高等數(shù)學(xué)中值定理定義

1、第三章中值定理中值定理應(yīng)用應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理推廣推廣微分中值定理 與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理第一節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 極值的定義:設(shè)函數(shù) 在 的某鄰域內(nèi)有定義,若對(duì)該鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn) ,恒有則稱 在點(diǎn) 處取得極大值(或極小值),而 稱為函數(shù) 的極大值點(diǎn)(或極小值點(diǎn)).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn).( )f x( )f x( )f x0 x

2、0 x0 x0()x xx00( )()( )()f xf xf xf x或極值的必要條件( )f x0 x定理:如果 在點(diǎn) 處可導(dǎo),且在 處取得極值,則0 x0()0fx注1.在極值點(diǎn)處并非都有 .注2.使 的點(diǎn)也并非都是極值點(diǎn)，我們把的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).注3.若在極值點(diǎn)處存在切線，則該切線是水平切線.0()0fx0()0fx0()0fx一一 羅爾（羅爾（ Rolle ）定理）定理)(xfy 滿足:(1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(fxyoab)(xfy 證證:，上連續(xù)在因,)(baxf故在 a , b

3、上取得最大值 M 和最小值 m .在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 又因?yàn)?f ( a ) = f ( b )，所以最大值與最小值必定至少有一個(gè)在區(qū)間內(nèi)部，而這一個(gè)就是我們要找的一個(gè)極值點(diǎn).若 M m , 則 M 和 m 中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè) , )(afM 則至少存在一點(diǎn), ),(ba使,)(Mf. 0)(f注意注意:1) 定理?xiàng)l件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 例如,1,010,)(xxxxfx1yo則該點(diǎn)為極值點(diǎn), 所以 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 使2) 定理?xiàng)l件只是充

4、分的. 本定理可推廣為)(xfy 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn),. 0)(f證明提示證明提示: 設(shè)證 F(x) 在 a , b 上滿足羅爾定理 . )(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 證明方程0155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且僅有一個(gè)小于1 的正實(shí)根 . 證證: 1) 存在性 .則)(xf在 0 , 1 連續(xù) , 且由介值

5、定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假設(shè)另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件 ,之間在10, xx至少存在一點(diǎn),. 0)(f使但矛盾, 故假設(shè)不真!設(shè)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù))(xfy 滿足:(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn), ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思維逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,)(x在 a , b 上連續(xù)

6、 , 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且證證: 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證)(x)(xfxabafbf)()()(a由羅爾定理知至少存在一點(diǎn), ),(ba,0)(使即定理結(jié)論成立 ., )(babbfaafb)()(拉氏 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0)()()(abafbff證畢拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論推論: 若函數(shù)在區(qū)間 I 上滿足,0)( xf則)(xf在 I 上必為常數(shù).)(xf證證: 在 I 上任取兩點(diǎn), )(,2121xxxx上用拉在,21xx日中值公式 , 得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上為常數(shù)

7、 .) 10()(0 xxxfy,00 xxbxa令則機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 證明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx證證: 設(shè),arccosarcsin)(xxxf上則在) 1, 1()(xf由推論可知Cxxxfarccosarcsin)( (常數(shù)) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所證等式在定義域 上成立. 1, 1自證自證:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn): 欲證Ix時(shí),)(0Cxf只需證在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (P111例3.1.3)例

8、例3. 證明不等式證證: 設(shè), )1ln()(ttf上滿足拉格朗日在則,0)(xtf中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣? )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此應(yīng)有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (P111例3.1.4)三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)(2) 在開(kāi)區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)(3)在開(kāi)區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn), ),(ba使.)()()()()()(Ff

9、aFbFafbf滿足 :)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0要證)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx柯西 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證證: 作輔助函數(shù))()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則babax且, ),(ba使, 0)(即由羅爾定理知, 至少存在一點(diǎn).)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述證法對(duì)嗎 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF兩個(gè) 不一定相同錯(cuò)錯(cuò)! !機(jī)動(dòng) 目

10、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 上面兩式相比即得結(jié)論. 柯西定理的幾何意義柯西定理的幾何意義:)()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:xyo弦的斜率切線斜率機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )0() 1 (ff)0() 1 (FF例例3.1.5設(shè)).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xxF,) 1 ,0(, 1 ,0)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在xf至少存在一點(diǎn)),1,0(使證證: 結(jié)論可變形為設(shè)則)(, )(xFxf在 0, 1 上滿足柯西中值定理?xiàng)l件, 因此在

11、( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使)(f )(F012即)0() 1 (2)(fff證明機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 設(shè)思考思考: 例4結(jié)論是否可用羅爾定理證明?2( )( ) (1)(0)xf xffx易證 (x) 在 0 , 1 上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件,(0,1) ,使因此存在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ).0() 1 (2)(fff,) 1 ,0(, 1 ,0)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在xf至少存在一點(diǎn)),1,0(使證明分析分析: 把求證的結(jié)論移項(xiàng), 設(shè)輔助函數(shù): ( )( )2 (1)(0)0fff 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉

12、格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的應(yīng)用(1) 證明恒等式(2) 證明不等式(3) 證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論關(guān)鍵關(guān)鍵: 利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)費(fèi)馬引理機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4412 3412思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 填空題填空題1) 函數(shù)4)(xxf在區(qū)間 1, 2 上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件, 則中值._2) 設(shè)有個(gè)根 , 它們分別在區(qū)間341530)( xf)4, 3(, )2, 1 (, )3,2(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程(P45 題14)2. 設(shè),0)(

13、Cxf且在),0(內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn), ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由結(jié)論可知, 只需證0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf驗(yàn)證)(xF在,0上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)xxfxFsin)()(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (P56 例5)3. 若)(xf可導(dǎo), 試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有)()(xfxf的零點(diǎn). 提示提示: 設(shè),0)()(2121xxxfxf欲證:, ),(21xx使0)()(ff只要證0)()(ffee亦即0 )(xxxfe作輔助函數(shù), )()(xfexFx驗(yàn)證)(xF在,21xx上滿足羅爾定理?xiàng)l件.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4.

14、設(shè)求證存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使 1 , 0可導(dǎo)，且,0) 1 (f在連續(xù)，) 1 ,0()(xf證證：)()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在顯然)(x在 上滿足羅爾定理?xiàng)l件, 1 , 0)(即0)()(ffn設(shè)輔助函數(shù)使得)()(1ffnnn0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (P44 題8)0)0(,0)( fxf設(shè) 證明對(duì)任意0, 021xx有)()()(2121xfxfxxf證證：210 xx )()()(1221xfxfxxf12)(xf0)(121 fx)()()(2121xfxfxxf,(2122xxx5.不妨設(shè) )0()()()(1221fxfxf

15、xxf)(21)011x11)(xf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P114 5, 7（1），（3）第二節(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 費(fèi)馬 費(fèi)馬費(fèi)馬(1601 1665)法國(guó)數(shù)學(xué)家, 他是一位律師, 數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛(ài)好. 他興趣廣泛, 博覽群書并善于思考, 在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn). 他特別愛(ài)好數(shù)論, 他提出的費(fèi)馬大定理:,2無(wú)整數(shù)解方程時(shí)當(dāng)nnnzyxn歷經(jīng)358年, 直到1993年才由美國(guó)普林斯頓大學(xué)的安德魯.懷爾斯教授經(jīng)過(guò)十年的潛心研究才得到解決 .引理是后人從他研究解決最值的方法中提煉出來(lái)的.拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在方程論, 解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn), 近百余年來(lái),