第7章多元函數(shù)積分學(xué)216(二重積分計算直角坐標(biāo)系)

1、中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)A A7.1.2 7.1.2 二重積分的計算二重積分的計算(1) (1) 7.1.2 7.1.2 二重積分的計算二重積分的計算 一、積分區(qū)域的描述一、積分區(qū)域的描述 直角坐標(biāo)系下二重積分的計算直角坐標(biāo)系下二重積分的計算二、化二重積分為二次積分二、化二重積分為二次積分三、直角坐標(biāo)系下計算二重積分習(xí)例三、直角坐標(biāo)系下計算二重積分習(xí)例1-6 四、利用區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶四、利用區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性以及輪換對稱性簡化二重積分習(xí)例性以及輪換對稱性簡化二重積分習(xí)例7-11oxyabcd在直角坐

2、標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域劃分區(qū)域D，如圖，如圖.xy 可見，除邊緣外，其可見，除邊緣外，其余均為矩形，其面積為余均為矩形，其面積為yx故二重積分可寫為故二重積分可寫為DDdxdyyxfdyxf),(),(其中其中dxdy稱為面積元素稱為面積元素.則面積元素為則面積元素為dxdyd 一、積分區(qū)域的描述一、積分區(qū)域的描述 )(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 特點特點：穿過：穿過D的內(nèi)部且平行于的內(nèi)部且平行于y軸的直線與軸的直線與D的邊界的的邊界的交點不多于兩個，其不等式組的表示如下交點不多于兩個，其不等式組的表示如下 bx

3、axyxDx)()(:21 則稱此積分區(qū)域是則稱此積分區(qū)域是x 型區(qū)域型區(qū)域.根據(jù)二重積分的幾何意義：若根據(jù)二重積分的幾何意義：若(x,y)0，則二重積分是以，則二重積分是以z=f(x,y) 為頂?shù)那斨w的體積。為頂?shù)那斨w的體積。故可以考慮故可以考慮用定積分應(yīng)用中求平行截面面積為已知的立用定積分應(yīng)用中求平行截面面積為已知的立體的體積體的體積的方法。的方法。利用二重積分的幾何意義化二重積分為二次積分xoabxdxx .( )baVAx dxbaxyo x平行截面面積已知平行截面面積已知的立體的體積的立體的體積xyobxa( )A x（1 1）當(dāng)積分區(qū)域如圖所示）當(dāng)積分區(qū)域如圖所示oxyab

4、)(1xy)(2xyD相應(yīng)的曲頂柱體如右圖。相應(yīng)的曲頂柱體如右圖。 在區(qū)間在區(qū)間a,b內(nèi)任取一點內(nèi)任取一點x，過此點作與，過此點作與yoz面平行的平面，它與曲頂柱體相交得到一個一面平行的平面，它與曲頂柱體相交得到一個一個曲邊梯形：個曲邊梯形：x)(1xy)(2xyoxyabzD),(yxfz 底為底為)()(21xyx高為高為),(yxfz x)(1xy)(2xyoxyabzD),(yxfz 在區(qū)間在區(qū)間a,b內(nèi)任取內(nèi)任取一點一點x，過此點作與，過此點作與yoz面平行的平面，它與曲面平行的平面，它與曲頂柱體相交得到一個一頂柱體相交得到一個一個曲邊梯形：個曲邊梯形：注意注意D的特殊之處。的特殊之

5、處。二次定積分二次定積分二重積分二重積分yZ)(x1)(x2),(yxfz )()(),()(xxdyyxfxA21 DbaA(x)dxf(x,y)dxdy所所以以：dxdy.yf(xba(x)(x)21 oyz),(yxfz )(1x )(2x )(xA )()(21),()(xxdyyxfxA dxdyyxfdyxfbaxxD ),(),()()(21 注意注意： (1)先對先對y后對后對x的二次積分，計算時先把的二次積分，計算時先把x看作常數(shù)，看作常數(shù)，對對y積分得到關(guān)于積分得到關(guān)于x的函數(shù)，再對的函數(shù)，再對x在在a,b上積分，記為上積分，記為 )()(21),(),(xxbaDdyyx

6、fdxdyxf .0),()2(時時公公式式仍仍成成立立 yxf利用利用X型區(qū)域型區(qū)域D的不等式組表示，的不等式組表示，12,( )( )xaxbDxyx型 )()()()(2121),(),(),(xxbabaxxDdyyxfdxdxdyyxfdxdyyxf有助于記住前面推出的二重積分計算公式：有助于記住前面推出的二重積分計算公式：12,( )( )ycydDyxy)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D特點特點：穿過：穿過D的內(nèi)部且的內(nèi)部且平行于平行于x軸軸的直線與的直線與D的邊界的交的邊界的交點不多于兩點不多于兩個，個，則稱此則稱此積分區(qū)域是積分區(qū)域是y型區(qū)域型區(qū)域.

7、 21()()( ,)( ,)dycyDf x y ddyf x y dx（3）類似地，）類似地， 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為則可將二重積分化為先積則可將二重積分化為先積x后積后積y的二次積分：的二次積分：用不等式組表示為：用不等式組表示為：則型區(qū)域時又可表為型區(qū)域既可表為若,)4(yxDoxyabcdoxyabcd Dbayydcxxdxyxfdydyyxfdxdyxf)()()()(2121),(),(),( . ,)5(型區(qū)域型區(qū)域和分塊得到一些則把型區(qū)域時型區(qū)域又不是既不是若yxDyxDoxyoxy1D2D3D 321DDDD1D2D3D4D5D 54321DDDDDD.,.,)6(不不

8、能能顛顛倒倒次次序序上上從從下下右右從從左左兩兩次次積積分分中中關(guān)關(guān)鍵鍵在在于于確確定定積積分分限限化化二二重重積積分分為為二二次次積積分分yx計算二重積分的步驟計算二重積分的步驟：(1) 畫區(qū)域圖畫區(qū)域圖; (2) 列出列出x型或型或y型區(qū)域的型區(qū)域的不等式組表示不等式組表示; (3) 計算二次積分計算二次積分 (若一種次序積不出來時若一種次序積不出來時, 換另一種次序換另一種次序). 三、三、 直角坐標(biāo)系下計算二重積分習(xí)例直角坐標(biāo)系下計算二重積分習(xí)例 .2, 1, 1圍圍成成及及由由直直線線計計算算例例xyxyDxydD .2, 22圍圍成成和和由由計計算算例例 xyxyDxydD .,

9、1, 0, 322圍圍成成由由計計算算例例xyyxDdexIDy ., 0,sin 4圍圍成成由由直直線線計計算算例例 xyxyDdxdyxxD. ),(),( 530312010積積分分次次序序的的改改變變積積分分例例 yydxyxfdydxyxfdy解解 (1)畫區(qū)域圖畫區(qū)域圖(2)列出區(qū)域的不等式表示列出區(qū)域的不等式表示21 ,1: xxyx型型21 , 2: yxyy型型(3)將二重積分表示成二次積分并計算將二重積分表示成二次積分并計算 Dxxydydxxyd121 21122dxyxx 212)1(2dxxx.89 221yCxydxdyxyd .8922122 dyxyy或者或者o

10、xy1 y2 xxy 2112.2, 1, 1圍圍成成及及由由直直線線計計算算例例xyxyDxydD 解解(1) 畫區(qū)域圖畫區(qū)域圖(2) 列出區(qū)域的不等式表示列出區(qū)域的不等式表示:型型 x10 ,:1 xxyxD41 ,2:2 xxyxD:型型 y21, 22 yyxy(3) 列出二次積分并計算列出二次積分并計算 DDDxydxydxyd21 41210 xxxxxydydxxydydx .8452212 Dyyxydxdyxyd oxy)2 , 4()1, 1( 1D2D.2, 22圍圍成成和和由由計計算算例例 xyxyDxydD 解解:型型 x10 , 1 xyx:型型 y10 ,0 yy

11、x 10122xydyexdxI 10122xydyedxx積不出來，須換另一種積分次序積不出來，須換另一種積分次序dxexdyIyy20210 dyxeyy031032 dyeyy 103231.3161e oxy1 yxy 11., 1, 0, 322圍圍成成由由計計算算例例xyyxDdexIDy oxyDxxy 解解 由被積函數(shù)可知由被積函數(shù)可知,因此取因此取D 為為X 型域型域 :0:0 xDyxDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxx先對先對 x 積分不行積分不行, 數(shù)數(shù)表表示示。的的原原函函數(shù)數(shù)不不能能用用初初等等函函注注意意：xxeexxx1,ln1

12、,sin2., 0,sin 4圍圍成成由由直直線線計計算算例例 xyxyDdxdyxxD 注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時，注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時，關(guān)鍵在于正確關(guān)鍵在于正確確定積分次序和積分上、下限確定積分次序和積分上、下限,一定要做到熟練、準(zhǔn)確一定要做到熟練、準(zhǔn)確。小結(jié)：利用直系計算二重積分的步驟小結(jié)：利用直系計算二重積分的步驟（1）畫出積分區(qū)域的圖形）畫出積分區(qū)域的圖形,求出邊界曲線交點坐標(biāo)；求出邊界曲線交點坐標(biāo)；（3）確定積分限，化為二次定積分；）確定積分限，化為二次定積分；（2）確定積分次序；）確定積分次序；（4）計算兩次定積分，即可得出結(jié)果）計算兩次定積分，即可得出結(jié)果.怎

13、樣確定積分次序和積分上、下限？怎樣確定積分次序和積分上、下限？問題怎樣確定積分次序和積分上、下限？怎樣確定積分次序和積分上、下限？問題確定積分次序和積分限要注意以下兩個原則確定積分次序和積分限要注意以下兩個原則要記住哦要記住哦!（1）積分區(qū)域分塊盡量少；）積分區(qū)域分塊盡量少；（2）被積函數(shù)易于積出。）被積函數(shù)易于積出。（ ）根據(jù)積分域類型根據(jù)積分域類型,確定積分次序和積分上、下限確定積分次序和積分上、下限（ ）根據(jù)被積函數(shù)特點根據(jù)被積函數(shù)特點,確定積分限確定積分限解解 . ),(),( 530312010積積分分次次序序的的改改變變積積分分例例 yydxyxfdydxyxfdy積分區(qū)域如圖積分

14、區(qū)域如圖xyo231yx 3yx2 yxy20,10 yxy 30 ,3102,132xDxyx 交交分分 次次 序序：換 積原式原式解解 1)(xdyyf不不能能直直接接積積出出, 故故改改變變積積分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI, 則則 I ydxxfdyyf010)()( xdyyfdxxf010)()(故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf .22AI xy1xy 注意：注意：1交換二次積分次序的關(guān)鍵在于畫出相應(yīng)的積分交換二次積分次序的關(guān)鍵在于畫

15、出相應(yīng)的積分區(qū)域圖，即使題目簡單也區(qū)域圖，即使題目簡單也應(yīng)將應(yīng)將D域圖畫出域圖畫出。2二次積分是連續(xù)作二次定積分，給出定積分時二次積分是連續(xù)作二次定積分，給出定積分時積分的下限未必一定要小于上限，而積分的下限未必一定要小于上限，而二重積分化為二重積分化為二次積分其下限一定不能大于上限二次積分其下限一定不能大于上限，所以當(dāng)給定的，所以當(dāng)給定的二次積分中出現(xiàn)下限大于上限時，應(yīng)將上、下限顛二次積分中出現(xiàn)下限大于上限時，應(yīng)將上、下限顛倒過來，同時改變二次積分的符號。倒過來，同時改變二次積分的符號。3o 二次積分的二次積分的外限一定是常數(shù)外限一定是常數(shù)。導(dǎo)學(xué)材料中的問題導(dǎo)學(xué)材料中的問題( , )( )

16、( )( )( )dbbdRcaacf x y dAdyxy dxx dxy dy 特殊情形特殊情形 如果如果 f (x,y) 在矩形域上在矩形域上 R=a,bc,d上連續(xù)，則上連續(xù)，則二重積分等于累次積分二重積分等于累次積分abxycdxy( , )( , )( , )bddbRaccaf x y dAdxf x y dydyf x y dx 如果如果 f (x, y) = (x)(y) （兩個單變量函數(shù)（兩個單變量函數(shù)的乘積），則的乘積），則( , )( ) ( )( )( )dbbdRcaacf x y dAdyxy dxx dxy dy abxycdx2( ) , ,1 ( )()(

17、)bbaaf xa bIdxf x dxbaf x補例1:設(shè)在區(qū)間上連續(xù) 且恒大于零 證明11 ( ),( )( )( )以及bbbbaaaaIdxf y dyIdyf x dxf xf y證明：由題設(shè)，證明：由題設(shè)，I還可等于以下兩種形式的積分還可等于以下兩種形式的積分111( )+( )2( )( )1( )( ),2( )( )其中bbbbaaaaDIdxf y dydyf x dxf xf yaxbf yf xdxdyDaybf xf y( )( )( )( )f yf xf xf y22( )( )2( ) ( )fxfyf x f y21( )( )()2( )( )DDf yf

18、xIdxdydxdybaf xf y 222:( ) , ( )()( )bbaaf xa bf x dxbafx dx補例在上連續(xù),試利用二重積分證明 解：解：a2( )( )( ) ( ) ( ) bbbaaaDf x dxf x dxf y dyf x f y dxdy221( )( )2Dfxfy dxdy22( )( )Dbbaafx dxdyfx dxdy2()( )babafx dxbab. 71 yxdxdyxy計計算算例例四、四、 利用區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性以及輪利用區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性以及輪換對稱性簡化二重積分換對稱性簡化二重積分. 810112 yxdx

19、dyxy計計算算例例).:, 0)( ,)()()( 9222RyxDxfdxdyyfxfxfID 求求例例.)()()(1 ,)( 102abdxxfdxxfIbaxfbaba 證證明明且且恒恒大大于于零零上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)例例.)()()( ,)( 1122 babadxxfabdxxfbaxf試試利利用用二二重重積積分分證證明明上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)例例. 71 yxdxdyxy計計算算例例解解由區(qū)域的對稱性和由區(qū)域的對稱性和函數(shù)的奇偶性可得函數(shù)的奇偶性可得oxyDdxdyxyD 4原式原式.41010 xxydydx. 810112 yxdxdyxy計計算算例例解解ox

20、y11 1DdxdyxyD 22原式原式1D2DdxdyxydxdyxyDD 212222 12102)(2xdyxydx.)(220210 xdyyxdxdxdyyxdxdyxyDD 21)(2)(222利用輪換對稱性計算二重積分利用輪換對稱性計算二重積分( ):( )( )Df xIdxdyf xf y 解解1( )( )=2( )( )( )( )DDf xf xdxdyf xf yf xf y 211 =22DdxdyR 1( )( )=2( )( )( )( )DDf xf ydxdyf xf yf xf y ).:, 0)( ,)()()( 9222RyxDxfdxdyyfxfxfID 求求例例11 ( ),( )( )( )bbbbaaaaIdxf y dyIdyf x dxf xf y 以以及