原函數(shù)的概念

1、一、原函數(shù)的概念一、原函數(shù)的概念第四章不定積分第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概第一節(jié)不定積分的概念念二、不定積分二、不定積分三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)四、不定積分的幾何意義四、不定積分的幾何意義定義定義 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f (x) 在某區(qū)間上有定義在某區(qū)間上有定義，如果存在函數(shù)如果存在函數(shù) F (x)，對于該區(qū)間上任一點對于該區(qū)間上任一點 x，使使F (x)= f (x) 或或 dF(x) = f (x)dx ，則稱函數(shù)則稱函數(shù) F (x) 是函數(shù)是函數(shù) f (x) 在該區(qū)間上的一個在該區(qū)間上的一個原原函數(shù)函數(shù).一、原函數(shù)的概念一、原函數(shù)的概念,3)5(23xx ( x3

2、+ C ) = 3x2 ( (C 為任意常數(shù)為任意常數(shù)) )，因此因此 x3 + 1，),5(3 x x3 + + C 都是都是 3x2 的原函數(shù)的原函數(shù).例如，在例如，在 ( , )內(nèi)內(nèi) , 由于由于(x3) = 3x2，因 此 函 數(shù)因 此 函 數(shù) x3是 函 數(shù)是 函 數(shù) 3 x2一 個 原 函 數(shù) ，一 個 原 函 數(shù) ，又 由 于又 由 于 ( x3+ 1 ) = 3 x2， 定理定理1 1（原函數(shù)族定理）（原函數(shù)族定理） 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x) 在在某區(qū)間內(nèi)有一個原函數(shù)，某區(qū)間內(nèi)有一個原函數(shù)， 則它就有無限多個原則它就有無限多個原函數(shù)函數(shù)；并且其中任意兩個原函數(shù)的差是常數(shù)并且

3、其中任意兩個原函數(shù)的差是常數(shù).所以，所以，F(xiàn)(x) + C 也是也是 f (x) 的原函的原函數(shù)數(shù) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 的一個原函數(shù)為的一個原函數(shù)為 F (x) ，即，即F (x) = f (x)，(F (x) + C) = F (x) = f (x) , 又因為又因為C為任為任意常數(shù)，即意常數(shù)，即C 可以取無限多個值，因此可以取無限多個值，因此 f (x) 有無有無限多個原函數(shù)限多個原函數(shù). 并設(shè)并設(shè) C 為任意常數(shù)，由于為任意常數(shù)，由于 (1) 先證先證 f (x) 有一個原函數(shù)，則它的原函有一個原函數(shù)，則它的原函數(shù)有無限多個數(shù)有無限多個證證根據(jù)微分中值定理的推論知，根據(jù)微分中值定理

4、的推論知，H(x) = C （C為常數(shù)）為常數(shù)）G(x) F(x) = =C .H(x) =G(x) - -F(x) =G (x) F (x) = f (x) - - f (x)=0， 令令H(x) = G(x) F(x) , 于是于是有有 ()再證再證 f (x)的任意兩個原函數(shù)的差是常數(shù)的任意兩個原函數(shù)的差是常數(shù)F (x) = f (x)， G (x) = f (x).即即 設(shè)設(shè) F (x) 和和 G(x) 都是都是 f (x) 的原函數(shù)，根據(jù)原的原函數(shù)，根據(jù)原函數(shù)定義則有函數(shù)定義則有 從定理從定理1可知如果函數(shù)可知如果函數(shù) f (x) 的一個原函數(shù)為的一個原函數(shù)為 F (x) ，則，則

5、f (x) 的所有原函數(shù)可表示為的所有原函數(shù)可表示為 F (x) + + C ，其中其中 C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) 定理定理 2(2(原函數(shù)存在定理）原函數(shù)存在定理） 如果函數(shù)如果函數(shù) f (x) 在在閉區(qū)間閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，則函數(shù)上連續(xù)，則函數(shù) f (x) 在該區(qū)間上必在該區(qū)間上必存在原函數(shù)存在原函數(shù) 其中符號其中符號 稱為稱為積分號積分號， f (x)dx 稱為稱為被積表達(dá)式被積表達(dá)式， x 稱為稱為積分變量積分變量，定義定義 2若若 F(x) 是是 f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 I 上的一個原上的一個原函數(shù)函數(shù)，,d)( xxf即即，CxFxxf )(d)( 則則 f (x)的全體原

6、函數(shù)的全體原函數(shù) F(x) + + C ( (C為任意常為任意常數(shù)數(shù)) )稱為稱為f (x)的的不定積分不定積分，記為記為f(x) 稱為稱為被積函數(shù)被積函數(shù)，C 稱為稱為積分常數(shù)積分常數(shù).二、不定積分二、不定積分例例 1求下列不定積分求下列不定積分.;d2)1(xx;dcos)2(xx;1d)3(2 xx.de)4(xx 根據(jù)不定積分的定義，只要求出被積函根據(jù)不定積分的定義，只要求出被積函數(shù)一個原函數(shù)之后，再加上一個積分常數(shù)數(shù)一個原函數(shù)之后，再加上一個積分常數(shù) C 即可即可.( (1) )被積函數(shù)被積函數(shù) f ( x ) = 2x， 因為因為 ( x2 ) = 2x，即即 x2 是是 2x 的

7、一個原函數(shù)的一個原函數(shù) ，所以，不定積分所以，不定積分;d22Cxxx( (2) )被積函數(shù)被積函數(shù) f (x) = cos x，因為因為 (sinx) = cosx，即即 sin x 是是 cosx 的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，所以，不定積分所以，不定積分;cosdsinCxxx解解,11)(arctan)3(2xx因為所以得所以得;arctan1d2Cxxx,e)e ()4(xx 因為因為所以得所以得.edeCxxx( (2) )Cxfxxf )(d)(.)(d)()(dCxfxxfxf或或( (1) ) .d)(d)(d)(d)(xxfxxfxfxxf 或或三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分

8、的性質(zhì) 性質(zhì)表明：先求積分后求微分，則兩者的作性質(zhì)表明：先求積分后求微分，則兩者的作用互相抵消；反過來，先求微分后求積分，則加用互相抵消；反過來，先求微分后求積分，則加上任意常數(shù)上任意常數(shù)C.例例 2若已知函數(shù)的在若已知函數(shù)的在 (x, y) 處的切線斜率為處的切線斜率為2x，求此曲線方程求此曲線方程.按題意，得按題意，得xyk2所以所以.22Cxxxyd又因曲線過點又因曲線過點(2, 5)，代入上式得，代入上式得 5 = 22 + C ,即即 C=1.y = x2 + 1.解解設(shè)所求曲線為設(shè)所求曲線為 y = f (x),于是所求曲線為于是所求曲線為四、不定積分的幾何意義四、不定積分的幾何意

9、義從幾何上看，從幾何上看， y = x2 + C 表示一族拋物線表示一族拋物線(如圖如圖)，而所求的曲線而所求的曲線y = x2 + 1是過點是過點(2, 5) 的那一條的那一條.oxy2yxcy = x2+1一般，若一般，若 y = F (x) 是是 f (x) 的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)， 那么那么 y = F (x) 所表示的曲線稱為所表示的曲線稱為 f (x) 的一條的一條積分曲線積分曲線.由于不定積分由于不定積分 所表示的原函數(shù)是無窮多所表示的原函數(shù)是無窮多個，個， xxfd)( 因此，不定積分表示為因此，不定積分表示為一族積分曲線一族積分曲線 y = F (x) +C，稱它為，稱它為f (x)的的積分曲線族積分曲線族. 這就是這就是不定積分不定積分的幾