圓冪定理——老師用

1、精品文檔切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關(guān)的比例線段學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 切線長(zhǎng)概念切線長(zhǎng)是在經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度，“ 切線長(zhǎng)”是切線上一條線段的長(zhǎng)，具有數(shù)量的特征，而 “切線 ” 是一條直線，它不可以度量長(zhǎng)度。2. 切線長(zhǎng)定理對(duì)于切線長(zhǎng)定理，應(yīng)明確（ 1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長(zhǎng)相等； （ 2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線為直徑； （3）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)可得到一個(gè)等腰三角形； （ 4）經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線的夾角與過(guò)切點(diǎn)的兩個(gè)半徑的夾角互補(bǔ)； （ 5）圓外一點(diǎn)與圓心的連線，平分過(guò)這點(diǎn)向圓引的

2、兩條切線所夾的角。3. 弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。直線 AB切O于 P，PC、PD為弦，圖中幾個(gè)弦切角呢？（四個(gè)）4. 弦切角定理： 弦切角等于其所夾的弧所對(duì)的圓周角。1歡迎下載精品文檔5. 弄清和圓有關(guān)的角： 圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。6. 遇到圓的切線，可聯(lián)想 “ 角”弦切角， “ 線”切線的性質(zhì)定理及切線長(zhǎng)定理。7. 與圓有關(guān)的比例線段定理圖形已知結(jié)論證法相 交 弦 O中， AB、 CD為弦， PA·PB連結(jié) AC、BD，證：定理交于 P.PC·PD. APC DPB.相 交 弦2用相交弦定理 . O 中， AB 為直徑， P

3、CPA·PB.定 理 的CDAB于 P.推論切 割 線 O中，PT切 O于 T，PT2PA·PB連結(jié)TA、 TB，證：定理割線 PB交O于 A PTB PAT切 割 線PB、PD為 O的兩條割 PA·PB PC·PD 過(guò) P 作 PT切 O于 T，定 理 推線，交 O于 A、C用兩次切割線定理論圓 冪 定 O中，割線 PB交OP'C· P'D r 2 延長(zhǎng) P'O 交O于 M，理于 A，CD為弦OP'2延長(zhǎng) OP'交O于 N，22用相交弦定理證； 過(guò) PPA·PB OPrr 為 O的半徑作切線用

4、切割線定理勾股定理證8. 圓冪定理： 過(guò)一定點(diǎn) P 向 O作任一直線，交 O 于兩點(diǎn)，則自定點(diǎn)P 到兩交點(diǎn)的。2歡迎下載精品文檔兩條線段之積為常數(shù) |（ R為圓半徑），因?yàn)榻凶鳇c(diǎn)對(duì)于 O 的冪，所以將上述定理統(tǒng)稱為圓冪定理?！镜湫屠}】例 1. 如圖 1，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 1，以 BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓 O，過(guò) A 作半圓切線，切點(diǎn)為 F，交 CD于 E，求 DE：AE的值。3歡迎下載精品文檔圖1解：由切線長(zhǎng)定理知： AF AB1，EF CE設(shè) CE為 x，在 Rt ADE中，由勾股定理。4歡迎下載精品文檔，例 2. O中的兩條弦 AB與 CD相交于 E，若 AE6cm， BE2

5、cm， CD7cm，那么 CE。5歡迎下載精品文檔_cm。圖2解：由相交弦定理，得AE·BE CE·DEAE 6cm，BE 2cm，CD7cm，。6歡迎下載精品文檔，即CE 3cm或 CE4cm。故應(yīng)填 3或 4。點(diǎn)撥： 相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。例3.已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則。7歡迎下載精品文檔_。解： PPPAC B， PAC PBA，。8歡迎下載精品文檔。又PA是圓的切線， PCB是圓的割線，由切割線定理，得，。9歡迎下載精品文檔即，故應(yīng)填 PC。點(diǎn)撥： 利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。例 4. 如圖 3， P

6、 是O外一點(diǎn)， PC切 O于點(diǎn) C，PAB是O的割線，交 O于 A、B 兩點(diǎn)，如果 PA：PB1：4，PC12cm， O 的半徑為 10cm，則圓心 O 到 AB 的距離是_cm。圖3解： PC是 O的切線， PAB是O的割線，且 PA： PB1：4 PB 4PA又PC12cm。10歡迎下載精品文檔由切割線定理，得，。11歡迎下載精品文檔PB 4× 6 24（cm）AB 24618（cm）設(shè)圓心 O到 AB距離為 d cm，由勾股定理，得。12歡迎下載精品文檔故應(yīng)填。例 5. 如圖 4，AB為O的直徑，過(guò) B 點(diǎn)作 O的切線 BC，OC交O 于點(diǎn) E， AE的延長(zhǎng)線交 BC 于點(diǎn) D

7、，（1）求證：；（ 2）若 ABBC2厘米，求 CE、CD的長(zhǎng)。13歡迎下載精品文檔圖4點(diǎn)悟： 要證，即要證 CED CBE。證明：（1）連結(jié) BE。14歡迎下載精品文檔（2）。15歡迎下載精品文檔又，厘米。點(diǎn)撥： 有切線，并需尋找角的關(guān)系時(shí)常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。例 6. 如圖 5， AB為 O的直徑，弦 CDAB，AE切O于 A，交 CD的延長(zhǎng)線于 E。16歡迎下載精品文檔圖5求證：證明： 連結(jié) BD，AE切O于 A， EAD ABDAE AB，又 AB CD，AE CDAB為O的直徑 ADB 90° E ADB90° ADE BAD。17歡迎下載精品文檔

8、CD AB。18歡迎下載精品文檔AD BC，例 7. 如圖 6，PA、 PC切 O于 A、 C，PDB為割線。求證： AD· BCCD·AB圖6。19歡迎下載精品文檔點(diǎn)悟：由結(jié)論 AD· BCCD· AB得，顯然要證 PAD PBA和PCD PBC證明： PA切O于 A， PAD PBA又APD BPA， PAD PBA同理可證 PCD PBC。20歡迎下載精品文檔PA、 PC分別切 O于 A、CPA PCAD· BCDC·AB例8. 如圖 7，在直角三角形 ABC中， A 90°，以 AB 邊為直徑作 O，交斜邊 BC于點(diǎn)

9、 D，過(guò) D 點(diǎn)作 O的切線交 AC于 E。21歡迎下載精品文檔圖7求證： BC2OE。點(diǎn)悟： 由要證結(jié)論易想到應(yīng)證OE是ABC的中位線。而 OA OB，只須證 AECE。證明： 連結(jié) OD。AC AB，AB為直徑AC為O的切線，又 DE切O于 DEA ED，ODDEOB OD， BODB在 Rt ABC中， C90°B ODE 90° C EDCED ECAE ECOE是ABC的中位線BC 2OE。22歡迎下載精品文檔例9. 如圖 8，在正方形ABCD中， AB1，是以點(diǎn) B 為圓心， AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧。點(diǎn)E 是邊 AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E 與點(diǎn) A、D 不重合），

10、過(guò) E 作所在圓的切線，交邊DC于點(diǎn) F， G為切點(diǎn)。當(dāng)DEF 45°時(shí)，求證點(diǎn) G為線段 EF的中點(diǎn)；。23歡迎下載精品文檔圖8解：由 DEF45°，得， DFE DEFDE DF又ADDCAE FC因?yàn)?AB是圓 B 的半徑， ADAB，所以 AD切圓 B 于點(diǎn) A；同理， CD切圓 B 于點(diǎn) C。又因?yàn)?EF切圓 B 于點(diǎn) G，所以 AEEG， FCFG。因此 EGFG，即點(diǎn) G為線段 EF 的中點(diǎn)?！灸M試題】（答題時(shí)間： 40分鐘）一、選擇題1. 已知： PA、PB 切O于點(diǎn) A、B，連結(jié) AB，若 AB8，弦 AB的弦心距 3，則 PA（ ）。24歡迎下載精品文

11、檔A.B.C.5D. 82. 下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（）A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.梯形3. 已知：如圖 1直線 MN與 O相切于 C，AB為直徑， CAB40°，則 MCA的度數(shù)（ ）。25歡迎下載精品文檔圖1A. 50° B. 40° C. 60° D.55°4. 圓內(nèi)兩弦相交，一弦長(zhǎng) 8cm 且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分為 1： 4，則另一弦長(zhǎng)為（ ）A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm5. 在 ABC中， D是 BC邊上的點(diǎn)， AD，BD3cm，DC4cm，如果 E 是 AD的延長(zhǎng)線與 ABC的外接圓的交點(diǎn)，那

12、么 DE長(zhǎng)等于（）。26歡迎下載精品文檔A.B.C.D.。27歡迎下載精品文檔6. PT 切O于 T，CT為直徑， D為 OC上一點(diǎn)，直線 PD交O于 B 和 A，B 在線段PD上，若 CD2，AD3，BD4，則 PB等于（）A.20B.10C.5D.二、填空題7. AB、CD是 O切線， ABCD， EF是 O的切線，它和 AB、 CD分別交于 E、F，則EOF_度。8. 已知： O和不在 O上的一點(diǎn) P，過(guò) P 的直線交 O于 A、B 兩點(diǎn)，若 PA· PB24，OP5，則 O的半徑長(zhǎng)為 _。9. 若 PA 為 O 的切線， A 為切點(diǎn)， PBC 割線交 O 于 B、 C，若 B

13、C 20，。28歡迎下載精品文檔，則 PC的長(zhǎng)為 _。10. 正 ABC內(nèi)接于 O，M、N 分別為 AB、AC中點(diǎn)，延長(zhǎng) MN交 O于點(diǎn) D，連結(jié) BD交 AC于 P，則_。三、解答題11. 如圖 2，ABC中， AC2cm，周長(zhǎng)為 8cm，F(xiàn)、K、N是 ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)， DE 切O于點(diǎn) M，且 DE AC，求 DE的長(zhǎng)。29歡迎下載精品文檔圖212. 如圖 3，已知 P 為O的直徑 AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， PC切O于 C，CD AB于 D，求證： CB平分 DCP。圖313. 如圖 4，已知 AD為 O的直徑， AB是O的切線，過(guò) B 的割線 BMN交 AD的延長(zhǎng)。30歡迎下載精品文檔線于 C，且 BMMN NC，若 AB，求O 的半徑。圖4【試題答案】一、選擇題1.A2.C3.A4.B5.B6.A二、填空題7. 908. 19. 3010.。31歡迎下載精品文檔三、解答題：11. 由切線長(zhǎng)定理得 BDE周長(zhǎng)為 4，由 BDE BAC，得 DE1cm12. 證明：連結(jié) AC，則 ACCBCD AB， ACB CDB，