最新高三教案-高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)數(shù)列的極限-精品

1、數(shù)列的極限1.數(shù)列極限的定義：一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)窮數(shù)列an的項(xiàng)an無(wú)限地趨近于某個(gè)常數(shù)a即|ana|無(wú)限地接近于0，那么就說(shuō)數(shù)列an以a為極限.注：a不一定是an中的項(xiàng).2.幾個(gè)常用的極限：C=CC為常數(shù);=0;qn=0|q|1.3.數(shù)列極限的四那么運(yùn)算法那么：設(shè)數(shù)列an、bn，當(dāng)an=a, bn=b時(shí)， an±bn=a±b; an·bn=a·b; =b0.點(diǎn)擊雙基1.以下極限正確的個(gè)數(shù)是=00 qn=0=1 C=CC為常數(shù)A.2B.3C.4 D.都不正確解析:正確.答案:B2. n1111等于A.0 B.1 C.2 D.3解析: n11

2、11=n×××××=2.答案:C典例剖析【例1】 求以下極限：1;2 n;3+.剖析:1因?yàn)榉肿臃帜付紵o(wú)極限，故不能直接運(yùn)用商的極限運(yùn)算法那么，可通過(guò)變形分子分母同除以n2后再求極限；2因與n都沒(méi)有極限，可先分子有理化再求極限；3因?yàn)闃O限的運(yùn)算法那么只適用于有限個(gè)數(shù)列，需先求和再求極限.解:1=.2 n= =.3原式=1+=1.評(píng)述:對(duì)于1要防止下面兩種錯(cuò)誤：原式=1,2n 2+n+7, 5n2+7不存在，原式無(wú)極限.對(duì)于2要防止出現(xiàn)下面兩種錯(cuò)誤： n= n=0;原式=n=不存在.對(duì)于3要防止出現(xiàn)原式=+=0+0+0=0這樣的錯(cuò)誤.【例2】 數(shù)

3、列an是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，a13，且滿(mǎn)足lganlgan1lgc，其中n是大于1的整數(shù)，c是正數(shù)1求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n和Sn；2求的值解:1由得an·an1,an是以a13，公比為c的等比數(shù)列，那么an3·n1.Sn2 .當(dāng)c=2時(shí)，原式;當(dāng)2時(shí)，原式;當(dāng)02時(shí)，原式=.評(píng)述:求數(shù)列極限時(shí)要注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用.【例3】 直線(xiàn)l:xny=0nN *,圓M:x+12+y+12=1,拋物線(xiàn):y=x12,又l與M交于點(diǎn)A、B，l與交于點(diǎn)C、D，求.剖析:要求的值，必須先求它與n的關(guān)系.解:設(shè)圓心M1,1到直線(xiàn)l的距離為d,那么d2=.又r=1,|AB|2=41d2=.設(shè)點(diǎn)

4、Cx1,y1, Dx2,y2，由nx22n+1x+n=0,x1+x2=, x1·x2=1.x1x22=x1+x224x1x2=,y1y22=2=,|CD|2=x1x22+y1y22=4n+1n2+1.=2.評(píng)述:此題屬于解析幾何與數(shù)列極限的綜合題.要求極限，需先求,這就要求掌握求弦長(zhǎng)的方法.【例4】 假設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=1,且對(duì)任意nN*,an與an+1恰為方程x2bnx+cn=0的兩根,其中0|c|1,當(dāng) b1+b2+bn3,求c的取值范圍.解:首先,由題意對(duì)任意nN*,an·an+1=cn恒成立.=c.又a1·a2=a2=c.a1,a3,a5,a2n1,

5、是首項(xiàng)為1,公比為c的等比數(shù)列,a2,a4,a6,a2n,是首項(xiàng)為c,公比為c的等比數(shù)列.其次,由于對(duì)任意nN*,an+an+1=bn恒成立.=c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,b1,b3,b5,b2n1,是首項(xiàng)為1+c,公比為c的等比數(shù)列,b2,b4,b6,b2n,是首項(xiàng)為2c,公比為c的等比數(shù)列, b1+b2+b3+bn= b1+b3+b5+ b2+b4+=+3.解得c或c1.0|c|1,0c或1c0.故c的取值范圍是1,00,.評(píng)述:此題的關(guān)鍵在于將題設(shè)中的極限不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的不等式,即將bn的各項(xiàng)和表示為關(guān)于c的解析式,顯然“橋梁應(yīng)是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

6、,故以根與系數(shù)的關(guān)系為突破口.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)根底1.a、b、c是實(shí)常數(shù)，且=2, =3,那么的值是A.2 B.3 C. D.6解析:由=2,得a=2b.由=3,得b=3c,c=b.=6.= =6.答案:D2.2021年北京假設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=,n=1,2,那么 a1+a2+an等于A. B. C. D.解析:an=即an=a1+a2+an=21+23+25+32+34+36+.a1+a2+an=+=答案:C3.2004年春季上海在數(shù)列an中，a1=3，且對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,點(diǎn),在直線(xiàn)xy=0上，那么=_.解析:由題意得= n2.是公差為的等差數(shù)列，=.=+n1·=n.an

7、=3n2.=3.答案:34.2004年 上海,4設(shè)等比數(shù)列annN的公比q=,且a1+a3+a5+a2n1=,那么a1=_.解析:q=, a1+a3+a5+a2n1=.a1=2.答案:25.2004年湖南,理8數(shù)列an中,a1=,an+an+1=,nN*,那么a1+a2+an等于A. B. C. D.解析:2a1+a2+an=a1+a1+a2+a2+a3+a3+a4+an1+an+an=+an.原式=+an=+an.an+an+1=,an+an+1=0.an=0.答案:C6.數(shù)列an滿(mǎn)足n1an+1=n+1an1且a2=6,設(shè)bn=an+nnN*.1求bn的通項(xiàng)公式；2求+的值.解:1n=1時(shí)

8、，由n1an+1=n+1an1,得a1=1.n=2時(shí)，a2=6代入得a3=15.同理a4=28,再代入bn=an+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想bn=2n2.要證bn=2n2,只需證an=2n2n.當(dāng)n=1時(shí)，a1=2×121=1成立.假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak=2k2k成立.那么當(dāng)n=k+1時(shí)，由k1ak+1=k+1ak1,得a k+1=ak1=2k2k1=2k+1k1=k+12k+1=2k+12k+1.當(dāng)n=k+1時(shí)，an=2n2n正確，從而bn=2n2.2+=+=+=1+=1+=.培養(yǎng)能力7.數(shù)列an、bn都是無(wú)窮等差數(shù)列,其中a1=3,b1=2,b2是a

9、2與a3的等差中項(xiàng),且 =,求極限 +的值.解:an、bn的公差分別為d1、d2.2b2=a2+a3,即22+d2=3+d1+3+2d1,2d23d1=2.又=,即d2=2d1,d1=2,d2=4.an=a1+n1d1=2n+1,bn=b1+n1d2=4n2.=.原式=1=.8.數(shù)列an、bn都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為p、q,其中pq且p1,q1,設(shè)cn=an+bn,Sn為數(shù)列cn的前n項(xiàng)和，求.解:Sn=+,當(dāng)p1時(shí)，pq0,得01,上式分子、分母同除以pn1，得=p.當(dāng)p1時(shí)，0qp1, =1.探究創(chuàng)新9.數(shù)列an滿(mǎn)足a1=0,a2=1,an=,求an.解:由an=,得2an+a

10、n1=2an1+an2,2an+an1是常數(shù)列.2a2+a1=2,2an+an1=2.an=an1.an是公比為,首項(xiàng)為的等比數(shù)列.an=×n1.an=×n1.an=.思悟小結(jié)1.運(yùn)用數(shù)列極限的運(yùn)算法那么求一些數(shù)列的極限時(shí)必須注意以下幾點(diǎn)：1各數(shù)列的極限必須存在；2四那么運(yùn)算只限于有限個(gè)數(shù)列極限的運(yùn)算.2.熟練掌握如下幾個(gè)常用極限：1 C=CC為常數(shù);2 p=0p0;3 =kN *,a、b、c、dR且c0;4 qn=0|q|1.教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1.數(shù)列極限的幾種類(lèi)型：,00,等形式，必須先化簡(jiǎn)成可求極限的類(lèi)型再用四那么運(yùn)算求極限，另外還有先求和，約分后再求極限，對(duì)含參數(shù)的題目一定要控制好難度，不要太難了.2.重視在日常學(xué)習(xí)過(guò)程中化歸思想、分類(lèi)討論思想和極限思想的運(yùn)用.拓展題例【例題】 等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q,且有qn=,求首項(xiàng)a1的取值范圍.解: qn=,qn一定存在.0|q|1或q=1.當(dāng)q=1時(shí)，1=,a1=3.當(dāng)0|q|1時(shí)，由qn=得=,2a11=q.0|2a11|1.0a11且a1.綜上,得0a11且a1或a1=3.精品推薦 強(qiáng)力推薦 值得擁有