微分幾何練習(xí)題庫(kù)及參考答案(已修改)

1、微分幾何復(fù)習(xí)題與參考答案一、填空題1極限2設(shè)，求 0 3已知 ，則.4已知（為常向量），則5已知，（為常向量），則 6. 最“貼近”空間曲線(xiàn)的直線(xiàn)和平面分別是該曲線(xiàn)的_ 切線(xiàn)_和 密切平面_.7. 曲率恒等于零的曲線(xiàn)是_ 直線(xiàn)_ .8. 撓率恒等于零的曲線(xiàn)是_ 平面曲線(xiàn)_ .9. 切線(xiàn)（副法線(xiàn)）和固定方向成固定角的曲線(xiàn)稱(chēng)為 一般螺線(xiàn) .10. 曲線(xiàn)在t = 2處有，則曲線(xiàn)在t = 2處的曲率k = 3 .11. 若在點(diǎn)處則為曲面的_ 正常_點(diǎn). 12 已知，則13曲線(xiàn)在任意點(diǎn)的切向量為14曲線(xiàn)在點(diǎn)的切向量為15曲線(xiàn)在點(diǎn)的切向量為16設(shè)曲線(xiàn)，當(dāng)時(shí)的切線(xiàn)方程為17設(shè)曲線(xiàn)，當(dāng)時(shí)的切線(xiàn)方程為.18.

2、曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是曲率線(xiàn)網(wǎng)的充要條件是_F=M=0_ _.19. u曲線(xiàn)（v曲線(xiàn)）的正交軌線(xiàn)的微分方程是 _ Edu+Fdv0（Fdu+Gdv0）_.20. 在歐拉公式中，是 方向(d) 與u曲線(xiàn) 的夾角.21. 曲面的三個(gè)基本形式、高斯曲率、平均曲率之間的關(guān)系是 .22已知，其中，則23已知，其中，則24設(shè)為曲面的參數(shù)表示，如果，則稱(chēng)參數(shù)曲面是正則的；如果 是 一一對(duì)應(yīng)的 ，則稱(chēng)曲面是簡(jiǎn)單曲面25如果曲線(xiàn)族和曲線(xiàn)族處處不相切，則稱(chēng)相應(yīng)的坐標(biāo)網(wǎng)為 正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng) 26平面的第一基本形式為，面積微元為27懸鏈面第一基本量是28曲面上坐標(biāo)曲線(xiàn)，的交角的余弦值是.29正螺面的第一基本形式是30雙曲拋物面

3、的第一基本形式是31正螺面的平均曲率為 0 32方向是漸近方向的充要條件是33. 方向和共軛的充要條件是34.是主曲率的充要條件是35.是主方向的充要條件是36. 根據(jù)羅德里格斯定理，如果方向是主方向，則37旋轉(zhuǎn)曲面中的極小曲面是平面 或懸鏈面38測(cè)地曲率的幾何意義是曲面S上的曲線(xiàn)在P點(diǎn)的測(cè)地曲率的絕對(duì)值等于(C)在P點(diǎn)的切平面P上的正投影曲線(xiàn)(C*)的曲率39之間的關(guān)系是40如果曲面上存在直線(xiàn)，則此直線(xiàn)的測(cè)地曲率為 0 41正交網(wǎng)時(shí)測(cè)地線(xiàn)的方程為42曲線(xiàn)是曲面的測(cè)地線(xiàn)，曲線(xiàn)(C)上任一點(diǎn)在其切平面的正投影曲線(xiàn)是 直線(xiàn) .二、單項(xiàng)選擇題1已知，則為（ A ）A. ； B. ； C. ； D.

4、.2已知，為常數(shù)，則為（ C ）A. ； B. ； C. ； D. .其中為常向量3. 曲線(xiàn)(C)是一般螺線(xiàn)，以下命題不正確的是（ D ）A切線(xiàn)與固定方向成固定角； B副法線(xiàn)與固定方向成固定角；C主法線(xiàn)與固定方向垂直； D副法線(xiàn)與固定方向垂直4. 曲面在每一點(diǎn)處的主方向（ A ）A至少有兩個(gè)； B只有一個(gè)； C只有兩個(gè)； D可能沒(méi)有.5球面上的大圓不可能是球面上的（ D ）A測(cè)地線(xiàn)； B曲率線(xiàn)； C法截線(xiàn)； D漸近線(xiàn).6. 已知，求為（ D ）A. ； B. ； C. ； D. .7圓柱螺線(xiàn)的切線(xiàn)與軸（ C ）. A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夾角； D. 有固定夾角.8設(shè)平面曲線(xiàn)，

5、s為自然參數(shù)，是曲線(xiàn)的基本向量敘述錯(cuò)誤的是（ C ）A. 為單位向量； B. ； C. ； D. .9直線(xiàn)的曲率為（ B ）A. -1； B. 0； C. 1； D. 2.10關(guān)于平面曲線(xiàn)的曲率不正確的是（ D ）A. ； B. ，為的旋轉(zhuǎn)角； C. ； D. .11對(duì)于曲線(xiàn)，“曲率恒等于0”是“曲線(xiàn)是直線(xiàn)”的（ D ）A. 充分不必要條件； B. 必要不充分條件； C. 既不充分也不必要條件； D. 充要條件.12下列論述不正確的是（ D ）A. 均為單位向量； B. ； C. ； D. .13對(duì)于空間曲線(xiàn)，“撓率為零”是“曲線(xiàn)是直線(xiàn)”的（B ）A. 充分不必要條件；B.必要不充分條件；C.

6、 既不充分也不必要條件；D.充要條件.14在點(diǎn)的切線(xiàn)與軸關(guān)系為（ D ）A. 垂直；B. 平行； C. 成的角；D. 成的角.15橢球面的參數(shù)表示為（ C ）A. ； B. ；C. ；D. .16曲面在點(diǎn)的切平面方程為（ B ）A. ； B. ；C. ； D. .17球面的第一基本形式為（ D ）A. ； B. ；C. ； D. .18正圓柱面的第一基本形式為（ C ）A. ； B. ； C ； D. .19在第一基本形式為的曲面上，方程為的曲線(xiàn)段的弧長(zhǎng)為（ B ）A ； B ；C ； D 20設(shè)為正則曲面，則的參數(shù)曲線(xiàn)網(wǎng)為正交曲線(xiàn)網(wǎng)的充要條件是（ B ） A ； B ； C ； D 21高斯

7、曲率為零的的曲面稱(chēng)為（ A ）A極小曲面； B球面； C常高斯曲率曲面； D平面 22曲面上直線(xiàn)（如果存在）的測(cè)地曲率等于（ A ） A ； B ； C； D 323當(dāng)參數(shù)曲線(xiàn)構(gòu)成正交網(wǎng)時(shí)，參數(shù)曲線(xiàn)u-曲線(xiàn)的測(cè)地曲率為（ B ） A ； B ； C ； D 24如果測(cè)地線(xiàn)同時(shí)為漸近線(xiàn)，則它必為（ A ） A 直線(xiàn)； B 平面曲線(xiàn)； C 拋物線(xiàn)； D 圓柱螺線(xiàn)三、判斷題（正確打，錯(cuò)誤打）1. 向量函數(shù)具有固定長(zhǎng)度，則. 2. 向量函數(shù)具有固定方向，則. 3. 向量函數(shù)關(guān)于t的旋轉(zhuǎn)速度等于其微商的模. 4. 曲線(xiàn)的曲率、撓率都為常數(shù)，則曲線(xiàn)是圓柱螺線(xiàn). 5. 若曲線(xiàn)的曲率、撓率都為非零常數(shù)，則曲線(xiàn)

8、是圓柱螺線(xiàn). 6. 圓柱面線(xiàn)是漸近線(xiàn). 7. 兩個(gè)曲面間的變換等距的充要條件是它們的第一基本形式成比例. 8. 兩個(gè)曲面間的變換等角的充要條件是它們的第一基本形式成比例. 9. 等距變換一定是保角變換. 10. 保角變換一定是等距變換. 11. 空間曲線(xiàn)的位置和形狀由曲率與撓率唯一確定. 12. 在光滑曲線(xiàn)的正常點(diǎn)處，切線(xiàn)存在但不唯一 13. 若曲線(xiàn)的所有切線(xiàn)都經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則該曲線(xiàn)一定是直線(xiàn) 14. 在曲面的非臍點(diǎn)處，有且僅有兩個(gè)主方向 15. 高斯曲率與第二基本形式有關(guān)，不是內(nèi)蘊(yùn)量 16. 曲面上的直線(xiàn)一定是測(cè)地線(xiàn) 17. 微分方程表示曲面上曲線(xiàn)族. 18. 二階微分方程總表示曲面上兩族曲線(xiàn).

9、 19. 坐標(biāo)曲線(xiàn)網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是，這里是第一基本量. 20. 高斯曲率恒為零的曲面必是可展曲面. 21. 連接曲面上兩點(diǎn)的所有曲線(xiàn)段中，測(cè)地線(xiàn)一定是最短的. 22. 球面上的圓一定是測(cè)地線(xiàn). 23. 球面上經(jīng)線(xiàn)一定是測(cè)地線(xiàn). 24. 測(cè)地曲率是曲面的內(nèi)蘊(yùn)量. 四、計(jì)算題1求旋輪線(xiàn)的一段的弧長(zhǎng)解 旋輪線(xiàn)的切向量為，則在一段的弧長(zhǎng)為： 2求曲線(xiàn)在原點(diǎn)的切向量、主法向量、副法向量解 由題意知 ， ，在原點(diǎn)，有 ，又 ，所以有.3圓柱螺線(xiàn)為，求基本向量； 求曲率k和撓率.解 ，又由公式由一般參數(shù)的曲率公式及撓率公式有，.4求正螺面的切平面和法線(xiàn)方程解 ，切平面方程為，法線(xiàn)方程為5求球面上任一點(diǎn)

10、處的切平面與法線(xiàn)方程 解 ， ， 球面上任意點(diǎn)的切平面方程為即，法線(xiàn)方程為即6求圓柱螺線(xiàn)在點(diǎn)處的密切平面.解 所以曲線(xiàn)在原點(diǎn)的密切平面的方程為 即.7求旋轉(zhuǎn)拋物面的第一基本形式解 參數(shù)表示為，8求正螺面的第一基本形式解 ，9計(jì)算正螺面的第一、第二基本量解 ，10計(jì)算拋物面的高斯曲率和平均曲率解 設(shè)拋物面的參數(shù)表示為，則， ， ， ， ，11. 計(jì)算正螺面的高斯曲率.解 直接計(jì)算知，12. 求曲面的漸近線(xiàn).解 ，則， 所以，L=0， ，漸近線(xiàn)微分方程為，化簡(jiǎn)得， 漸近線(xiàn)為y=C1，x2y=C2 13. 求螺旋面上的曲率線(xiàn).解 ， 曲率線(xiàn)的微分方程為: 或積分得兩族曲率線(xiàn)方程:14. 求馬鞍面在原

11、點(diǎn)處沿任意方向的法曲率.解 ， ， ， .15. 求拋物面在(0,0)點(diǎn)的主曲率.解 曲面方程即 ，代入主曲率公式，所以?xún)芍髑史謩e為 . 16. 求曲面在點(diǎn)(1,1)的主方向. 解 代入主方向方程，得,即在點(diǎn)(1,1)主方向.17. 求曲面上的橢圓點(diǎn)，雙曲點(diǎn)和拋物點(diǎn)解 由 得 v0時(shí)，是橢圓點(diǎn)；v0時(shí)，是雙曲點(diǎn)；v=0時(shí)，是拋物點(diǎn).18. 求曲面上的拋物點(diǎn)的軌跡方程解 由 得 令 得u=0 或v=0 所以?huà)佄稂c(diǎn)的軌跡方程為 或.19.求圓柱螺線(xiàn)自然參數(shù)表示.解 由得 弧長(zhǎng) 曲線(xiàn)的自然參數(shù)表示為 20. 求撓曲線(xiàn)的主法線(xiàn)曲面的腰曲線(xiàn).解 設(shè)撓曲線(xiàn)為則主法線(xiàn)曲面為：則所以腰曲線(xiàn)是 21求位于正螺

12、面上的圓柱螺線(xiàn)（=常數(shù)）的測(cè)地曲率解 因?yàn)檎菝娴牡谝换拘问綖?，螺旋線(xiàn)是正螺面的v-曲線(xiàn)，由得由正交網(wǎng)的坐標(biāo)曲線(xiàn)的測(cè)地曲率得五、證明題1. 設(shè)曲線(xiàn)：證明：證明 由伏雷內(nèi)公式，得 兩式作點(diǎn)積，得 2. 設(shè)曲線(xiàn)： 證明：證明 由伏雷內(nèi)公式，得 3. 曲線(xiàn)G:是一般螺線(xiàn)，證明也是一般螺線(xiàn)（R是曲線(xiàn)G的曲率半徑）證明 兩邊關(guān)于s微商，得由于是一般螺線(xiàn)，所以也是一般螺線(xiàn). 4. 證明曲線(xiàn)是常數(shù)）是一般螺線(xiàn)證明 . 5曲面S上一條曲線(xiàn)(C), P是曲線(xiàn)(C)上的正常點(diǎn)，分別是曲線(xiàn)(C)在點(diǎn)P的曲率、法曲率與測(cè)地曲率，證明證明 測(cè)地曲率 (是主法向量與法向量的夾角) 法曲率6. 證明曲線(xiàn)的切向量與曲線(xiàn)的位

13、置向量成定角證明 對(duì)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，曲線(xiàn)的位置向量為，該點(diǎn)切線(xiàn)的切向量為：，則有：，故夾角為.由所取點(diǎn)的任意性可知，該曲線(xiàn)與曲線(xiàn)的切向量成定角7證明：若和對(duì)一切線(xiàn)性相關(guān)，則曲線(xiàn)是直線(xiàn)證明 若和對(duì)一切線(xiàn)性相關(guān)，則存在不同時(shí)為0的使，則 又，故有.于是該曲線(xiàn)是直線(xiàn)8 證明圓柱螺線(xiàn)的主法線(xiàn)和z軸垂直相交證明 由題意有 ，由知.另一方面軸的方向向量為，而，故，即主法線(xiàn)與軸垂直9證明曲線(xiàn)的所有法平面皆通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)證明 由題意可得，則任意點(diǎn)的法平面為將點(diǎn)（0,0,0）代入上述方程有左邊右邊，故結(jié)論成立10證明曲線(xiàn)為平面曲線(xiàn)，并求出它所在的平面方程. 證明 ，所以曲線(xiàn)是平面曲線(xiàn). 它所在的平面就是密切平面，

14、 密切平面方程為， 化簡(jiǎn)得其所在的平面方程是2x+3y+19z270.11. 證明如果曲線(xiàn)的所有切線(xiàn)都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，那么它是直線(xiàn). 證明 設(shè)曲線(xiàn)方程，定點(diǎn)的向徑為，則兩邊求微商，得 由于線(xiàn)性無(wú)關(guān)， k0曲線(xiàn)是直線(xiàn). 12. 證明如果曲線(xiàn)的所有密切平面都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，那么它是平面曲線(xiàn). 證明 取定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線(xiàn)的方程為 ， 則曲面在任一點(diǎn)的密切平面方程為 因任一點(diǎn)的密切平面過(guò)定點(diǎn)，所以 , 即 所以 平行于固定平面， 所以 是平面曲線(xiàn). 13. 若一條曲線(xiàn)的所有法平面包含非零常向量，證明曲線(xiàn)是直線(xiàn)或平面曲線(xiàn). 證明 根據(jù)已知條件，得， 兩邊求導(dǎo)，得 ，由伏雷內(nèi)公式得 ，)，則曲線(xiàn)是直線(xiàn)；)

15、又有可知 因是常向量，所以是常向量，于是 所以 ，所以曲線(xiàn)為平面曲線(xiàn). 14. 設(shè)在兩條撓曲線(xiàn)的點(diǎn)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使它們?cè)趯?duì)應(yīng)的點(diǎn)的副法線(xiàn)互相平行，證明它們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的切線(xiàn)和主法線(xiàn)也分別平行.證明 , 由伏雷內(nèi)公式得 進(jìn)而 15. 證明撓曲線(xiàn)（）的主法線(xiàn)曲面是不可展曲面.證明 設(shè)撓曲線(xiàn)為，則撓率，其主法線(xiàn)曲面的方程是： 取，則所以, 所以撓曲線(xiàn)的主法線(xiàn)曲面不是可展曲面. 16. 證明撓曲線(xiàn)（）的副法線(xiàn)曲面是不可展曲面.證明 設(shè)撓曲線(xiàn)為，則撓率， 其副法線(xiàn)曲面的方程是： 取，則所以, ，所以撓曲線(xiàn)的副法線(xiàn)曲面不是可展曲面. 17. 證明每一條曲線(xiàn)在它的主法線(xiàn)曲面上是漸近線(xiàn).證明 設(shè)曲線(xiàn)則曲

16、線(xiàn)的主法線(xiàn)曲面為 沿曲線(xiàn)（v0）所以主法向量與曲面的法向量夾角所以曲線(xiàn)是它的主法線(xiàn)曲面上的漸近線(xiàn). 18. 證明二次錐面沿每一條直母線(xiàn)只有一個(gè)切平面.證明 為直紋面 , 所以，曲面可展，即沿每一條直母線(xiàn)只有一個(gè)切平面. 也可以用高斯曲率K=0證明. 19. 給出曲面上一條曲率線(xiàn)，設(shè)上每一處的副法向量和曲面在該點(diǎn)處的法向量成定角，求證是一平面曲線(xiàn).證明設(shè)副法向量和曲面在該點(diǎn)處的法向量成定角，則兩邊求微商，得由于曲線(xiàn)是曲率線(xiàn)，所以，進(jìn)而，由伏雷內(nèi)公式得時(shí)，是一平面曲線(xiàn) ，即，又因?yàn)槭乔示€(xiàn)，所以即是常向量，所以是平面曲線(xiàn). 20求證正螺面上的坐標(biāo)曲線(xiàn)（即曲線(xiàn)族曲線(xiàn)族）互相垂直證明 設(shè)正螺面的參數(shù)表

17、示是，則 ，故正螺面上的坐標(biāo)曲線(xiàn)互相垂直21. 證明在曲面上的給定點(diǎn)處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證明 由歐拉公式所以常數(shù). 22. 如果曲面上非直線(xiàn)的測(cè)地線(xiàn)均為平面曲線(xiàn)，則必是曲率線(xiàn).證明 因?yàn)榍€(xiàn)是非直線(xiàn)的測(cè)地線(xiàn)，所以沿此曲線(xiàn)有從而又因?yàn)榍€(xiàn)是平面曲線(xiàn)，所以進(jìn)一步.由羅德里格斯定理可知曲線(xiàn)的切線(xiàn)方向?yàn)橹鞣较?，故所給曲線(xiàn)為曲率線(xiàn). 23. 證明在曲面上曲線(xiàn)族x=常數(shù)，y =常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng).證明 曲面的向量表示為 x=常數(shù),y=常數(shù)是兩族坐標(biāo)曲線(xiàn). ,.因?yàn)?所以坐標(biāo)曲線(xiàn)構(gòu)成共軛網(wǎng)，即曲線(xiàn)族 x=常數(shù), y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng). 24證明馬鞍面上所有點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)證明 參數(shù)表示為，則， ，故馬鞍面上所有點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)25如果曲面上某點(diǎn)的第一與第二基本形式成比例，即與方向無(wú)關(guān)，則稱(chēng)該點(diǎn)是曲面的臍點(diǎn)；如果曲面上所有點(diǎn)都是臍點(diǎn)，則稱(chēng)曲面是全臍的試證球面是全臍的證明 設(shè)球面的參數(shù)表示為，則，故球面是全臍的26證明平面是全臍的證明 設(shè)平面的參數(shù)表示為，則，故平面是全臍的27證明曲面的所有點(diǎn)為拋物點(diǎn)證明 曲面的參數(shù)表示為，則， ， ， ， ， ， 曲面的所有點(diǎn)為拋物點(diǎn)28求證正螺面是極小曲面證明 ，故正螺面是極小曲面29. 圓柱面上的緯線(xiàn)是測(cè)地線(xiàn)證明 由