非線性有限元及彈塑性力學(xué)講解2

1、2000.5哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作1其他數(shù)值方法簡單介紹其他數(shù)值方法簡單介紹加權(quán)余量法加權(quán)余量法半解析法半解析法樣條有限元法樣條有限元法邊界單元法邊界單元法2000.5哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作2加權(quán)余量法加權(quán)余量法 前面介紹的固體力學(xué)有限元法，都是基于變前面介紹的固體力學(xué)有限元法，都是基于變分原理泛函的駐值來列式的。分原理泛函的駐值來列式的。 加權(quán)余量法直接從所需求解的微分方程和邊加權(quán)余量法直接從所需求解的微分方程和邊界條件出發(fā)，將所構(gòu)造試函數(shù)代入微分方程和界條件出發(fā)，將所構(gòu)造試函數(shù)代入微分方程和邊界條件，一般它不是真實(shí)解。

2、邊界條件，一般它不是真實(shí)解。 因此因此,將產(chǎn)生余將產(chǎn)生余量。量。 然后通過加權(quán)積分為零建立消除余量的條然后通過加權(quán)積分為零建立消除余量的條件，從而獲得求解試函數(shù)中待定系數(shù)的方程。件，從而獲得求解試函數(shù)中待定系數(shù)的方程。求得待定系數(shù)后，代回試函數(shù)即可得到問題的求得待定系數(shù)后，代回試函數(shù)即可得到問題的近似解。近似解。 顯然，這對(duì)沒有或難以建立能量積分顯然，這對(duì)沒有或難以建立能量積分的問題，是一種有效的數(shù)值方法。的問題，是一種有效的數(shù)值方法。2000.5哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作3 根據(jù)余量的類型，可分為內(nèi)部法（邊界余量根據(jù)余量的類型，可分為內(nèi)部法（邊界余量為零）、為

3、零）、 根據(jù)權(quán)函數(shù)的不同，可分為子域法、根據(jù)權(quán)函數(shù)的不同，可分為子域法、 無論什么方法，建立試函數(shù)時(shí)應(yīng)注意：無論什么方法，建立試函數(shù)時(shí)應(yīng)注意： 試函數(shù)應(yīng)由完備函數(shù)集的子集構(gòu)成。試函數(shù)應(yīng)由完備函數(shù)集的子集構(gòu)成。 試函數(shù)應(yīng)具有直到比加權(quán)積分表達(dá)式中最高試函數(shù)應(yīng)具有直到比加權(quán)積分表達(dá)式中最高階導(dǎo)數(shù)低一階的連續(xù)性。階導(dǎo)數(shù)低一階的連續(xù)性。 試函數(shù)應(yīng)與待解問題解析解或特解相關(guān)聯(lián)。試函數(shù)應(yīng)與待解問題解析解或特解相關(guān)聯(lián)。如問題具有對(duì)稱性，應(yīng)充分利用。如問題具有對(duì)稱性，應(yīng)充分利用。 邊界法（微分方程余量為零）和混合邊界法（微分方程余量為零）和混合法（兩類余量都不為零）。法（兩類余量都不為零）。 配點(diǎn)配點(diǎn)(配配線

4、線)法、法、 最小二乘法、最小二乘法、 Galerkin法和矩法。法和矩法。2000.5哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作4 當(dāng)設(shè)整個(gè)求解域分成若干子域，全域試函數(shù)當(dāng)設(shè)整個(gè)求解域分成若干子域，全域試函數(shù)由各子域試函數(shù)聯(lián)合而得，對(duì)每一子域用由各子域試函數(shù)聯(lián)合而得，對(duì)每一子域用Ga-lerkin法法(余量和基函數(shù)正交余量和基函數(shù)正交)分析。分析。 在在有限單元法及計(jì)算程序有限單元法及計(jì)算程序一書中，除簡一書中，除簡介加權(quán)余量的一般方法外，還通過溫度場(chǎng)分析介加權(quán)余量的一般方法外，還通過溫度場(chǎng)分析和廣義協(xié)調(diào)元說明了加權(quán)余量有限元法。有興和廣義協(xié)調(diào)元說明了加權(quán)余量有限元法。有興趣

5、的可自行查閱有關(guān)資料。趣的可自行查閱有關(guān)資料。 為降低子域?yàn)榻档妥佑蛟嚭瘮?shù)的連續(xù)性要求，可象建立試函數(shù)的連續(xù)性要求，可象建立Herrmann泛泛函那樣，用分部積分函那樣，用分部積分(高斯公式高斯公式)進(jìn)行處理。進(jìn)行處理。 用用此思路即可從控制方程直接建立有限元列式，此思路即可從控制方程直接建立有限元列式，這就是加權(quán)余量有限元。這就是加權(quán)余量有限元。2000.5哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作5半解析法半解析法 所謂半解析法是指，將解析解和有限元離散所謂半解析法是指，將解析解和有限元離散化思想相結(jié)合的數(shù)值方法。它不僅可大大減少化思想相結(jié)合的數(shù)值方法。它不僅可大大減少未知

6、量個(gè)數(shù)，還能大大提高計(jì)算精度。未知量個(gè)數(shù)，還能大大提高計(jì)算精度。 1. 有限條元法有限條元法 以板分析為例，該法基本思想是，將求解域以板分析為例，該法基本思想是，將求解域劃分成若干狹長條帶形劃分成若干狹長條帶形“單元單元”，單元位移場(chǎng)，單元位移場(chǎng)按分離變量法構(gòu)造。即每一條帶縱向按分離變量法構(gòu)造。即每一條帶縱向(長向長向)取取滿足兩端邊界條件的正交函數(shù)滿足兩端邊界條件的正交函數(shù)(一般為梁的振型一般為梁的振型函數(shù)函數(shù))，條帶窄邊方向以節(jié)線，條帶窄邊方向以節(jié)線(無內(nèi)節(jié)線時(shí)為條無內(nèi)節(jié)線時(shí)為條帶間公共邊線帶間公共邊線)未知位移作參數(shù)由形函數(shù)構(gòu)造。未知位移作參數(shù)由形函數(shù)構(gòu)造。2000.5哈爾濱建筑大學(xué)哈爾

7、濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作6 因任意函數(shù)均可按正交完備的函數(shù)集展開，因任意函數(shù)均可按正交完備的函數(shù)集展開，因此理論上說，只要問題可分離變量，長向的因此理論上說，只要問題可分離變量，長向的級(jí)數(shù)取得足夠多，就可保證位移延長向趨于精級(jí)數(shù)取得足夠多，就可保證位移延長向趨于精確解，這樣就使問題減少了一維，使未知量得確解，這樣就使問題減少了一維，使未知量得以減少。以減少。 此外，由于長邊方向函數(shù)的正交性，可使級(jí)此外，由于長邊方向函數(shù)的正交性，可使級(jí)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的一些積分為零，對(duì)一些問題最數(shù)及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的一些積分為零，對(duì)一些問題最終變成對(duì)級(jí)數(shù)每一項(xiàng)分別計(jì)算后疊加，自然這終變成對(duì)級(jí)數(shù)每一項(xiàng)分別計(jì)算

8、后疊加，自然這又將使工作量減少，提高解算效率。又將使工作量減少，提高解算效率。 2. 組合條元法組合條元法 有限條元法有如下局限性：有限條元法有如下局限性：2000.5哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作7 1）長向不能連接單元或其他條元；）長向不能連接單元或其他條元； 2）為保證節(jié)線位移連續(xù)性，長向邊界必須）為保證節(jié)線位移連續(xù)性，長向邊界必須一致；一致； 為克服這些不足，同時(shí)又保留條元的優(yōu)點(diǎn)，為克服這些不足，同時(shí)又保留條元的優(yōu)點(diǎn)，發(fā)展了這種組合條元。發(fā)展了這種組合條元。 其基本思路為：其基本思路為： 3）長向邊界條件可有多種不同組合，導(dǎo)致）長向邊界條件可有多種不同組合，

9、導(dǎo)致計(jì)算程序繁雜。計(jì)算程序繁雜。 條帶長向短邊上象有限元一樣放置有結(jié)點(diǎn)；條帶長向短邊上象有限元一樣放置有結(jié)點(diǎn)； 節(jié)線位移按兩步法構(gòu)造：先由結(jié)點(diǎn)位移參數(shù)節(jié)線位移按兩步法構(gòu)造：先由結(jié)點(diǎn)位移參數(shù)象有限元一樣插值構(gòu)造；后在不改變結(jié)點(diǎn)位移象有限元一樣插值構(gòu)造；后在不改變結(jié)點(diǎn)位移參數(shù)含義條件下，象條元法一樣用級(jí)數(shù)修正。參數(shù)含義條件下，象條元法一樣用級(jí)數(shù)修正。2000.5哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作8 象條元法一樣，在節(jié)線位移基礎(chǔ)上構(gòu)造位移象條元法一樣，在節(jié)線位移基礎(chǔ)上構(gòu)造位移場(chǎng)。場(chǎng)。 3. 有限元線法有限元線法 基于如此思路，曾用于分析平面、板殼靜動(dòng)基于如此思路，曾用于分析平

10、面、板殼靜動(dòng)力問題，應(yīng)力蒙皮線性、非線性問題等。力問題，應(yīng)力蒙皮線性、非線性問題等。 在在有限單元法及計(jì)算程序有限單元法及計(jì)算程序一書中，以平一書中，以平面問題為例簡單介紹了這種方法。想更多了解面問題為例簡單介紹了這種方法。想更多了解的可查閱的可查閱The Finite Element Method of Lines Theory and Application(袁駟著袁駟著) 還聯(lián)還聯(lián)合應(yīng)用有限單元、組合條元和無限元研究過路合應(yīng)用有限單元、組合條元和無限元研究過路面力學(xué)問題。證明了方法的有效和可靠性。面力學(xué)問題。證明了方法的有效和可靠性。2000.5哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制

11、作王煥定教授制作9 象條元法、組合條元法一樣，也是按分離變象條元法、組合條元法一樣，也是按分離變量思想構(gòu)造位移場(chǎng)，但設(shè)節(jié)線位移是未知的量思想構(gòu)造位移場(chǎng)，但設(shè)節(jié)線位移是未知的(待待定的定的)。 4. 超級(jí)單元法超級(jí)單元法 這是用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析的一種近似方法，其這是用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析的一種近似方法，其思路是：思路是： 由此位移場(chǎng)用虛位移原理列式的結(jié)果，得到由此位移場(chǎng)用虛位移原理列式的結(jié)果，得到的是關(guān)于節(jié)線位移的常微分方程組。在對(duì)邊界的是關(guān)于節(jié)線位移的常微分方程組。在對(duì)邊界(包括節(jié)線搭接包括節(jié)線搭接)進(jìn)行適當(dāng)處理后，借助常微分進(jìn)行適當(dāng)處理后，借助常微分方程組求解器，由求解常微分方程得到節(jié)線位方程組求解

12、器，由求解常微分方程得到節(jié)線位移函數(shù)，從而得到問題的解答。無疑這一方法移函數(shù)，從而得到問題的解答。無疑這一方法精度高于前兩種。但其解算效率取決于求解器。精度高于前兩種。但其解算效率取決于求解器。2000.5哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作10 設(shè)由多種構(gòu)件組成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，其整體變形設(shè)由多種構(gòu)件組成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，其整體變形(位移位移)象一實(shí)體物體，當(dāng)將結(jié)構(gòu)劃分成若干個(gè)象一實(shí)體物體，當(dāng)將結(jié)構(gòu)劃分成若干個(gè)實(shí)體超級(jí)單元后，超級(jí)單元的位移場(chǎng)根據(jù)具體實(shí)體超級(jí)單元后，超級(jí)單元的位移場(chǎng)根據(jù)具體問題可象一般有限元一樣建立。問題可象一般有限元一樣建立。 但這個(gè)超級(jí)元并非實(shí)際存在，其力學(xué)特性

13、取但這個(gè)超級(jí)元并非實(shí)際存在，其力學(xué)特性取決于超級(jí)元所包含的具體構(gòu)件。決于超級(jí)元所包含的具體構(gòu)件。 由所有構(gòu)件的力學(xué)特性獲得超級(jí)元特性后，由所有構(gòu)件的力學(xué)特性獲得超級(jí)元特性后，即可按一般有限元方法分析超級(jí)元結(jié)構(gòu)。即可按一般有限元方法分析超級(jí)元結(jié)構(gòu)。 對(duì)超級(jí)元所包含的具體構(gòu)件，其位移場(chǎng)不再對(duì)超級(jí)元所包含的具體構(gòu)件，其位移場(chǎng)不再是獨(dú)立的，這些構(gòu)件單元的結(jié)點(diǎn)位移可根據(jù)結(jié)是獨(dú)立的，這些構(gòu)件單元的結(jié)點(diǎn)位移可根據(jù)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，由超級(jí)元的位移場(chǎng)確定。這樣，就可點(diǎn)坐標(biāo)，由超級(jí)元的位移場(chǎng)確定。這樣，就可把構(gòu)件的力學(xué)特性轉(zhuǎn)換成超級(jí)元位移把構(gòu)件的力學(xué)特性轉(zhuǎn)換成超級(jí)元位移-力關(guān)系。力關(guān)系。2000.5哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建

14、筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作11 求得超級(jí)元結(jié)點(diǎn)位移后，根據(jù)超級(jí)元位移場(chǎng)求得超級(jí)元結(jié)點(diǎn)位移后，根據(jù)超級(jí)元位移場(chǎng)所得到的構(gòu)件單元結(jié)點(diǎn)位移，即可確定各構(gòu)件所得到的構(gòu)件單元結(jié)點(diǎn)位移，即可確定各構(gòu)件的受力和變形。的受力和變形。 由此思路可見，超級(jí)元象子結(jié)構(gòu)法，但又是由此思路可見，超級(jí)元象子結(jié)構(gòu)法，但又是不一樣的。子結(jié)構(gòu)各構(gòu)件的結(jié)點(diǎn)位移都是獨(dú)立不一樣的。子結(jié)構(gòu)各構(gòu)件的結(jié)點(diǎn)位移都是獨(dú)立的未知量，只是分析時(shí)將內(nèi)部自由度凝聚掉而的未知量，只是分析時(shí)將內(nèi)部自由度凝聚掉而已。因此，它是已。因此，它是“精確的精確的”、有大量未知量的。、有大量未知量的。可超級(jí)元只有超級(jí)元結(jié)點(diǎn)的位移未知量，包含可超級(jí)元只有超級(jí)

15、元結(jié)點(diǎn)的位移未知量，包含在超級(jí)元內(nèi)的構(gòu)件結(jié)點(diǎn)不存在獨(dú)立的未知位移，在超級(jí)元內(nèi)的構(gòu)件結(jié)點(diǎn)不存在獨(dú)立的未知位移，因此它是一種可大量減少自由度的近似方法。因此它是一種可大量減少自由度的近似方法。 由于考慮了實(shí)際各構(gòu)件的力學(xué)特性，因此分由于考慮了實(shí)際各構(gòu)件的力學(xué)特性，因此分析大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)還是可得到滿意結(jié)果的。析大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)還是可得到滿意結(jié)果的。2000.5哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作12樣條有限元法樣條有限元法 因?yàn)橐驗(yàn)閚次樣條函數(shù)是具有次樣條函數(shù)是具有n-1階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的n次多項(xiàng)式，因此將其用于有限元分析，可提高次多項(xiàng)式，因此將其用于有限元分析，可提高計(jì)算精度

16、、減少計(jì)算工作量。計(jì)算精度、減少計(jì)算工作量。 用樣條函數(shù)做結(jié)構(gòu)分析有兩種方式。用樣條函數(shù)做結(jié)構(gòu)分析有兩種方式。 在在有限單元法及計(jì)算程序有限單元法及計(jì)算程序一書中，介紹一書中，介紹了梁、平面問題和薄板彎曲的樣條單元。更多了梁、平面問題和薄板彎曲的樣條單元。更多的內(nèi)容可查閱龍馭球的內(nèi)容可查閱龍馭球新型有限元引論新型有限元引論等。等。 其一是，其一是，用樣條函數(shù)構(gòu)造整體場(chǎng)變量，稱為樣條變分法。用樣條函數(shù)構(gòu)造整體場(chǎng)變量，稱為樣條變分法。另一是，用樣條函數(shù)進(jìn)行分區(qū)構(gòu)造場(chǎng)變量，稱另一是，用樣條函數(shù)進(jìn)行分區(qū)構(gòu)造場(chǎng)變量，稱為樣條有限元法。為樣條有限元法。 前者局限于解規(guī)則問題，后前者局限于解規(guī)則問題，后者則

17、象有限元一樣，可解決各類工程問題。者則象有限元一樣，可解決各類工程問題。2000.5哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作13 這里僅就四自由度二次樣條梁單元為例加以這里僅就四自由度二次樣條梁單元為例加以說明。說明。 四自由度二次樣條梁四自由度二次樣條梁單元如圖所示。單元如圖所示。 設(shè)撓度設(shè)撓度v在每段上為二次多項(xiàng)式在每段上為二次多項(xiàng)式1322l2l0121312),(11v),(22vxvlx, 因是二次樣條，將單因是二次樣條，將單元分成兩段如圖。元分成兩段如圖。六個(gè)待定系數(shù)由六個(gè)待定系數(shù)由1、2 位移條件和位移條件和 3 的連續(xù)條件的連續(xù)條件確定。從而可得到形函數(shù)表示的

18、位移模式。確定。從而可得到形函數(shù)表示的位移模式。 121 ( 21(0 )(26542321）ccccccxv221220111110)(NvNNvNxv2000.5哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作14 上式中的形函數(shù)都是二次樣條函數(shù)，分別為上式中的形函數(shù)都是二次樣條函數(shù)，分別為 將單元位移場(chǎng)寫成如下矩陣標(biāo)準(zhǔn)形式將單元位移場(chǎng)寫成如下矩陣標(biāo)準(zhǔn)形式 )1 (2212210Nexv N)( 121 ( 2)1 (21(0 2)32(2211）llN 11020NN 121 ( 2)341 (21(0 22221）llN其余工作就可完全按一般有限元分析步驟進(jìn)行，其余工作就可完全按一般有限元分析步驟進(jìn)行，從而建立樣條有限單元的剛度方程。這里就不從而建立樣條有限單元的剛度方程。這里就不再贅述了。再贅述了。合肥工業(yè)大學(xué)合肥工業(yè)大學(xué)沈鵬程教授沈鵬程教授寫了一本基于多變寫了一本基于多變量廣義變分原理的量廣義變分原理的多變量樣條有限元法多變量樣條有限元法有興趣的可參考有興趣的可參考2000.5哈爾濱建筑大學(xué)哈爾濱建筑大學(xué) 王煥定教授制作王煥定教授制作15邊界單元法邊界單元法 邊界單元法的基本思想是，將