第4章線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用

1、.1 1 1人力資源分配的問(wèn)題； 2 2生產(chǎn)計(jì)劃的問(wèn)題； 3 3套裁下料問(wèn)題； 4 4配料問(wèn)題； 5 5投資問(wèn)題。.2 例1某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時(shí)間段內(nèi)所需司機(jī)數(shù)如下： 設(shè)司機(jī)在各時(shí)間段一開(kāi)始時(shí)上班，并連續(xù)工作八小時(shí)，問(wèn)該公交線路怎樣安排司機(jī)，既能滿足工作需要，又配備最少司機(jī)人員?.3 解：設(shè) xi 表示第i班次時(shí)開(kāi)始上班的司機(jī)和乘務(wù)人員數(shù),這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型(P39E1.lpp)。 目標(biāo)函數(shù)： Min F = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 約束條件： x1 + x6 60 x1 + x2 70 x2 + x3 60 s.t. x3 + x4 50 x4

2、 + x5 20 x5 + x6 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 0.4 例2一家中型的百貨商場(chǎng)，它對(duì)售貨員的需求經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析如下表所示。為了保證售貨人員充分休息，售貨人員每周工作5天，休息兩天，并要求休息的兩天是連續(xù)的。問(wèn)應(yīng)該如何安排既滿足工作需要，又使配備的售貨人員的人數(shù)最少？時(shí)間所需售貨員人數(shù)星期日28星期一15星期二24星期三25星期四19星期五31星期六28.5 解：設(shè) xi ( i = 1,2,7)表示星期一至日開(kāi)始休息的人數(shù),這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型(P40E2.lpp)。 目標(biāo)函數(shù)：Min F = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 約

3、束條件： x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24 s.t. x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0.6 解：設(shè) xi ( i = 1,2,7)表示星期一至日開(kāi)始上班的人數(shù),這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型P40E21.lpp)。 目標(biāo)函數(shù)： Min F = x1 + x2 +

4、 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 約束條件： x4 + x5 + x6 + x7 + x1 15 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 24 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 25 s.t. x7 + x1 + x2 + x3 + x4 19 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 31 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 28 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0.7 例3某公司面臨一個(gè)是外包協(xié)作還是自行生產(chǎn)的問(wèn)題。該公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都需要經(jīng)過(guò)鑄造、機(jī)加工和裝配三個(gè)車間。

5、甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，亦可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須本廠鑄造才能保證質(zhì)量。數(shù)據(jù)如表。問(wèn)：公司為了獲得最大利潤(rùn)，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄造中，由本公司鑄造和由外包協(xié)作各應(yīng)多少件？甲乙丙資 源 限 制鑄 造 工 時(shí) (小 時(shí) /件 )51078000機(jī) 加 工 工 時(shí) (小 時(shí) /件 )64812000裝 配 工 時(shí) (小 時(shí) /件 )32210000自 產(chǎn) 鑄 件 成 本 (元 /件 )354外 協(xié) 鑄 件 成 本 (元 /件 )56-機(jī) 加 工 成 本 (元 /件 )213裝 配 成 本 (元 /件 )322產(chǎn) 品 售 價(jià) (元 /件 )231816.8 解

6、：設(shè) x1,x2,x3 分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產(chǎn)品的件數(shù)，x4,x5 分別為由外協(xié)鑄造再由本公司加工和裝配的甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)。 求 xi 的利潤(rùn)：利潤(rùn) = 售價(jià) - 各成本之和 產(chǎn)品甲全部自制的利潤(rùn) =23-(3+2+3)=15 產(chǎn)品甲鑄造外協(xié)，其余自制的利潤(rùn) =23-(5+2+3)=13 產(chǎn)品乙全部自制的利潤(rùn) =18-(5+1+2)=10 產(chǎn)品乙鑄造外協(xié)，其余自制的利潤(rùn) =18-(6+1+2)=9 產(chǎn)品丙的利潤(rùn) =16-(4+3+2)=7 可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利潤(rùn)分別為 15、10、7、13、9 元。.9通過(guò)以上分析,可建立如下的數(shù)學(xué)模型

7、(P42E3.lpp):目標(biāo)函數(shù)： Max Z = 15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 約束條件： 5x1 + 10 x2 + 7x3 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 0.10例4永久機(jī)械廠生產(chǎn)、三種產(chǎn)品，均要經(jīng)過(guò)A、B兩 道工序加工。設(shè)有兩種規(guī)格的設(shè)備A1、A2能完成 A 工序；有三種規(guī)格的設(shè)備B1、B2、B3能完成 B 工序?？稍贏、B的任何規(guī)格的設(shè)備上加工； 可在任意規(guī)格的A設(shè)備上加工，但對(duì)B工序，只能在B1設(shè)備上加工

8、；只能在A2與B2設(shè)備上加工。數(shù)據(jù)如表。問(wèn)：為使該廠獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)如何制定產(chǎn)品加工方案？ (P44E4.lpp):產(chǎn)品單件工時(shí) 設(shè)備 設(shè)備的 有效臺(tái)時(shí) 滿負(fù)荷時(shí)的設(shè)備費(fèi)用 A1 5 10 6000 300 A2 7 9 12 10000 321 B1 6 8 4000 250 B2 4 11 7000 783 B3 7 4000 200 原料（元/件） 0.25 0.35 0.50 售價(jià)（元/件） 1.25 2.00 2.80 .11解：設(shè) xijk 表示第 i 種產(chǎn)品，在第 j 種工序上的第 k 種設(shè)備上加工的數(shù)量。建立如下的數(shù)學(xué)模型: s.t. 5x111 + 10 x211 6000

9、（ 設(shè)備 A1 ） 7x112 + 9x212 + 12x312 10000 （ 設(shè)備 A2 ） 6x121 + 8x221 4000 （ 設(shè)備 B1 ） 4x122 + 11x322 7000 （ 設(shè)備 B2 ） 7x123 4000 （ 設(shè)備 B3 ） x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等） x211+ x212- x221 = 0 （產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等） x312 - x322 = 0 （產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等） xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3.12目標(biāo)函數(shù)為計(jì)

10、算利潤(rùn)最大化，利潤(rùn)的計(jì)算公式為： 利潤(rùn) = （銷售單價(jià) - 原料單價(jià)）* 產(chǎn)品件數(shù)之和 -（每臺(tái)時(shí)的設(shè)備費(fèi)用*設(shè)備實(shí)際使用的總臺(tái)時(shí)數(shù)）之和。這樣得到目標(biāo)函數(shù)(P44E4.lpp)： Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x(2-0.35)x221221+(2.80-0.5)x312 300/6000(5x111+10 x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)- 250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).經(jīng)整理可得： Max0.75x111+0.7753x1

11、12+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123.13 例5某工廠要做100套鋼架，每套用長(zhǎng)為2.9 m,2.1 m,1.5 m的圓鋼各一根。已知原料每根長(zhǎng)7.4 m，問(wèn)：應(yīng)如何下料，可使所用原料最?。?解： 共可設(shè)計(jì)下列5 種下料方案，見(jiàn)下表 設(shè) x1,x2,x3,x4,x5 分別為上面 5 種方案下料的原材料根數(shù)。這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型(P46E5-1.lpp)。 目標(biāo)函數(shù)： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 約束條件： s.t. x1 + 2x2 +

12、 x4 100 2x3 + 2x4 + x5 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 100 x1,x2,x3,x4,x5 0.14 例5某工廠要做100套鋼架，每套用長(zhǎng)為2.9m,2.1m,1.5m的圓鋼各一根。已知原料每根長(zhǎng)7.6m，問(wèn)：應(yīng)如何下料，可使所用原料最??？ 解： 共可設(shè)計(jì)下列6種下料方案，見(jiàn)下表 設(shè) x1,x2,x3,x4,x5 分別為上面6種方案下料的原材料根數(shù)。這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型(P46E5-2.lpp) 。 目標(biāo)函數(shù)： Min 0.2x1+0.3x2+0.4x3+0.5x4+1.0 x5+1.1x6 約束條件： s.t. x1 + 2x2 + x4 +

13、x6 100 2x3 + 2x4 + x5 + x6 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 + x6 100 x1,x2,x3,x4,x5 ,x6 0.15 例6某工廠要用三種原料1、2、3混合調(diào)配出三種不同規(guī)格的產(chǎn)品甲、乙、丙，數(shù)據(jù)如右表。問(wèn)：該廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使利潤(rùn)收入為最大？ (P47E6.lpp)產(chǎn)品名稱規(guī)格要求單價(jià)（元/kg）甲原材料1不少于50%，原材料2不超過(guò)25%50乙原材料1不少于25%，原材料2不超過(guò)50%35丙不限25原材料名稱每天最多供應(yīng)量單價(jià)（元/kg）11006521002536035 解：設(shè) xij 表示第 i 種（甲、乙、丙）產(chǎn)品中原料 j 的含量

14、。這樣我們建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，要考慮： 對(duì)于甲： x11，x12，x13； 對(duì)于乙： x21，x22，x23； 對(duì)于丙： x31，x32，x33； 對(duì)于原料1： x11，x21，x31； 對(duì)于原料2： x12，x22，x32； 對(duì)于原料3： x13，x23，x33； 目標(biāo)函數(shù)： 利潤(rùn)最大，利潤(rùn) = 收入 - 原料支出 約束條件： 規(guī)格要求 4 個(gè)； 供應(yīng)量限制 3 個(gè)。.16利潤(rùn)=總收入-總成本=甲乙丙三種產(chǎn)品的銷售單價(jià)*產(chǎn)品數(shù)量-甲乙丙使用的原料單價(jià)*原料數(shù)量，故有目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11

15、+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33）= -15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 約束條件：約束條件： 從第1個(gè)表中有： x110.5(x11+x12+x13) x120.25(x11+x12+x13) x210.25(x21+x22+x23) x220.5(x21+x22+x23).17 從第2個(gè)表中，生產(chǎn)甲乙丙的原材料不能超過(guò)原材料的供應(yīng)限額，故有 (x11+x21+x31)100 (x12+x22+x32)100 (x13+x23+x33)60 通過(guò)整理，得到以下模型：.18例6（P47E6

16、.lpp）目標(biāo)函數(shù)：Max z = -15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 約束條件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料2不超過(guò)25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料2不超過(guò)50%） x11+ x21 + x31 100 (供應(yīng)量限制） x12+ x22 + x32 100 (供應(yīng)量限制） x13+ x23

17、 + x33 60 (供應(yīng)量限制） xij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3.19表表4-6Max z = -15x1+25x2+15x3-30 x4+10 x5-40 x7-10 x9 .20標(biāo)準(zhǔn)汽油標(biāo)準(zhǔn)汽油辛烷數(shù)辛烷數(shù)蒸汽壓力蒸汽壓力(g/cm2)庫(kù)存量庫(kù)存量(L)1107.57.1110-2380000293.011.38 10-2265200387.05.6910-24081004108.028.45 10-2130100例7.汽油混合問(wèn)題。一種汽油的特性可用兩種指標(biāo)描述，用“辛烷數(shù)”來(lái)定量描述其點(diǎn)火特性，用“蒸汽壓力”來(lái)定量描述其揮發(fā)性。某煉油廠有1、2、3、4種標(biāo)準(zhǔn)

18、汽油，其特性和庫(kù)存量列于表4-6中，將這四種標(biāo)準(zhǔn)汽油混合，可得到標(biāo)號(hào)為1，2的兩種飛機(jī)汽油，這兩種汽油的性能指標(biāo)及產(chǎn)量需求列于表4-7中。問(wèn)應(yīng)如何根據(jù)庫(kù)存情況適量混合各種標(biāo)準(zhǔn)汽油，既滿足飛機(jī)汽油的性能指標(biāo)，又使2號(hào)汽油滿足需求，并使得1號(hào)汽油產(chǎn)量最高？ （P49E7.lpp）飛機(jī)汽飛機(jī)汽油油辛烷數(shù)辛烷數(shù)蒸汽壓力蒸汽壓力(g/cm2)產(chǎn)量需求產(chǎn)量需求1不小于不小于91不大于不大于9.96 10-2越多越好越多越好2不小于不小于100不大于不大于9.96 10-2不少于不少于250000表表4-6表表4-7.21 解：設(shè)xij為飛機(jī)汽油i中所用標(biāo)準(zhǔn)汽油j的數(shù)量(L)。 目標(biāo)函數(shù)為飛機(jī)汽油1的總產(chǎn)量

19、：庫(kù)存量約束為：產(chǎn)量約束為飛機(jī)汽油2的產(chǎn)量：由物理中的分壓定律， 可得有關(guān)蒸汽壓力的約束條件：同樣可得有關(guān)辛烷數(shù)的約束條件為：11121314xxxx+1121122213231424380000265200408100130100 xxxxxxxx+21222324250000 xxxx+1njjjPVp v=11121314212223242.851.424.2718.4902.851.424.2718.490 xxxxxxxx-+-+-111213141112131416.52.04.017.007.57.013.08.00 xxxxxxxx+-+-+.22 綜上所述，得該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

20、為（P49E7.lpp） ：111213142122232411211222132314241112131421222324111213142122max2500003800002652004081001301002.851.424.2718.4902.851.424.2718.49016.5241707.57xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+-+-+-+-232413800,(1,2;1,2,3,4)ijxxxij-+=.23 由管理運(yùn)籌學(xué)軟件求解得：111213141112131421222324max()933 399.938261966.0782652003

21、15672.21990561.688118033.906092427.75839538.309xxxxxxxxxxxx+=.24 例8某部門(mén)現(xiàn)有資金200萬(wàn)元，今后五年內(nèi)考慮給以下的項(xiàng)目投資。已知：項(xiàng)目A：從第一年到第五年每年年初都可投資，當(dāng)年末能收回本利110%；項(xiàng)目B：從第一年到第四年每年年初都可投資，次年末能收回本利125%，但規(guī)定每年最大投資額不能超過(guò)30萬(wàn)元；項(xiàng)目C：需在第三年年初投資，第五年末能收回本利140%，但規(guī)定最大投資額不能超過(guò)80萬(wàn)元；項(xiàng)目D：需在第二年年初投資，第五年末能收回本利155%，但規(guī)定最大投資額不能超過(guò)100萬(wàn)元。 據(jù)測(cè)定每萬(wàn)元每次投資的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)如右表：?jiǎn)枺簡(jiǎn)?/p>

22、：a）應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利金額為最大？(P51E8.lpp.lpp)b）應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利在330萬(wàn)元的基礎(chǔ)上使得其投資總的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)為最?。宽?xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)（次/萬(wàn)元）A1B3C4D5.5 解：解： 1 1）確定決策變量：連續(xù)投資問(wèn)題 設(shè) xij ( i = 15，j = 14)表示第 i 年初投資于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)項(xiàng)目的金額。這樣我們建立如下的決策變量： A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24.252 2）約束條件

23、：）約束條件：第一年：A當(dāng)年末可收回投資，故第一年年初應(yīng)把全部資金投出去，于是 x11+ x12 = 200；第二年：B次年末才可收回投資，故第二年年初有資金1.1 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； 第三年：年初有資金 1.1x21+ 1.25x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；第四年：年初有資金 1.1x31+ 1.25x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；第五年：年初有資金 1.1x41+ 1.25x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32； B、C、D的投資限制： xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 10