)間傅里葉變換定理l 利用離散時(shí)間傅里葉變換進(jìn)行線性卷積3.4 離散時(shí)間序列的能量密度譜有限能量序列 gn的總能量為根據(jù)Parseval定理，有定義能量密度譜（Energy Density Spectrum）在 -p

17、£ w < p 范圍內(nèi)該曲線下的面積再除以2p 就是這個(gè)序列的能量。3.5 帶限離散時(shí)間信號(hào)Ø 由于離散時(shí)間信號(hào)的頻譜是關(guān)于w 的周期為2p 的函數(shù)，因此全頻帶離散時(shí)間信號(hào)的頻譜占有整個(gè)頻率范圍-p £ w < p ；Ø 若信號(hào)的頻譜被限制在上述頻譜范圍內(nèi)的一部分，則該信號(hào)稱(chēng)為帶限離散時(shí)間信號(hào)；Ø 一個(gè)理想帶限信號(hào)的頻譜，在其有限的頻率范圍0 £ wa £ w £ wb < p之外應(yīng)為0，即Ø 與連續(xù)時(shí)間信號(hào)一樣，實(shí)際中不可能產(chǎn)生理想 信號(hào)。3.5 帶限離散時(shí)間信號(hào)帶限（Band lim

18、ited）離散時(shí)間信號(hào)根據(jù)絕大部分信號(hào)能量集中的頻段來(lái)分類(lèi)。Ø 低通離散時(shí)間信號(hào)的頻譜所占的頻率范圍是< p ，其中wp 稱(chēng)為信號(hào)的帶寬；-p < -w p £ w £ w pØ 高通離散時(shí)間信號(hào)的頻譜所占的頻率范圍是£ w < p ，其中信號(hào)的帶寬是p - wp；wpØ 帶通離散時(shí)間信號(hào)的頻譜所占的頻率范圍是< p ，其中信號(hào)的帶寬 wH- wL0 < wL £ w £ wH。3.5 帶限離散時(shí)間信號(hào)例：序列 xn = (0.5)n un其DTFT的形式為z11- 0.5e jwX

19、(e jw ) =幅度譜Ø 由圖可見(jiàn)，該低通離散時(shí)間信號(hào)80%的能量都集中在頻率范圍內(nèi)0 £ w £ 0.5081pØ 因此，定義該信號(hào)的80%帶寬為0.5081p3.6 用計(jì)算DTFT信號(hào)處理工具箱中包含了大量的M文件，有助于進(jìn)行基于DTFT的離散時(shí)間信號(hào)分析。特別的，可用的函數(shù)有freqz、abs、angle 和unwrap。函數(shù)freqz可用于計(jì)算形如上式的有理函數(shù)所描述的某個(gè)序列的傅里葉變換在給定的離散頻率點(diǎn)集 w = wl 上的值。3.6 用計(jì)算DTFT3.6 用l 例3.17 用計(jì)算DTFT計(jì)算傅里葉變換的示例用程序3_1求用有理函數(shù)描述的實(shí)

20、序列的傅里葉變換值。該程序計(jì)算了在給定頻率點(diǎn)上的傅里葉變換值，并畫(huà)出實(shí)部和虛部以及幅度和相位譜。我們考慮如下傅里葉變換3.6 用計(jì)算DTFT3.7 展開(kāi)相位函數(shù)l 在數(shù)值計(jì)算中，當(dāng)計(jì)算出的相位函數(shù)在范圍-p ,p 之外時(shí)，相位按2p 取模計(jì)算，使得計(jì)算出的相位值在這個(gè)范圍內(nèi)。因此，一些序列的相位函數(shù)在圖中會(huì)出現(xiàn)相差 2p 的不連續(xù)。如例3.17中的相位譜， 在w = 0.72 處出現(xiàn)了2p 的不連續(xù)。3.7 展開(kāi)相位函數(shù)l 展開(kāi)相位：通過(guò)移除相差 2p 的不連續(xù)，從原相位函數(shù)中得到w 的連續(xù)函數(shù)的過(guò)程。序列 xn的傅里葉變換 X (e jw )取自然對(duì)數(shù)后可表示為若 ln X (e jw )

21、存在，則它關(guān)于 w 的導(dǎo)數(shù)也存在，即3.7 展開(kāi)相位函數(shù)ln X (e jw ) 關(guān)于w 的導(dǎo)數(shù)也可以表示為則有3.7 展開(kāi)相位函數(shù)相位函數(shù)q (w)可通過(guò)其導(dǎo)數(shù)來(lái)定義其約束條件為展開(kāi)相位函數(shù)展開(kāi)的相位是 w的連續(xù)函數(shù)，且ln X (e jw )存在。，相位函數(shù)是 w 的奇函如果數(shù) 。3.8 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理Ø 離散時(shí)間信號(hào)處理越來(lái)越多地應(yīng)用于處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)（1） 當(dāng)采用離散時(shí)間系統(tǒng)或數(shù)字系統(tǒng)處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)時(shí)，需要模數(shù)和數(shù)模的接口電路來(lái)將連續(xù)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換成離散時(shí)間信號(hào)，或?qū)?shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成連續(xù)時(shí)間信號(hào)；（2） 離散時(shí)間信號(hào)的處理；3.8 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理模數(shù)轉(zhuǎn)換器（A/

22、D Converter）：實(shí)現(xiàn)連續(xù)時(shí)間信號(hào)到數(shù)字形式的轉(zhuǎn)換數(shù)模轉(zhuǎn)換器（D/A Converter）：將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)時(shí)間信號(hào)抽樣和保持電路（Sample-and-hold circuit， S/H）：用于保證A/D轉(zhuǎn)換器輸入端的模擬信號(hào)在轉(zhuǎn)換結(jié)束之前保持振幅恒定重構(gòu)（平滑）濾波器：平滑D/A轉(zhuǎn)換器輸出的階梯狀波形抗混疊濾波器：避免頻譜混疊效應(yīng)¾¾¾¾¾3.8 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理在許多應(yīng)用中離散時(shí)間信號(hào)是通過(guò)對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)抽樣產(chǎn)生的；對(duì)不同連續(xù)時(shí)間信號(hào)的抽樣可能得到同一個(gè)離散時(shí)間序列；通常存在無(wú)限個(gè)不同的連續(xù)時(shí)間信號(hào)可以通過(guò)相同的抽樣率抽

23、樣得到相同的離散時(shí)間信號(hào)；在一定的條件下，可以將一個(gè)給定的離散時(shí)間序列和一個(gè)特點(diǎn)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)起來(lái)，并且可以從其抽樣值恢復(fù)出原連續(xù)時(shí)間信號(hào)；通過(guò)分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)之間的頻譜關(guān)系，就可以建立這種對(duì)應(yīng)關(guān)系。¾¾¾¾3.8 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理l 3.8.1 時(shí)域抽樣在頻域中的影響設(shè) ga (t) 是續(xù)時(shí)間信號(hào)，在T 時(shí)均勻抽樣得到序列 gn ，表示為FT其中T 是抽樣周期，T 的倒數(shù)是抽樣頻率，即= 1FTT3.8 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理ga (t)的頻域表示由CTFT給出gn 的頻域表示由DTFT給出為了建立G ( jW) 和G(ejw

24、) 之間的關(guān)系，將抽樣a運(yùn)算在數(shù)學(xué)上表示為連續(xù)時(shí)間信號(hào)ga (t)和周期沖激串 p(t) 的乘積：3.8 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理其中注意到信號(hào) g p (t)由一串均勻分布的沖激組成，在T 時(shí)刻沖激以 ga (t) 在此時(shí)的抽樣值ga (nT ) 為3.8 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理g p (t) 的頻譜 Gp ( jW)的推導(dǎo)可通過(guò)兩種形式：第一種是通過(guò)CTFT第二種是利用泊松求和方程3.8 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理Ø Gp ( jW) 是頻率W 的周期函數(shù)，是由Ga ( jW) 通過(guò)平移和幅度縮放得到的各頻率分量組成的， 平移量為WT 的整數(shù)倍，幅度以1/ T 尺度縮放。時(shí)，上式等號(hào)右

25、邊的項(xiàng)是 Gp ( jW) 的基當(dāng)k = 0¾帶部分；當(dāng) k ¹ 0 時(shí)，其他項(xiàng)都是 Gp ( jW) 的頻率平移部分。Ø 頻率范圍 -WT特頻帶。/ 2 £ W < WT/ 2 稱(chēng)為基帶或奈奎斯3.8 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理帶限信號(hào) ga (t)的頻譜 Ga ( jW)WT> 2Wmp(t)周期沖激串的頻譜WT< 2Wmp(t)周期沖激串的頻譜3.8 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理Gp ( jW) 頻譜示意圖（無(wú)混疊）Gp ( jW) 頻譜示意圖（有混疊）3.8 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理Ø 若WT³ 2Wm，則將gp (t)

26、通過(guò)一個(gè)增益為T(mén)，截止頻率 Wm£ Wc £ WT - Wm的理想低通濾波器Hr ( jW)，就可以完全恢復(fù)出 ga (t) ；，由于Ga ( jW) 平移各頻譜分量的重若 WT< 2Wm¾疊，引起基帶頻譜失真，因此不可能通過(guò)濾波恢復(fù)原信號(hào)。3.8 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理l 抽樣定理（Nyquits條件） 設(shè)帶限信號(hào)ga (t)的頻譜Ga ( jW) = 0, W > Wm若其中則通過(guò)其樣本 ga (nT )可以唯一地確定 ga (t)。3.8 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理給定 ga (nT )，可以通過(guò)一個(gè)增益為T(mén)且截止頻的理想低通濾波器Hr ( jW)率滿(mǎn)足Wm£ Wc £ WT - Wm來(lái)完全恢復(fù) ga (t)。WTWT> 2Wm< 2Wm= 2Wm過(guò)抽樣：¾欠抽樣：¾臨界抽樣：WT¾3.8 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理3.8 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的數(shù)字處理l 例3.18 不同頻率模擬正弦