多尺度方法在力學(xué)

1、多尺度方法在力學(xué)多尺度方法在力學(xué)中的應(yīng)用中的應(yīng)用 指導(dǎo)老師蘇先樾指導(dǎo)老師蘇先樾 作者楊陶令作者楊陶令背景概述1. 應(yīng)用的領(lǐng)域非常廣泛例如：a.將固體的微觀結(jié)構(gòu)與原子層次的組成分 相結(jié)合來預(yù)測(cè)固體材料的宏觀特性 b.氣象學(xué)中對(duì)大氣環(huán)流的多尺度模擬 c.等等2. 未來發(fā)展不可限量1對(duì)多尺度方法的說明（一）1.多尺度方法之所以能夠適用于如此廣泛地應(yīng)用于各種研究領(lǐng)域，就在于能夠與具體的研究背景相結(jié)合。2.從算法的角度來說，多尺度方法本身沒有固定的算法格式，它所體現(xiàn)的更多的是一種研究的需求和應(yīng)用的思想，在程序上的實(shí)現(xiàn)必須結(jié)合具體的研究模型?？赡軙?huì)應(yīng)用非線性方程組的解法，也有可能是統(tǒng)計(jì)計(jì)算。2對(duì)多尺度方法

2、的說明（二）3.考慮到多尺度方法中算法對(duì)具體研究模型的依賴性，在安排具體問題數(shù)值計(jì)算的過程中，應(yīng)當(dāng)靈活地運(yùn)用具體問題中的合適條件，把計(jì)算過程加以簡化。4.正因?yàn)槎喑叨确椒ㄗ陨淼奶厥庑?，所以我們要介紹的是，如何結(jié)合具體的研究模型的需要，來運(yùn)用多尺度的方法。3多尺度的力學(xué)分析方法在多尺度的力學(xué)分析方法中，比較典型的 算法有： 1.宏觀細(xì)觀平均化計(jì)算方法 2.材料強(qiáng)度的統(tǒng)計(jì)計(jì)算方法4典型的宏觀細(xì)觀平均化算法的內(nèi)容 利用材料的細(xì)觀周期性的胞元模型和 強(qiáng)調(diào)宏觀與細(xì)觀之間相連接的廣義自 洽模型相結(jié)合來進(jìn)行計(jì)算 ： 1.胞元模型； 2.廣義自洽方法。5胞元模型 胞元是材料的一個(gè)基本結(jié)構(gòu)，它嵌含材料 的細(xì)觀幾

3、何的要素；就復(fù)合材料來說，胞元應(yīng)包含顆粒形狀、 體積百分?jǐn)?shù)、顆粒分布幾何、基本結(jié)構(gòu)、 界面狀況等相關(guān)要素的信息。 6廣義自洽方法考慮宏觀和細(xì)觀的交互作用,具體來 說，就是在平均化的小尺度的胞元 與大尺度的宏觀等效介質(zhì)之間建立 連接。 7有關(guān)尺度的補(bǔ)充說明實(shí)際操作中，常把宏觀細(xì)觀平均化計(jì)算 方法在多尺度思想上作進(jìn)一步的推廣，即 往往并不要求胞元達(dá)到細(xì)觀尺度，而是相 對(duì)于宏觀大尺度來說，胞元尺寸構(gòu)成相對(duì) 較小的尺度。兩者在尺度上已經(jīng)形成了很 大幅度的跳躍。8在不同尺度之間的連接1.分別考慮較小尺度的胞元內(nèi)的物理量 和胞元周圍較大尺度的等效均勻介質(zhì) 中的物理量；2.通過一定條件將平均化的小尺度的胞

4、元與大尺度的宏觀等效均勻介質(zhì)進(jìn)行 自洽連接。 9算例復(fù)合材料等效模量計(jì)算中常用的復(fù)合 圓柱模型圖示（見下頁）10復(fù)合圓柱模型的坐標(biāo)圖123圖圖.復(fù)合圓柱模型（坐標(biāo)圖）復(fù)合圓柱模型（坐標(biāo)圖）11復(fù)合圓柱模型的橫截面圖宏觀等效均勻介質(zhì)宏觀等效均勻介質(zhì)胞元基體胞元基體胞元內(nèi)的纖維束胞元內(nèi)的纖維束圖圖.復(fù)合圓柱模型（橫截面圖）復(fù)合圓柱模型（橫截面圖）2b2a12胞元所包含的信息基體相和增強(qiáng)相即纖維各自的K氏常數(shù) 和 、剪切模量 和 、泊松比 和 以及它們各自的體積分?jǐn)?shù) Vm 和 Vf 。需要注意，胞元本身可能并沒有達(dá)到細(xì)觀尺 度，但是胞元的尺寸與周圍的宏觀等效均勻 介質(zhì)相比起來，在尺度上已經(jīng)有很大的跳

5、躍。 mfmfmf13問題需要計(jì)算的是該復(fù)合材料的有效材料 常數(shù)。這里以23平面內(nèi)的有效剪切 模量為例：?2314在宏觀等效均勻介質(zhì)中的物理場 在無限遠(yuǎn)場的剪切變形條件下，利用圓柱坐標(biāo)系求解的位移場是：2sin) 1(242cos) 1(24333323333323crbarbbrbucrbarbbrbuere15在胞元基體相中的物理場2sin) 1()3(42cos) 1()3(42332223323332233brbcrbdbrabrbubrbcrbdbrabrbummmmmmmrm16在胞元增強(qiáng)相即纖維中的物理場2sin)3(42cos)3(411331133dbrabrbudbrabr

6、bufffffrf其中ffmm4343432317連接小尺度的胞元和大尺度的宏觀等效均勻介質(zhì)的條件 1. 這一條件在不同的問題中可能不盡相同；2. 在我們以上考慮的這個(gè)問題中，這一條 件就是應(yīng)力和位移的連續(xù)性條件，即 在界面上連續(xù)。uurr,18計(jì)算1.通過以上的分析，得到六個(gè)線性方程和兩個(gè)復(fù)雜 的非線性方程。但問題中引進(jìn)了以下九個(gè)未知量： 。2.結(jié)合具體問題，利用能量原理給出第三個(gè)非線性 方程，這樣就得到了由九個(gè)未知量構(gòu)成的九個(gè)方 程。3.不要立刻求解這一看起來似乎非常復(fù)雜的方程組， 由于九個(gè)未知量中只有 是我們關(guān)心的，所以 先考慮方程組是否可以做一定的簡化，以減少計(jì) 算量。原問題最后可以化為關(guān)于 的一個(gè)非線 性方程。2321322321,ddccbaaa232319宏觀細(xì)觀平均化算法的流程圖 細(xì)觀（或相對(duì)較小細(xì)觀（或相對(duì)較小尺度下）周期性的尺度下）周期性的胞元模型胞元模型宏觀（或較大尺度宏觀（或較大尺度下）的力學(xué)模型下）的力學(xué)模型連接宏觀尺度與細(xì)連接宏觀尺度與細(xì)觀尺度（或相對(duì)較觀尺度（或相對(duì)較小尺度）的廣義自小尺度）的廣義自洽模型洽模型將具體的力學(xué)問題將具體的力學(xué)問題數(shù)學(xué)化，給出程序數(shù)學(xué)化，給出程序并計(jì)算并計(jì)算圖圖. 宏觀細(xì)觀平均化算法的流程圖宏觀細(xì)觀平均化算法的流程圖20第一部分結(jié)束語需要強(qiáng)調(diào)的