高中數(shù)學(xué)《兩角差的余弦公式》教案和教案說明

1、 兩角差的余弦公式教學(xué)分析本節(jié)首先引導(dǎo)學(xué)生對(duì)cos(-)的結(jié)果進(jìn)行探究,讓學(xué)生充分發(fā)揮想象力,進(jìn)行猜想,給出所有可能的結(jié)果,然后再去驗(yàn)證其真假.這也展示了數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的具體過程,最后提出了兩種推導(dǎo)證明“兩角差的余弦公式”的方案.方案一,利用單位圓上的三角函數(shù)線進(jìn)行探索、推導(dǎo),讓學(xué)生動(dòng)手畫圖,構(gòu)造出-角,利用學(xué)過的三角函數(shù)知識(shí)探索存在一定的難度,教師要作恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).方案二,利用向量知識(shí)探索兩角差的余弦公式時(shí),要注意推導(dǎo)的層次性:在回顧求角的余弦有哪些方法時(shí),聯(lián)系向量知識(shí),體會(huì)向量方法的作用;結(jié)合有關(guān)圖形,完成運(yùn)用向量方法推導(dǎo)公式的必要準(zhǔn)備;探索過程不應(yīng)追求一步到位,應(yīng)先不去理會(huì)其中的細(xì)節(jié)

2、,抓住主要問題及其線索進(jìn)行探索,然后再反思,予以完善;補(bǔ)充完善的過程,既要運(yùn)用分類討論的思想,又要用到誘導(dǎo)公式.本節(jié)是數(shù)學(xué)公式的教學(xué),教師要遵循公式教學(xué)的規(guī)律,應(yīng)注意以下幾方面:要使學(xué)生了解公式的由來;使學(xué)生認(rèn)識(shí)公式的結(jié)構(gòu)特征,加以記憶;使學(xué)生掌握公式的推導(dǎo)和證明;通過例子使學(xué)生熟悉公式的應(yīng)用,靈活運(yùn)用公式進(jìn)行解答有關(guān)問題.三維目標(biāo)1.通過讓學(xué)生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)“兩角差的余弦公式”,了解單角與復(fù)角的三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,并通過強(qiáng)化題目的訓(xùn)練,加深對(duì)兩角差的余弦公式的理解,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì).2.通過兩角差的余弦公式的運(yùn)用,會(huì)進(jìn)行簡單的求值、化簡、證明,

3、體會(huì)化歸思想在數(shù)學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用,使學(xué)生進(jìn)一步掌握聯(lián)系的觀點(diǎn),自覺地利用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)來分析問題,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.3.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),使學(xué)生體會(huì)探究的樂趣,認(rèn)識(shí)到世間萬物的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,養(yǎng)成用辯證與聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題.創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)生分析、探求的學(xué)習(xí)態(tài)度,強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí),從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力和代換、演繹、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):通過探究得到兩角差的余弦公式.教學(xué)難點(diǎn):探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo).課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)我們在初中時(shí)就知道cos45°=,cos30°=,由此我們能否得到cos15&#

4、176;=cos(45°-30°)=?這里是不是等于cos45°-cos30°呢？教師可讓學(xué)生驗(yàn)證,經(jīng)過驗(yàn)證可知,我們的猜想是錯(cuò)誤的.那么究竟是個(gè)什么關(guān)系呢？cos(-)等于什么呢？這時(shí)學(xué)生急于知道答案,由此展開新課:我們就一起來探討“兩角差的余弦公式”.這是全章公式的基礎(chǔ).推進(jìn)新課新知探究提出問題請(qǐng)學(xué)生猜想cos(-)=?利用前面學(xué)過的單位圓上的三角函數(shù)線,如何用、的三角函數(shù)來表示cos(-)呢？利用向量的知識(shí),又能如何推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)cos(-)=?細(xì)心觀察C(-)公式的結(jié)構(gòu),它有哪些特征？其中、角的取值范圍如何？如何正用、逆用、靈活運(yùn)用C(-)公式進(jìn)行求值

5、計(jì)算？活動(dòng):問題,出示問題后,教師讓學(xué)生充分發(fā)揮想象能力嘗試一下,大膽猜想,有的同學(xué)可能就首先想到cos(-)=cos-cos的結(jié)論,此時(shí)教師適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥,然后讓學(xué)生由特殊角來驗(yàn)證它的正確性.如=60°,=30°,則cos(-)=cos30°=,而cos-cos=cos60°-cos30°=,這一反例足以說明cos(-)cos-cos.讓學(xué)生明白,要想說明猜想正確,需進(jìn)行嚴(yán)格證明,而要想說明猜想錯(cuò)誤,只需一個(gè)反例即可.問題,既然cos(-)cos-cos,那么cos(-)究竟等于什么呢？由于這里涉及的是三角函數(shù)的問題,是-這個(gè)角的余弦問題,我們能

6、否利用單位圓上的三角函數(shù)線來探究呢？圖1如圖1,設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1,POP1=,則POx=-.過點(diǎn)P作PM垂直于x軸,垂足為M,那么OM就是角-的余弦線,即OM=cos(-),這里就是要用角、的正弦線、余弦線來表示OM.過點(diǎn)P作PA垂直于OP1,垂足為A,過點(diǎn)A作AB垂直于x軸,垂足為B,過點(diǎn)P作PC垂直于AB,垂足為C.那么,OA表示cos,AP表示sin,并且PAC=P1Ox=.于是,OM=OB+BM=OB+CP=OAcosa+APsina=coscos+sinsin,所以,cos(-)=coscos+sinsin.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考,以上的推理過程中,角、-是有條件限制的

7、,即、-均為銳角,且>,如果要說明此結(jié)果是否對(duì)任意角、都成立,還要做不少推廣工作,并且這項(xiàng)推廣工作的過程比較繁瑣,由同學(xué)們課后動(dòng)手試一試.圖2問題,教師引導(dǎo)學(xué)生,可否利用剛學(xué)過的向量知識(shí)來探究這個(gè)問題呢?如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O,以O(shè)x為始邊作角、,它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A、B,則=(cos,sin),=(cos,sin),AOB=-.由向量數(shù)量積的定義有·=|·cos(-)=cos(-),由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有·=(cos,sin)(cos,sin)=coscos+sinsin,于是,cos(-)=coscos+sinsin.

8、我們發(fā)現(xiàn),運(yùn)用向量工具進(jìn)行探究推導(dǎo),過程相當(dāng)簡潔,但在向量數(shù)量積的概念中,角-必須符合條件0-,以上結(jié)論才正確,由于、都是任意角,-也是任意角,因此就是研究當(dāng)-是任意角時(shí),以上公式是否正確的問題.當(dāng)-是任意角時(shí),由誘導(dǎo)公式,總可以找到一個(gè)角0,2),使cos=cos(-),若0,則·=cos=cos(-).若,2,則2-0,且·=cos(2-)=cos=cos(-).由此可知,對(duì)于任意角、都有cos(-)=coscos+sinsin(C(-)此公式給出了任意角、的正弦、余弦值與其差角-的余弦值之間的關(guān)系,稱為差角的余弦公式,簡記為C(-).有了公式C(-)以后,我們只要知道

9、cos、cos、sin、sin的值,就可以求得cos(-)的值了.問題,教師引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察公式C(-)的結(jié)構(gòu)特征,讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)公式左邊是“兩角差的余弦”,右邊是“這兩角的余弦積與正弦積的和”,可讓學(xué)生結(jié)合推導(dǎo)過程及結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行記憶,特別是運(yùn)算符號(hào),左“-”右“+”.或讓學(xué)生進(jìn)行簡單填空,如:cos(A-B)=_,cos(-)=_等.因此,只要知道了sin、cos、sin、cos的值就可以求得cos(-)的值了.問題,對(duì)于公式的正用是比較容易的,關(guān)鍵在于“拆角”的技巧,而公式的逆用則需要學(xué)生的逆向思維的靈活性,特別是變形應(yīng)用,這就需要學(xué)生具有較強(qiáng)的觀察能力和熟練的運(yùn)算技巧.如cos75

10、76;cos45°+sin75°sin45°=cos(75°-45°)=cos30°=,cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin.討論結(jié)果:略.應(yīng)用示例思路1例1 利用差角余弦公式求cos15°的值.活動(dòng):先讓學(xué)生自己探究,對(duì)有困難的學(xué)生教師可點(diǎn)撥學(xué)生思考題目中的角15°,它可以拆分為哪些特殊角的差,如15°=45°-30°或者15°=60°-45°,從而就可以直接套用公式C(-)計(jì)算求值.教師不要包辦,充分讓學(xué)生自己獨(dú)立完成,在學(xué)生

11、的具體操作下,體會(huì)公式的結(jié)構(gòu),公式的用法以及把未知轉(zhuǎn)化為已知的數(shù)學(xué)思想方法.對(duì)于很快就完成的同學(xué),教師鼓勵(lì)其換個(gè)角度繼續(xù)探究.解:方法一:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°sin45°sin30°=方法二:cos15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°sin60°sin45°=×點(diǎn)評(píng):本題是指定方法求cos15°的值,屬于套用公式型的,這樣可以使學(xué)生把注意力集中到使用公式求值上.但是仍然需

12、要學(xué)生將這個(gè)非特殊角拆分成兩個(gè)特殊角的差的形式,靈活運(yùn)用公式求值.本例也說明了差角余弦公式也適用于形式上不是差角,但可以拆分成兩角差的情形.至于如何拆分,讓學(xué)生在應(yīng)用中仔細(xì)體會(huì).變式訓(xùn)練1.不查表求sin75°,sin15°的值.解:sin75°=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°sin45°sin30°=sin15°=點(diǎn)評(píng):本題是例題的變式,比例題有一定的難度,但學(xué)生只要細(xì)心分析,利用相關(guān)的誘導(dǎo)公式,不難得到上面的解答方法.2.不查表求值:cos110&

13、#176;cos20°sin110°sin20°.解:原式=cos(110°-20°)=cos90°=0.點(diǎn)評(píng):此題學(xué)生一看就有似曾相識(shí)而又無從下手的感覺,需要教師加以引導(dǎo),讓學(xué)生細(xì)心觀察,再結(jié)合公式C(-)的右邊的特征,逆用公式便可得到cos(110°-20°).這就是公式逆用的典例,從而培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性.例2 已知sin=,(,),cos=,是第三象限角,求cos(-)的值.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生觀察題目的結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)想到剛剛推導(dǎo)的余弦公式,學(xué)生不難發(fā)現(xiàn),欲求cos(-)的值,必先知道sin、cos、sin、

14、cos的值,然后利用公式C(-)即可求解.從已知條件看,還少cos與sin的值,根據(jù)誘導(dǎo)公式不難求出,但是這里必須讓學(xué)生注意利用同角的平方和關(guān)系式時(shí),角、所在的象限,準(zhǔn)確判斷它們的三角函數(shù)值的符號(hào).本例可由學(xué)生自己獨(dú)立完成.解:由sin=,(,),得cos=又由cos=,是第三象限角,得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin=點(diǎn)評(píng):本題是直接運(yùn)用公式C(-)求值的基礎(chǔ)練習(xí),但必須思考使用公式前應(yīng)作出的必要準(zhǔn)備.特別是運(yùn)用同角三角函數(shù)平方關(guān)系式求值時(shí),一定要弄清角的范圍,準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號(hào).教師可提醒學(xué)生注意這點(diǎn),養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.變式訓(xùn)練已知sin=,(0,),cos=,

15、是第三象限角,求cos(-)的值.解:當(dāng),)時(shí),且sin=,得cos=,又由cos=,是第三象限角,得sin=.所以cos(-)=coscos+sinsin=.當(dāng)(0,)時(shí),且sin=,得cos=,又由cos=,是第三象限角,得sin=所以cos(-)=coscos+sinsin=點(diǎn)評(píng):本題與例2的顯著的不同點(diǎn)就是角的范圍不同.由于(0,),這樣cos的符號(hào)可正、可負(fù),需討論,教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論的思想,對(duì)角進(jìn)行分類討論,從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和邏輯的條理性.教師強(qiáng)調(diào)分類時(shí)要不重不漏.課堂小結(jié)1.先由學(xué)生自己思考、回顧公式的推導(dǎo)過程,觀察公式的特征,特別要注意公式既可正用、逆用,還可變用

16、及掌握變角和拆角的思想方法解決問題.然后教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞以下知識(shí)點(diǎn)小結(jié):(1)怎么聯(lián)系有關(guān)知識(shí)進(jìn)行新知識(shí)的探究？(2)利用差角余弦公式方面:對(duì)公式結(jié)構(gòu)和功能的認(rèn)識(shí);三角變換的特點(diǎn).2.教師畫龍點(diǎn)睛:本節(jié)課要理解并掌握兩角差的余弦公式及其推導(dǎo),要正確熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行解題,在解題時(shí)要注意分析三角函數(shù)名稱、角的關(guān)系,準(zhǔn)確判斷三角函數(shù)值的符號(hào).多對(duì)題目進(jìn)行一題多解,從中比較最佳解決問題的途徑,以達(dá)到優(yōu)化解題過程,規(guī)范解題步驟,領(lǐng)悟變換思路,強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法之目的.作業(yè)1、 課本習(xí)題3.1 A組2、3、4任選兩題；2、 （選做題）課本習(xí)題3.1 B組第4題.教案說明：1.本節(jié)課是典型的公式教學(xué)模式,因此本節(jié)課的設(shè)計(jì)流程為“實(shí)際問題猜想探索推導(dǎo)記憶應(yīng)用”.它充分展示了公式教學(xué)中以學(xué)生為主體,進(jìn)行主動(dòng)探索數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程.同時(shí)充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用,引導(dǎo)學(xué)生利用舊知識(shí)推導(dǎo)、證明新知識(shí),并學(xué)會(huì)記憶公式的方法,靈活運(yùn)用公式解決實(shí)際問題,從而培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索數(shù)學(xué)知識(shí)的能力,增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.2.縱觀本教案的設(shè)計(jì),學(xué)生發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)出公式C(-)后就是應(yīng)用,同時(shí)如何訓(xùn)練公式的正用、